【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 例 1：令 ()12xfx ?????? ， (0,1)0,1xx?? ()fx在 ? ?0,1 上不連續(xù)，在 ? ?0,1 上可導(dǎo) 12 但不存在 (0,1)?? 使得 (1) ( 0 )( ) 010fff ? ?? ??? 即 0 1 Lagrange 中值定理的結(jié)論不成立。 在 第三章 中，將會(huì)陸續(xù)的介紹 Lagrange 中值定理 在證明不等式，求函數(shù)極限，以及研究函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)中的應(yīng)用。 第二章 : Lagrange 插值 Lagrange 插值的適定性 在引言部分，我們已經(jīng)給出了 Lagrange 公式的具體表達(dá)式，接下來(lái)將 證明Lagrange 插值問(wèn)題的解存在且唯一。 首先來(lái)證明 Lagrange 插值解的 存在性 。 ： 為此我們需要構(gòu)造一個(gè)特殊的插值多項(xiàng)式 inlP? ， 滿(mǎn)足條件 ： 0( ) ,1i k i klx ? ????? ， ikik?? () 其中， , 0,1 , , iki k n ?? 我們稱(chēng)為 kerKronec （克羅內(nèi)克）符號(hào)。 由 ()可知 ()kx k i? 是 n 次代數(shù)多項(xiàng)式 ()ilx的 n 個(gè)零點(diǎn)。所以 ()ilx也可以表達(dá)成： 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i nl x c x x x x x x x x??? ? ? ? ? 其中 c 為待定常數(shù)。 （ ） 我們先令 ()iilx=1，容易求出： ? ? 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i nc x x x x x x x x ???? ? ? ? ? （ ） 于是將 （ ）代入到（ ）中可得到 0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )i i nii i i i i i nx x x x x x x xlx x x x x x x x x??? ? ? ?? ? ? ? ? （ ） 利用上述函數(shù) ()ilx，容易驗(yàn)證出： 0( ) ( )nn i jjL x y l x??? （ ） 從而滿(mǎn)足插值條件： ()n i iL x y? ， 0,1 ,in? 存在性得證 其次證明 唯一性 ： 設(shè) n 次多項(xiàng)式 ()nLx和 ()nQxLagrange 插值問(wèn)題的解，則有表達(dá)式： ( ) ( ) ( )n i n i iL x Q x f x?? 0,1 ,in? 由該等式，可記 ( ) ( ) ( )nnG x L x Q x??，則有 ()nGx P? ，并且 ( ) 0iGx? ， 0,1 ,in? 即 ()Gx有 1n? 個(gè)零點(diǎn)， 由 高等代數(shù)上的基本知識(shí)點(diǎn)可知，如果一個(gè) n 次代數(shù)多項(xiàng)式至少存在有 1n? 個(gè)根，則它的表達(dá)式一定恒為零，因此 ( ) 0Gx? ， 即 ( ) ( )nnQ x L x? 唯一性得證 線(xiàn)性插值和拋物線(xiàn)插值 線(xiàn)性插值 多項(xiàng)式 的定義 假定已知區(qū)間 ? ?01,xx 的端點(diǎn)處 的函數(shù)值為 00()y f x? ， 11()y f x? ， 并 要求線(xiàn)性插值多項(xiàng)式 1()Lx使它滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件： 1 0 0()L x y? ， 1 1 1()L x y? 1()y L x? 的幾何意義是：通過(guò)兩個(gè)點(diǎn) 00( , )xy 和 11( , )xy 的直線(xiàn)，如圖 1所示 1()Lx的表達(dá)式可由幾何意義直接給出： 101 0 010( ) ( )yyL x y x xxx?? ? ?? （點(diǎn)斜式） 1y 011 0 10 1 1 0() xxxxL x y yx x x x?????? （兩點(diǎn)式） 0y 由兩點(diǎn)式方程可以看出： 0x 1x 1()Lx由兩個(gè)線(xiàn)性函數(shù) 1001()xxlx xx?? ? ， 0110()xxlx xx?? ? 的線(xiàn)性組合得到， （圖 1） 其中系數(shù)分別為 01,yy， 1()Lx 0 0 1 1( ) ( )l x y l x y??。顯然 0()lx和 1()lx是插值多項(xiàng)式。在節(jié)點(diǎn) 0x 和 1x 滿(mǎn)足以下條件： 00()1lx? ， 01( ) 0lx? ， 10( ) 0lx? ， 11( ) 1lx? 稱(chēng)函數(shù) 0()lx和 1()lx為一次插值基函數(shù)或線(xiàn)性插值。圖像如下： 1 0()lx 0 0x 1x 拋物線(xiàn)插值 多項(xiàng)式 的定義 當(dāng) 2n? 時(shí)，假設(shè)節(jié)點(diǎn) 插值 為 1ix? ， ix ， 1ix? ，二次的插值多項(xiàng)式為 2()Lx， 以使其 滿(mǎn)足條件： 2()jjL x y? （ 1, , 1j i i i? ? ? ）， 其 2()y L x? 的幾何意義是：通過(guò)三 點(diǎn) 11( , )iixy??， ( , )iixy ， 11( , )iixy??的拋物線(xiàn)。 1 1 11 1 1( ) 1 , ( ) 0( , 1 )( ) 1 , ( ) 0( 1 , 1 )( ) 1 , ( ) 0( 1 , )i i i ji i i ji i i jl x l x j i il x l x j i il x l x j i i? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 例如 1()ilx? ，因?yàn)樗袃蓚€(gè)零點(diǎn) 1,iixx? ，故可以將它表示成 1()ilx? 。 由 11( ) 1iilx??? ，得 1 1 11( )( )i i i ic x x x x? ? ?? ??。 所以： 11 1 1 1( ) ( )() ( ) ( )iii i i i ix x x xlx x x x x?? ? ? ????。 同理： 111( )( )() ( )( )iiii i i ix x x xlx x x x x?????? ， 111 1 1( ) ( )() ( ) ( )iiii i i ix x x xlx x x x x??? ? ???? 函數(shù) 11( ), ( ), ( )i i il x l x l x??稱(chēng)為二次插值基函數(shù)或拋物插值基函數(shù)。 在區(qū)間 11[ , ]iixx??上的圖像為： 1()ilx? ()ilx 1()ilx? （ 圖 2） 基于拋物線(xiàn)插值函數(shù) 11( ), ( ), ( )i i il x l x l x??可以立即得到拋物線(xiàn)插值多項(xiàng)式： 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i iL x l x y l x y l x y? ? ? ?? ? ? 顯然它滿(mǎn)足條件 2 ( ) ( )j j jL x l x y? （ 1, , 1j i i i? ? ? ） 即 ：1 1 1 12 1 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ii i ii i i i i i i i i i i ix x x x x x x x x x x xL x y y yx x x x x x x x x x x x? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 拉格朗日的數(shù)值算法計(jì)算（見(jiàn)附錄 1） 下面將用具體的實(shí)例 ,來(lái)演示 Lagrange 插值公式的算法 ,給出一個(gè)簡(jiǎn)單求函數(shù)逼近的例子： 已知 1 0 0 1 0 , 1 2 1 1 1 , 1 4 4 1 2???，試分別用線(xiàn)性插值和拋物線(xiàn)插值公式求出 125 的近似值。 由于在上面章節(jié)中介紹了線(xiàn)性插值公式和拋物線(xiàn)插值公式，只需要套入公式即可求出 125 的近似計(jì)算值，接下來(lái)我們用算法，同樣也能求出其近似值。 第一步：首先我們輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 第二步：我們通過(guò)算法輸入插值節(jié)點(diǎn)數(shù)（ 121， 11）、（ 144， 12） 第三步：我們輸入需要求出的節(jié)點(diǎn) 125 第四步：運(yùn)算求出結(jié)果（結(jié)果如下所示） 通過(guò)上述方法，我們同樣可以求出當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為三個(gè)的時(shí)候， 125 的近似值，其計(jì)算結(jié)果如下圖所示。 通過(guò)查表和計(jì)算器計(jì)算可得 125 的近似值為 ，經(jīng)過(guò)比較上述結(jié)果可知，插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，求得的結(jié)果越靠近其實(shí)際值，但插值公式也存在明顯的不足，如果增點(diǎn)一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，那 Lagrange 因子也必須重新計(jì)算，影響了實(shí)際的工作效率，在實(shí)際中輸入的插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，雖然求得的數(shù)越精確，但是也會(huì)變得相當(dāng)繁瑣。 拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用 資產(chǎn)的評(píng)估公式 : 資產(chǎn) =重置所有價(jià)格大幅貶值 功能性貶值 經(jīng)濟(jì)性貶值的價(jià)值 它的意義在于 ,資產(chǎn)評(píng)估在利用現(xiàn)時(shí)的條件下 ,被評(píng)估的資產(chǎn)在全新?tīng)顟B(tài)下的重置資本減去各種陳舊貶值后的差額作為被評(píng)估資產(chǎn)的現(xiàn)時(shí)價(jià)值。 （引 用于 百度百科 ） 理論與實(shí)際生活中的聯(lián)系 假設(shè)某類(lèi)電子設(shè)備的 1n? 的功能參數(shù)和價(jià)格，及已知曉該電子設(shè)備的功能參數(shù)： 01,nx x x ，其對(duì)應(yīng)的價(jià)格參數(shù)為： 01, ny y y 。 x 0x 1x 2x ?? nx y 0y 1y 2y ?? ny 由圖標(biāo)關(guān)系看出功能參數(shù)與及格的函數(shù)關(guān)系為 ： ()y f x? 假設(shè)在參數(shù)區(qū)間內(nèi)存在一條代數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)曲線(xiàn)，在函數(shù)曲線(xiàn)上所有的數(shù)值都滿(mǎn)足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用函數(shù)曲線(xiàn)作為 ()y f x? 的模擬曲線(xiàn)，這就是我們用到的 Lagrange 插值法。利用這條曲線(xiàn)，輸入新的插值點(diǎn)，即可重置成本的參考價(jià)格。 如右圖所示： 而拉格朗日插值多項(xiàng)式為： 0 1 10 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )n i i nnii i i i i i i nx x x x x x x xL x y x x x x x x x x???? ? ? ?? ? ? ? ?? 令 1, 2nn??時(shí)可分別得到線(xiàn)性插值和拋物線(xiàn)插值。如下圖所示： 計(jì)算機(jī)運(yùn)行方法分析 根據(jù)上述分析，如若電氣設(shè)備的信息點(diǎn)越多，曲線(xiàn)的擬合度就變得越加復(fù)雜，而評(píng)估的準(zhǔn)確率就會(huì)更高，計(jì)算公式就會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜，這時(shí)我們需要借助計(jì)算機(jī)。 把 Lagrange 表達(dá)式化成 :0 0( ) ( )nn jnii j ijjixxL x yxx? ??????? ? 由上述公式和 ,見(jiàn) 附錄 2 y = f x( )yxy ny 2y 1y 0x nx 2x 1x 0oy = f x( )y 1y 0x 1x 0oyxy 2x 2y = f x( )y 1y 0x 1x 0oyx 結(jié)論 由以上 程序框圖 分析可知 ,采用 Lagrange 插值法計(jì)算設(shè)備的功能重置成本 ,計(jì)算精度較高 ,方法快捷。但是 ,由于上述方法只能針對(duì)可比性較強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備 ,方法本身也只考慮單一功能參數(shù) ,因此 ,它的應(yīng)用范圍受到一定的限制。作為一種探索 ,可將此算法以及其他算法集成與計(jì)算機(jī)評(píng)估分析系統(tǒng)中 ,作為傳統(tǒng)評(píng)估分析方法的輔助參考工具 ,以提高資產(chǎn)價(jià)值鑒定的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。 評(píng)價(jià)與總結(jié) Lagrange 插值方法 是 最基本的插值方法， 拉格朗日插值公式是對(duì)稱(chēng)的，容易記憶，理解 ， 在了解，證明，應(yīng)用 Lagrange 插值公式的過(guò)程中， 不僅要注重理論知識(shí)， 更加要應(yīng)用到實(shí)際生活中去，不僅只有大學(xué)才能用 Lagrange 公式來(lái)解決各種問(wèn)題，高中的部分問(wèn)題用 Lagrange