【文章內(nèi)容簡介】 y f x i??和 ? ?? ? 0,1iim f x i??, 求三次多項(xiàng)式 ? ?3Hx, 使其滿足： 339。3() ( 0 ,1)()iiiiH x y iH x m??? ????? 3()Hx稱為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。 誤差估計(jì) 定理 4 設(shè) f(x)在包含 x0、 x1 的區(qū)間 [a,b]內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng) x∈ [a,b]時(shí)有余項(xiàng) ( 4 ) 2 23 3 0 11( ) ( ) ( ) ( ) ( )4!R x f x H x f x x x x?? ? ? ? ?（ ） （ ( , )ab?? 且與 x有關(guān)） 設(shè)01( 4 )4 m ax ( )x x xM f x??? 則當(dāng) ? ?01,x x x? 時(shí) , 余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限） 443 () 384MR x h? 二重 Hermite 插值多項(xiàng)式 常用的 Hermite 插值為 mi=2 的情況，即給定的插值節(jié)點(diǎn) ? ?0 ni ix ?均為二重節(jié)點(diǎn)，更具體些 ? ?? ?2( ) ,f x C a b? ，及插值節(jié)點(diǎn) ?? 0ni ix ? ，若有 2 1 2 1()nnH x P??? 滿足 21( ) ( )n i iH x f x? ? 39。39。21 ( ) ( ) , 0 , 1 , ,n i iH x f x i n? ?? …， 就稱 ? ?2? 1nHx? 為 ??fx關(guān)于節(jié)點(diǎn) ? ? 0 ni ix ? 的二重 Hermite 插值多項(xiàng)式。 01[ , ]xx上存在且連續(xù)時(shí)，上述余項(xiàng)公式成立 Hermite 插值優(yōu)點(diǎn)： 分段線性插值的算法簡單，計(jì)算量小，然而從整體上看 ，逼近函數(shù)不夠光滑，在節(jié)點(diǎn)處，逼近 函數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)不相等。 11 Hermite 插值 的逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)不僅在插值節(jié)點(diǎn)上取相同的函數(shù)值，而且 逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上去相同的若干階導(dǎo)數(shù)值 。 Hermite 插值法結(jié)合了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，使得插值的精度更為提高 。 Hermite 插值 具有少節(jié)點(diǎn)得到高次插值多項(xiàng)式的特點(diǎn) Hermite 插值 插值多項(xiàng)式靈活多樣 Hermite 插值 在節(jié)點(diǎn)一定的條件下，可以多種構(gòu)造插值條件 3 重節(jié)點(diǎn)插商與 Hermite 插值 4 例題及解答 例題 1 （ 兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式 ） 已知 ()fx在節(jié)點(diǎn) 1,2 處的函數(shù)值為 (1) 2, (2) 3ff?? ，()fx在節(jié)點(diǎn) 1,2 處的導(dǎo)數(shù)值為 39。39。(1) 0, (2) 1ff? ? ? 求 ()fx的兩點(diǎn)三次插值多項(xiàng)式，及 ()fx在 ,? 處的函數(shù)值 解： 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y h x y h x y h x y h x??? ? ? ? 220011011 0 0 1 0 1 1 01 2 1 2x x x xx x x xyyx x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 010 0 1 10 1 1 0xxxxy x x y x xx x x x? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 23 ( ) 2 1 2 ( 1 ) 2 3 1 2 ( 2 ) 1 2 1H x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 323 13 17 9x x x? ? ? ? ? 3( ) ( ) 25fH?? 3( ) ( ) 31fH?? 011, 2xx?? 012, 3yy?? 010, 1yy??? ?? 12 作為多項(xiàng)式插值 ,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生 Runge 現(xiàn)象 ,因此，對(duì)有 n+1 節(jié)點(diǎn)的插值問題，我們可以使用分 段兩點(diǎn)三次 Hermite 插值 例 2 （誤差估計(jì)） 已知 12()f x x? 及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見下表 ,用埃爾米特插值公式計(jì)算 12125的近似值 ,并估計(jì)其截?cái)嗾`差 . 解： 23 1 2 1 1 4 4( ) 1 1 1 2 1 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 4xxHx ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?21 4 4 1 2 11 2 1 21 2 1 1 4 4 1 4 1 2 1xx??? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? 21 1 2 1 1 4 42 2 1 4 4 1 2 1 1 2 1 1 4 4xx??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?21 1 4 4 1 2 12 4 1 2 1 4 4 1 4 4 1 2 1xx??? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?223 331 1 1 2( ) 2 2 1 9 1 4 4 2 6 5 2 1 2 12 3 2 3H x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2222111 2 1 1 4 4 1 4 4 1 2 12 2 2 3 2 4 2 3x x x x? ? ? ? ? ??? 得 3125 (125 ) 8035H?? 由 (4)7215() 16fx x?? 可求得 223 32315 1(125 ) 4 19384 1615 19 384 121 11R ?????? ? ?? x 121 144 f(x) 11 12 f 39。(x) 1/22 1/24 13 5 參考文獻(xiàn) [1] 蔣爾雄、趙風(fēng)光、蘇仰峰 , 數(shù)值逼近 (第二版 ),， 復(fù)旦大學(xué)出版社 , 2021. 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[8] 歐陽潔， 數(shù)值分析 ， 高等教育出版社 6 附錄 7 致謝 14 四年的努力學(xué)習(xí)，三個(gè)月的精心準(zhǔn)備，畢業(yè)論文終于到了劃句號(hào)的時(shí)候，在此之際，我首先要向在論文協(xié)作中給予我悉心關(guān) 懷、鼓勵(lì)和指導(dǎo)的陳傳軍老師致以深深的敬意和謝意。在大學(xué)期間陳 老師教授過我 《數(shù)值逼近 》和《微分方程數(shù)值解法》兩門課程，共四個(gè)學(xué)期。無論是在授課指導(dǎo)我寫論文過程中，陳老師教學(xué)態(tài)度認(rèn)真，為人和藹可親，在設(shè)計(jì)思想方面， 更有著獨(dú)特的見解，給我的設(shè)計(jì)注入了許多專業(yè)的思想，激發(fā)了我的靈感。這些都使我受益匪淺，并終身難忘。十分慶幸在即將離開煙臺(tái)大學(xué)之際，又能跟隨陳老師學(xué)習(xí)。畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文寫作的經(jīng)歷和收獲，值得一生回味。 同時(shí)，我還要感謝煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院的曾經(jīng)給我授課的各位老師，這是他們的傳道、授業(yè)、解惑，讓我學(xué)到了專業(yè)知識(shí)，為這次畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文的完成打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并且我從他們身上學(xué)到了如何求知治學(xué)、如何為人處世。各位老師對(duì)我的教育和影響，將使我終身受益。 我還要感謝同學(xué)和朋友的關(guān)心和幫助，煙臺(tái)大學(xué)對(duì)我多年的 培養(yǎng)，這些都是我這次完成畢業(yè)設(shè)計(jì)和畢業(yè)論文的不可或缺的因素。 謹(jǐn)向我的父母和家人表示誠摯的謝意，使他們不變的支持、無微不至的關(guān)懷，促使了我的前進(jìn)。沒有他們就沒有我，我的點(diǎn)滴成就來自于他們。 我知道，這篇論文還存在缺點(diǎn)和不足之處，但是它是一個(gè)起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，我會(huì)更加努力，在以后的研究生學(xué)習(xí)中，不斷提高自己。由于涉及知識(shí)范圍廣且本人水平有限，本文不免有錯(cuò)漏和不妥之處，望大家批評(píng)指正，不吝賜教 最后，衷心感謝在百忙之中評(píng)閱論文的各位老師、專家、教授！ 1 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) )評(píng)審表 （指導(dǎo)教師用） 題 目 Hermite 插值的若干問題研究 學(xué)生姓名 xxx 學(xué)號(hào) 20xxxxxx16 專業(yè) 信息與計(jì) 算科學(xué) 指導(dǎo)教師 姓 名 xxxxx 職稱 副教授 所學(xué)專業(yè) 計(jì)算數(shù)學(xué) 是否同意參加答辯： 得分 評(píng)語： 指導(dǎo)教師（簽字）： 年 月 日 2 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) )評(píng)審表 (評(píng)閱人用 ) 題 目 Hermite 插值的若干問題研究 學(xué)生姓名 xxxxx 學(xué)號(hào) xxxxxxxx6 專業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師 姓 名 xxxx 職稱 副教授 所學(xué)專業(yè) 計(jì)算數(shù)學(xué) 是否同意參加答辯： 得分 評(píng)語： 評(píng)閱人（簽字）： 年 月 日 1 Hermite插值的若干問題研究 姓 名： xxx 導(dǎo) 師： 陳 xx 2021 年 05 月 25 日 完成地點(diǎn)：煙臺(tái)大學(xué) 2 煙臺(tái)大學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書 院（系）：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 姓名 xxxx 學(xué) 號(hào) 2xxxxxxxxx 畢業(yè)屆別 2021 專 業(yè) 信息與計(jì)算 科 學(xué) 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 Hermite 插值的若干問題研究 指導(dǎo)教師 xxx 學(xué)歷 博士 職稱 副教授 所學(xué)專業(yè) 計(jì)算數(shù)學(xué) 具體要求 (主要內(nèi)容、基本要求、主要參考資料等 ): 1. 主要內(nèi)容 : 本文主要介紹 Hermite 插值，包括它的定義、二重 Hermite 插值多項(xiàng)式、唯一性定理、誤差定理。通過兩個(gè)典型的 Hermite 插值的例子，說明建立 Hermite插值多項(xiàng)式的方法。并列舉常用的兩點(diǎn)三次插值。最后簡單討論了 Hermite 插值的優(yōu)缺點(diǎn)。 2. 基本要求 : 論文的推導(dǎo)、論證等要有獨(dú)創(chuàng)性 : 前后連貫通順 . 論文想的清 , 說的明白 , 想的深 , 說的透 , 做到深入簡出 , 言簡意賅 . 3. 主要參考資料 : 數(shù)學(xué)分析、數(shù)值逼近、數(shù)值線性代數(shù)、微分方程數(shù)值解法等 . 進(jìn)度安排 : 第一階段： 8~10 周 收集、閱讀參考資料，熟悉相關(guān)理論知識(shí) . 第二階段： 11~12 周 總體構(gòu)思、列出提綱、完成初稿 . 第三階段： 13~15 周 修改完善論文 , 按要求書寫論文并完成定稿 . 第四階段： 16 周 論文裝訂 , 完成論文答辯 . 指導(dǎo)教師（簽字）： 年 月 日 院（系）意見： 教學(xué)院長（主任）（簽字）： 年 月 日 備注： 3 4 您好，為你提供優(yōu)秀的畢業(yè)論文參考資料，請(qǐng)您刪除以下內(nèi)容， O(∩ _∩ )O 謝謝?。。?A large group of tea merchants on camels and horses from Northwest China39。s Shaanxi province pass through a stop on the ancient Silk Road, Gansu39。s Zhangye city during their journey to Kazakhstan, May 5, 2021. The caravan, consisting of more than 100 camels, three horsedrawn carriages and four support vehicles, started the trip from Jingyang county in Shaanxi on Sept 19, 2021. It will pass through Gansu province and Xinjiang Uygur autonomous region, and finally arrive in Almaty, formerly known as AlmaAta, the largest city in Kazakhstan, an