【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x a h x a h x a h x a h x? ? ? ? 如果希望插值系數(shù)與 Lagrange 插值一樣簡(jiǎn)單，那么重新假設(shè) 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x? ? ? ???? ? ? ? 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 其中 00()1x? ? 01( ) 0x? ? 00( ) 0x?? ? 01( ) 0x?? ? 10( ) 0x? ? 11( ) 1x? ? 10( ) 0x?? ? 11( ) 0x?? ? 00( ) 0x? ? 01( ) 0x? ? 00()1x?? ? 01( ) 0x?? ? 10( ) 0x? ? 11( ) 0x? ? 10( ) 0x?? ? 11( ) 1x?? ? 可知 1x 是 0()x? 的二重零點(diǎn)，即可假設(shè) 201( ) ( ) ( )x x x ax b? ? ? ?. 由 00()1x? ? 00( ) 0x?? ? 可得 3012()a xx?? ?. 0230 1 0 121( ) ( )xb x x x x???? ))(()( 10 baxxxxa ??? })( 2)( 1)( 2{)( 310 021031021 xx xxxxx xxx ???????? 2 0120 1 0 1 0 12() 21 xxx xx x x x x x???? ? ???? ? ??? 2101010 ))(21( xx xxxx xx ?????? )())(21( 201 xlxl ??? ... ... 11 Lagrange 插值基函數(shù)如下式所示 22 0 10 1 0 1 0 0 1( ) ( 1 2 ( ) ) ( ) 1 2 xx xxx l x l x x x x x?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 類似可得 2 11 0 1 01( ) (1 2 ( ) ) ( ) 1 2 xxx l x l x xx? ???? ? ? ? ?????? ? ? 22 10 0 0 001( ) ( ) ( ) xxx x x l x x x xx? ???? ? ? ? ? ????? ? ? 22 01 1 1 110( ) ( ) ( ) xxx x x l x x x xx? ???? ? ? ? ? ????? 將以上結(jié)果代入 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x? ? ? ???? ? ? ? 得兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的三次 Hermite 插值公式 3 0 0 1 1 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )H x y x y x y x y x? ? ? ???? ? ? ? 2 2 2 20 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1( 1 2 ( ) ) ( ) ( 1 2 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y l x l x y l x l x y x x l x y x x l x??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2020 1 10 1 0 0 1 11 0 0 1 0 1 0 1 1 01 2 1 2x x x xx x x x x xy y y x x y x xx x x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注解 二點(diǎn)三次 Hermite 插值的余項(xiàng) 3R (x)= !4 )(4?f 20)( xx? 21)( xx? 10 xx ??? 167。 Hermite 插值的幾個(gè)重要定理 定理 誤差定理 若 ),(22 baCf n?? ， 則 ??fx關(guān)于 ? ?,ab 上節(jié)點(diǎn) nix}{ 的二重 Hermite 插值多項(xiàng)式誤差為 12 ( 2 2 ) 22 1 2 1 ()( ) ( ) ( ) ( )( 2 2 ) !nn n nfR x f x H x w xn ????? ? ? ? 定理 唯一性定理 Hermite 插值問(wèn)題的表達(dá)式 ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , ,iiH x f x i n??. ( ) ( ) , 0 , 1 , 2 , , ( )iiH x f x i r r n??? ? ?. 的解 H(x) 存在而且唯一 . 定理 Hermite 插值余項(xiàng)定理 Hermite 插值公式的余項(xiàng)為 ( 2 ) ()( ) ( ) ( ) ( )( 2 ) !nrnrff x H x w x w xnr ????? ??. 其中 ,? 是插值區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)的某一點(diǎn) . 167。 Hermite 插值的優(yōu)點(diǎn) 分段線性插值的算法簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，然而從整體上看，逼近函數(shù)不夠光滑，在節(jié)點(diǎn)處，逼近函數(shù)的左右導(dǎo)數(shù)不相等 . Hermite 插值的逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)不僅在插值節(jié)點(diǎn)上取相同的函數(shù)值，而且逼近函數(shù)與被逼近函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上去相同的若干階導(dǎo)數(shù)值 . Hermite 插值法結(jié)合了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，使得插值的精度更為提高 . Hermite插值 具有少節(jié)點(diǎn)得到高次插值多項(xiàng)式的特點(diǎn) . Hermite 插值 插值多項(xiàng)式靈活多樣 . Hermite 插值 在節(jié)點(diǎn)一定的條件下，可以多種構(gòu)造插值條件 . 167。 Hermite 插值的源程序 167。 三次 Hermite 插值的 C 程序 例 已知函數(shù) y=1/(1+x2) 13 在區(qū)間 [0,3]上取等距插值節(jié)點(diǎn)，求區(qū)間 [0,3]上的分段三次埃爾米特插值函數(shù)，并利用它求出 f()的近似值（ ） 表 12 例題數(shù)據(jù)表 ix 0 1 2 iy 1 39。iy 0 注解 本例題程序流程圖及 C程序詳見(jiàn)附錄 A. 167。 二重 Hermite 插值的 matlab 程序 注解 程序及程序演示詳見(jiàn)附錄 B 第二章 Hermite 插值的應(yīng)用 167。 Hermite 插值函數(shù)的工程應(yīng)用 14 對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題運(yùn)用不同的方法或許都能得到相同的結(jié)果，但是每一個(gè)方法都有其得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)以及劣勢(shì) .特別是在現(xiàn)在這個(gè)現(xiàn)代化的信息時(shí)代，計(jì)算已經(jīng)變得越來(lái)越重要，對(duì)計(jì)算結(jié)果的要求也十分苛刻 .插值方法在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用它能使一個(gè)有著大量數(shù)據(jù)的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了、易于觀察，因此，地位自然不喻 .Hermite插值 為使插值函數(shù)能更好地和原來(lái)的函數(shù)重合，不但要求二者在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求相切，對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等 ,憑借其精度高，計(jì)算嚴(yán)謹(jǐn)被大多數(shù)人應(yīng)用了起來(lái) . 算例分析 在土方工程中，土的最大干密度與最優(yōu)含水量是確保路基壓實(shí)質(zhì)量的兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo) ,利用埃爾米特插值函數(shù)求得的干密度、含水量能更好地逼近試驗(yàn)得到的 dp 一 ? 曲線，求解精度較高 . 通過(guò)繪制干密度與含水量的相關(guān)曲線，即 pd 一 ? 曲線，求得最大干密度與最優(yōu)含 水量的方法為圖解法。圖解法因簡(jiǎn)便直觀而在實(shí)際工作中被廣泛采用，但圖解法隨意性大，易產(chǎn)生人為誤差。目前，數(shù)解法主要有兩類：一是利用曲線擬合法求解，二是利用代數(shù)插值求解 .用上述方法分別對(duì)試驗(yàn)的工程實(shí)例進(jìn)行了求解，發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果 的差值較大，其中最大干密度差值達(dá) ～ 3/cmg ，最佳含水量差值達(dá) ％ ～ ％ .在本研究中利用埃爾米特插值問(wèn)題，試圖更加精確地求解最大干密度與最優(yōu)含水量 . 例 某公路工程路基填七的一組室內(nèi) 標(biāo)準(zhǔn)擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表 21，由表 21可知，其最火干密度應(yīng)在含水量 ％附近 . 表 21 室內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果 試驗(yàn)序號(hào) 1 2 3 4 5 含水量 ? % 干密度 dp（ g? 3?cm ) 根據(jù)圖解法 ,將最大干密度定為 g/ 3cm ,對(duì)應(yīng)的最優(yōu)含水最為 ％ .而根據(jù) ??dp 曲線圖，最優(yōu)含水量在 12％附近更為恰當(dāng) .下面利用埃爾米特插值函數(shù)求解最大干密度與最優(yōu)含水量 .取 2,1,0 ??? 分別為 、 、 ， 對(duì)應(yīng)的 )( if? 分 別 為 、 、 ，得 到 ][ 1,0??f = 0． 01l 905, ],[ 21,0 ???f =. 15 步驟一 建立干密度、含水量的埃爾米特插值函數(shù) .利用式 ))()((],[ 21021,0 ????????? ???? Af 建立干密度、含水量的埃爾米特插值函數(shù)為 H ( ? ) = + (? ) 419 4(? ) (? ) +A(? ) (? )(? )， 利用式子 ))(( ],[)(],[)( 2101 21001101 ???? ???????? ?? ???? fffA. 可得 A = )( 139。 ?f + . 步驟二 求解最大干密度與最優(yōu)含水量 .取 3? = ％， 對(duì)應(yīng)的 )( 33 ?fpd ? =, 根據(jù)插值條件 )()( 33 ?? fH ? , 代入式 A = )( 139。 ?f + , 令 0)(39。 ??H , 得 ??? ?? , 解此方程得最優(yōu)含水量為 ％ .得最大干密度為 1． 85 g／ 3cm . 步驟三 誤差分析：由表 21中試驗(yàn)數(shù)據(jù)可得 54310 1