【正文】 分割 T ,即0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?，使得1niii x??? ???。 從 定理 3可以看出 R可積函數(shù)可由兩個(gè)階梯函數(shù)來逼近。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，總存在相應(yīng)的某一分割 T ,即 0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?， 由 定理 3可知，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數(shù) ? 和 ? ，得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????， 且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ???? ， ( ( ) ( )) d 2ba x f x x ?? ??? ， ( ( ) ( ))d 2ba f x x x ????? 。 若 1iimm?? ，對(duì) ? ?,iix x x??? ，作 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ?（如圖 3所示），則1 ()iim g x m? ??。于是 ? ?111( ( ) ( ) ) d 2 m a x ( , ) 2 1 m a x ( , )nnb iia iix g x x m m m M n m M? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ???? 。從而 ( ) ( ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d 22b b b ba a a ag x f x x f x g x x f x x x x g x x ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。若 1iiMM?? ，對(duì)? ?,iix x x??? ， 1,2, , 1in??，作 ? ?11() iiiiMMh x M x x??? ?? ? ?，此時(shí) 1()iiM h x M ???。 在其他處作 ( ) ( )h x x?? ，則 ()hx 在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )f x x h x???。 從 定理 4可以看出 R可積函數(shù)可由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)來逼近。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則對(duì)任意 0?? ，總存在相應(yīng)的某一分割 T ,即0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?，使得1niii x??? ???。 從 ()wx的表達(dá)式可知， ()wx為一次函數(shù)， ( ) ( )iiw x f x? ， 11( ) ( )iiw x f x??? ，則 ()wx在 ? ?,ab x y 1ix? ix ix ?? im 1ix? 1im? 圖 2 ? ?1() iiiimmg x m x x?? ?? ? ? y x 1ix? ix ix ?? 1ix? im 1im? 圖 3 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ? 10 上連續(xù)。 從 定理 5可以看出 R可積函數(shù)可由一個(gè)連續(xù)函數(shù)來逼近。 [8] 證明 ()fx在 ? ?,ab 上可積，則可將區(qū)間 ? ?,ab n 等分 ，即 ? ? ? ? ? ?01n n nna x x x b? ? ? ? ?，記 ? ? ? ? ? ?1 ,n n ni i iI x x???? ??， 1,2, ,in? ， ? ?? ?inf ( )nini xIm f x??， ? ?? ?sup ( )nini xIM f x??， ()fx在 ? ?,ab 上可積，則 ? ? ? ?1lim 0n nniin i x??? ? ???。 作 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?11()( ) ( ) nniinnn i inniif x f xx f x x xxx????? ? ??，則 ()nx? 在 ? ?,ab 上連續(xù)，那么 ()nx? 在? ?,ab 上可積。 于是 ( ) lim ( )bbnaanf x d x x d x??????。 3 逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用 實(shí)變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論， Lebesgue積分是在 Riemann積分改進(jìn)的基礎(chǔ)上形成的。 用開集和閉集來逼近可測(cè)集 定理 6 設(shè) nE?R ， E 為可測(cè)集的充要條件為對(duì)任意的 0?? ，存在開集 G ,使 EG? ,且 ? ?*m G E ???。 對(duì)于每個(gè) 1n? ， ? 開集 nGE? ，有 ? ?* 1nm G E n??。又1 nnn GG?? ?，則 nG E G E? ? ? 。令 n?? ，得? ?* 0m G E??，又外測(cè)度的正則性，所以 ? ?* 0m G E??，即 GE? 為零測(cè)集。 再證必要性。 又 mE??? ，則 mG mE ???。 當(dāng) mE??? 時(shí)，則1 nnEE???，且 nE 為互不相交有界的可測(cè)集。于是存在開集 nG ，有 nnGE? ，使得 ()2nn nm G E ???。 于是1 1 1 1 n n nn n n nG E G E G E? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ????。那么 11( ) ( ) 2nn nnnm G E m G E? ?????? ? ? ? ???， 即 ()m G E ???。 即命題得證， 定理 6可以說明開集是從外向內(nèi)逼近可測(cè)集。 證明 先證必要性。令 cFG? ，則 F 為閉集，有 cGE? ，即 FE? 。 再證充分性。令 cGF? ,則 G 為開集，且 cGE? ， 12 那么 ? ? cc c cG E G E F E E F? ? ? ? ?。 命題得證，此例題說明閉集從內(nèi)向外可逼近可測(cè)集。 [9] 證明 對(duì)任意的自然數(shù) k ，我們將 ? ?0,k 劃分為 2kk 等分，并記 , 1。 ( ) ,kE x E f x k? ? ? 作函數(shù)列 ? ? ,2,1,2,2,1,2 1 , ?? ??????????? kkjExkExjx kkjkkk? 并記,211( ) ( ) ( )2kk k jkk E Ekj jx k x x? ? ?? ??? ?,xE? 。 這是因?yàn)?, 1 , 2 1 1 , 2k j k j k jE E E? ? ?? ，當(dāng) ,kjxE? 時(shí)，則 1,2 1kjxE??? 或 1,2kjxE?? 。 對(duì)任意 xE? , ()fx??? ，則 kxE? ，從而 ( ) ( )k x k k? ? ? ?? ? ??；若 ()fx??? ，則存在自然數(shù) N ，使 ()f x N? ，則當(dāng) kN? 時(shí)，有 10 ( ) ( ) 2k kf x x?? ? ?， xE? ， 所以 lim ( ) ( )kk x f x??? ? ， xE? ， 即定理得證。 例 3 若 ()fx是 E 上的可測(cè)函數(shù)，則存在可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)列 ? ?()k x? ，使得 ( ) ( )k x f x? ? ，且有 lim ( ) ( )kk x f x??? ?， xE? 。令? ? 12( ) ( )k k kx x x? ? ???，那么 ??k x? 是可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)。 又 1 ( ) ( )k x f x? ?? ， 2 ( ) ( )k x f x? ?? ，那么 ? ? 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k kx x x x x f x? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 即 ? ? ()k x f x? ?， xE? 。 連續(xù)函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù) 定理 8 （ Lusin定理）設(shè) ()fx是可測(cè)集 E 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 0?? ，存在閉子集 FE?? ,使 ()fx在 F? 上連續(xù)，且 ? ?m E F? ???。 例 4 設(shè) ()fx是可測(cè)集 E 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則存在一列單調(diào)遞增的閉子集??nF ，使得 ()fx在每個(gè) nF 上連續(xù)，且1 0nnm E F????????????????。記1nniiFE??，則 nF 為閉集，且 ()fx在 nF 上連續(xù)， ??nF 單調(diào)遞增，又1 n n nnE F E F E E????? ? ? ? ????? ，所以 ? ? ? ?11n n nnm F m E F m E E n??????? ? ? ? ? ?????????。 定理 9 設(shè) E 為一維空間 1R 上的有界可測(cè)集合， ? ?,E ab? ， ()fx是 E 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 0?? ，存在閉集 FE? 及在整個(gè)直線上連續(xù)的函數(shù) ()gx ，使 （ 1）當(dāng) xF? 時(shí) ， ( ) ( )f x g x? ； （ 2） ? ?m E F ???。下面從 F 出發(fā)將 ()fx擴(kuò)張成 1R 上滿足要求的連續(xù)函數(shù) ()x? ，由于 F 為 1R上閉集，那么 1 F?R 為開集，則 1 F?R 是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間 ? ?,iiab 的并集，且當(dāng) ,iiab為有限數(shù)時(shí)， ,iiab屬于 F 。 例 5 設(shè) 1E?R 為可測(cè)集， ()fx是 E 上幾乎處處有限的實(shí)函數(shù)，則 ()fx在 E 上可測(cè)的充要條件是存在 1R 上連續(xù)函數(shù) 序列 ? ?()n x? ，使 ? ?lim ( ), . .nn x f x a e??? ?于 E 。 由 定理 9，對(duì)任意自然數(shù) n ，則存在閉集 nFE? 及 1R 上的連續(xù)函數(shù) ()nx? ，使在 nF 上，( ) ( )x f x? ? ，且 ? ? 1nm E F n??。 又 ? ?11n n nnnE F E F E F E F????? ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ? ? 1nm E F m E F n? ? ? ?，令 n?? ，得? ? 0m E F??。 從此例題可以看 出可測(cè)函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)序列來逼近。 引理 1 任何可測(cè)集 E 都可以表示為一列單調(diào)遞增有界可測(cè)集的極限。 , 1 , 2 ,m n iK x x x x m i n? ? ?， 1,2,m? ，令 mmE E K? 。又 E 為可測(cè)集， mK 為可測(cè)集，則 mE 為可測(cè)集。 由單調(diào)可測(cè)集列性質(zhì)，得 1 1 1l im ( )nm m m mnm m mE E E K E K E R E? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ?????。 定義 4 對(duì)任何可測(cè)集 E 上可測(cè)函數(shù)列 ? ?? ?nfx ： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ???? ? ??? , ,m i n nxfn nxfxfnxfxf n 稱為函數(shù) ??xf 的截?cái)嗪瘮?shù)列，記為 ? ?()nfx 。又 ? ?()nfx單調(diào)遞增，事實(shí)上當(dāng)? ?f x n? 時(shí)， ? ?1( ) ( )nnf x f x f x???；當(dāng) ? ? 1n f x n? ? ?時(shí)， ()nf x n? ， ? ?1()nf x f x? ? ，于是 1( ) ( )nnf x f x?? ；當(dāng) ? ? 1f x n??時(shí)， ()nf x n? ， 1( ) 1nf x n? ??，即 1( ) ( )nnf x f x?? 。 任意 0?? ，若 ()f x n? ，則 ? ?()nf x n?，當(dāng) n 充分大時(shí)，使得 n 與 ??fx充分接近，若 ()f x n? ， 則 ? ? ? ?()nf x f x?，有 ? ? ? ?lim ( )nn f x f x?? ?。 定義 5 設(shè) nE?R 是任 一可測(cè)集， ()fx在 E 上非負(fù)可測(cè)，稱? ? ? ?d lim ( ) dn nEEnf x x f x x?????為 ??fx在 E 上的 L積分。 連續(xù)函數(shù)逼近 L可積函數(shù) 定理 10 設(shè) ()fx是 1E?R 上的 L可積函數(shù) ,mE??? ,則對(duì)任意 0?? ，存在 1R 上的連續(xù)函數(shù) ??gx，使 ( ) ( ) dE f x g x x ????。 ( ) 0m E x f x? ? ?? ? ???。 ( ) 。 ( )nE E x f x n? ? ???，則 1nnEE?? 。 ( ) 0nn m E m E x f x?? ? ? ? ? ? ? ???。對(duì)于 NEE? ，由 定理 9，存在閉集 NNF E E?? 及 1R 上的連續(xù)函數(shù) ()x? ，使 （ 1）在 NF 上 ， ( ) ( )x f x? ? ,且 ? ?1supxR g x N? ?； （ 2） ? ? 4NNm E E F N?? ? ?。 即定理得證。 總結(jié) 函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，則函數(shù)在 E 上可測(cè)與函數(shù)在 L 上可積等價(jià)，即可測(cè)函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，則函數(shù) L 可積