【正文】 數(shù)和連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近 R可積函數(shù)。其次探討 逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用，從可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)、 L積分和 L可積函數(shù)的逼近來(lái)說(shuō)明逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的具體體現(xiàn)。Riemann integrable function。Lebesgue integrable function 3 引言 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，它為分析 、 處理和解決數(shù)學(xué)問題提供了指導(dǎo)方針和解題策略。所以研究逼近思想具有重要意義。由于 L積分是從改進(jìn)的 R積分形成的，所以本文先研究逼近思想在 R可積函數(shù)中的應(yīng)用和初等函數(shù)的逼近。 從圖形上可以看到劉徽是在單位圓內(nèi)，作內(nèi)接正多邊形，可以看到隨著正多邊形的邊數(shù)的增加，正多邊形越來(lái)越接近圓，于是他就用正多邊形的面積近似代替單位圓的面積。 Achiles是史詩(shī)《 Iliad》中的英雄人物。 [4] 很明顯 , 這是謬論。為了解決一個(gè)討論對(duì)象比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題 , 運(yùn)用逐步退的方法 , 退到與問題本身有著本質(zhì)聯(lián)系的最簡(jiǎn)單情形 。因?yàn)閳A是曲線圍成的，而不是我們所熟悉的直線圍成的，于是我們退 到求直線圍成的圖形面積，即求多邊形的面積。 5 逼近思想的含義是 為了解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題，首先從與該問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系的某些容易著手的條件或某些減弱的條件出發(fā)，再逐步地?cái)U(kuò)大（或縮?。┓秶鸩奖平?，以至最后達(dá)到問題所要求的解。 問題序列的逼近是從一個(gè)與問題實(shí)質(zhì)內(nèi)容有本質(zhì)聯(lián)系的較大范圍內(nèi)的問題開始 , 逐步縮小問題的范圍 , 通過(guò)這系列問題解決的成果和方法的分析、綜合、啟發(fā)等 , 使原來(lái)的問題獲得解決的一種方法。數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是函數(shù)，所以先研究初等函數(shù)的逼近是很有必要的。 ,nnf x T f x x o x x x x? ? ? ?， 此式叫做函數(shù) f 在 0x 處的 Taylor展開式。 ( )nnf x T f x o x??叫做函數(shù) f 的 Maclaurin展開式。雖然余項(xiàng)? ?? ?0 no x x? 一般不是多項(xiàng)式，但是比起前面那些項(xiàng)的總和，已是微不足道。當(dāng)然，我們必須為這一便利付出代價(jià)，那就是函數(shù)必須在一定的范圍內(nèi)具有適當(dāng)高階的導(dǎo)函數(shù)。取 ? ?1max iinTx????,若0 1lim ( )niiT i fx?? ? ??存在，且這個(gè)極 限的存在 7 性和數(shù)值不依賴于分割和 i? 在第 i 個(gè)子區(qū)間上的選取 ,則稱函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上黎曼可積。在每個(gè)小區(qū)間 ? ?1,iixx? 上任取一點(diǎn) i? ，作以 ? ?if ? 為高， ? ?1,iixx? 為底的小矩形，用這些小矩形的面積近似替代相應(yīng)小曲邊梯形的面積，這 n個(gè)小矩形的面積之和就是該曲邊梯形面積 S 的近似值，即 1 ()niiiS f x????? 1()i i ix x x?? ? ? ， 把分割加密，那么小矩形的面積能更好地替代小曲邊梯形的面積，則所求的 S 就更精確。 定理 3 設(shè) f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數(shù) ? 和 ? ， 使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????，且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ????， | ( ) ( ) | dba x f x x?????，| ( ) ( ) | dba x f x x????? 。 用連續(xù)函數(shù)逼近 R可積函數(shù) 定理 4 設(shè) f 在 ? ?,ab 上可積，求證：對(duì)任給的 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的連續(xù)函數(shù) g 和 h ，使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )g x f x h x??，并且 ( ) ( ) d , ( ) ( ) dbbaah x f x x g x f x x??? ? ? ???。 9 在其他處作 ( ) ( )g x x?? ，則 ()gx在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )g x x f x???，又 ()fx在 ? ?,ab上可積，則 ()fx在 ? ?,ab 上有界，即 ,mM? ,使得 ()m f x M??。 類似地，把階梯函數(shù) ()x? 按如下取折線函數(shù)的方式取得 ()hx 。同理可證( ) ( ) dba h x f x x ???? 。在 ? ?,ab 上作函數(shù) ??wx，當(dāng) ? ?1 ,iix x x?? 時(shí)， 1111( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , ,iiiii i i ix x x xw x f x f x i nx x x x ??????? ? ?。 例 1 f 在 ? ?,ab 上可積，則存在連續(xù)函數(shù)序列 ? ?()n x? ， ( )d lim ( )dbbnaanf x x x x??????。則在 ??niI 上 ， ? ? ? ?()nni n im x M???， ? ? ? ?()nniim f x M??，從而 ? ?( ) ( ) nnix f x????，故當(dāng) nN? 時(shí)，有 ? ? ? ?1( ) d ( )d ( ) ( ) dnb b b nnn n i ia a a if x x x x f x x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?。為了建立 Lebesgue積分，引進(jìn)了 Lebesgue可測(cè)集和可測(cè)函數(shù)，接下來(lái)我們探討可測(cè)集的逼近、可測(cè)函 數(shù)的逼近、 無(wú)界函數(shù) L積分的逼近和 L可積函數(shù)的逼近。作1 nnGG???， G 為 G? 型集，則G 為 可測(cè)集，又對(duì)每個(gè) 1n? ，有 nGE? ，所以 GE? ，從而1 nnG E G E????? ? ?????。于是? ?G G E??為可測(cè)集，即 E 為可測(cè)集。 又 GE? ，有 ()m G E mG mE? ? ?，即()m G E ???。作開集1 nnGG???，則11nnnnGE?????,即 GE? 。從而當(dāng) E 為可測(cè)集時(shí)，對(duì)于 0???，都 ? 開集 G ,有 GE? ，使得()m G E ???。 E 為可測(cè)集，則 cE 為可測(cè)集，由 定理 5可知， 0???， ? 開集 G ，有 cGE? ，使得? ?* cm G E ???。 0???,存在閉集 F ,使 FE? ,則 ccFE? 。 簡(jiǎn)單函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù) 定理 7 若 ()fx是 E 上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，則存在非負(fù)可測(cè)的簡(jiǎn)單函數(shù)漸升列： 1( ) ( ) , 1, 2 ,kkx x k?? ??? 使得 lim ( ) ( )kk x f x??? ?， xE? 。每個(gè) ()k x? 都是非負(fù)可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)，且有 1( ) ( ) ( )kkx x f x?????， xE? , 1,2,k? 。 此定理說(shuō)明可以用 非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)逼近非負(fù)可測(cè)函數(shù)。且有 ? ?l im ( ) ( ) ( )kk x f x f x f x? ???? ? ? ?， xE? 。 [10] 證略。令n?? ，得1 0nnm E F????????????????。令 14 ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, , , , , , , , , , .iii i i i i iiii i i ii i i if x x Ff b f af a x a x a b a bbagxf a x a b bf b x a b a?????? ? ? ?? ? ? ????? ?? ? ? ???? ? ? ??? 則 ()gx在 1R 上連續(xù)，且滿足在 F 上， ( ) ( )x f x? ? 。由 例 4可知， ??nF 是單調(diào)遞增，記1 nnFF???,則對(duì)任意 xF? ,存在 N ,使當(dāng) nN? 時(shí)， nxF? ，于是 ( ) ( )x f x? ? ，所以 ? ?lim ( )nn x f x??? ?， ? ?xF? 。 用有界函數(shù)的 L積分逼近無(wú)界函數(shù)的 L積分 設(shè) ()fx在 E 上非負(fù)有界且 mE??? ，當(dāng) E 為區(qū)間， ()fx在 E 上的 L積分與 R積分在形式上相同，現(xiàn)在設(shè) nE?R 是任一可測(cè)集， ()fx在 E 上非負(fù)可測(cè)，考慮 ()fx在 E 上的 L積分。 又 1mmKK? ? ，則 1mmEE? ? 。 從而任何可測(cè)集 E 都可以表示為一列單調(diào)遞增有界可測(cè)集 mE 的極限。即對(duì)于任意正整數(shù) n ，都有 1( ) ( )nnf x f x?? ，那么 ? ?lim ( )nn fx??存在，下證 ? ? ? ?lim ( )nn f x f x?? ?。 從 定義 5可以看出，非負(fù)可測(cè)函數(shù)的 L積分可由有界函數(shù)的 L積分來(lái)逼近。 又1。 又 mE??? ,由單調(diào)可測(cè)集列性質(zhì)，則 l im 。 于是 ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) dNNE E E Ef x g x x f x g x x f x g x x?? ? ? ? ?? ? ? ( ) d ( ) d ( ) ( ) dN N N NE E E E Ff x x g x x f x g x x??? ? ? ?? ? ? ? ?24N N NN m E N m E E F?? ? ? ? ? 442??? ?? ? ? ? 。 在 R 積分方面，用階梯函數(shù)來(lái)逼近閉區(qū)間 R 可積函數(shù)；在 L 積分方面，用簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)逼近可測(cè)函數(shù)，又階梯函數(shù)可以看做簡(jiǎn)單函數(shù)在一維空間上的特例，后一個(gè)結(jié)論在一維空間下推廣了前一個(gè)結(jié)論。 17 致謝 四年的學(xué)習(xí)即將畫上圓滿的句號(hào)，四年的時(shí)間很漫長(zhǎng)，但是有了和藹可親師長(zhǎng)的陪伴，有了朋友們的互相幫助，四年時(shí)間變得很短，讓我過(guò)得充實(shí)多彩！在此衷心感謝大學(xué)四年來(lái)所有的任課教師， 特別是教授我們函數(shù)論課程的羅小兵老師，正是得益于他高瞻遠(yuǎn)矚、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的課堂教學(xué)，我才能打下寫好本課題所必需的堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ) 。導(dǎo)師的博聞強(qiáng)識(shí)，對(duì)待科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度及嚴(yán)格要求自己的態(tài)度深深地感染了我，使我受益匪淺。s Zhangye city during their journey to Kazakhstan, May 5, 2021. The caravan, consisting of more than 100 camels, three horsedrawn carriages and four support vehicles, started the trip from Jingyang county in Shaanxi on Sept 19, 2021. It will pass through Gansu province and Xinjiang Uygur autonomous region, and finally arrive in Almaty, formerly known as AlmaAta, the largest city in Kazakhstan, and Dungan in Zhambyl province. The trip will cover about 15,000 kilometers and take the caravan more than one year to plete. The caravan is expected to return to Jingyang in March 2021. Then they will e back, carrying specialty products from Kazakhstan A small art troupe founded six decades ago has grown into a household name in the Inner Mongolia autonomous region. In the 1950s, Ulan Muqir Art Troupe was created by nine young musicians, who toured remote villages on horses and performed traditional Mongolian music and dances for nomadic families. The 54yearold was born in Tongliao, in eastern Inner Mongolia and joined the troupe in says there are 74 branch troupes across Inner Mongolia and actors give around 100 shows every yea