【正文】 s lost, I believe, are the interesting setups and pauses that illuminate the Chinese art of storytelling. Much of the plot is still there. It is the flavor that was sacrificed. The American edition uses the framework of the Empress Dowager in her senior years reminiscing at the beginning and the end of each episode, hinting at what39。s Poly Theater. Their show, titled Ulan Muqir on the Grassland, depicted the history and development of the art troupe. Being from the region allowed me to embrace the culture of Inner Mongolia and being a member of the troupe showed me where I belonged, Nasun, the art troupe39。t have a formal stage. The audience just sat on the grass. Usually, the performances became a big party with local people joining in. For him, the rewarding part about touring isn39。s Shaanxi province pass through a stop on the ancient Silk Road, Gansu39。 在這里，我要特別感謝在論文期間給我悉心指導(dǎo)的王玉芳導(dǎo)師，在本文的選題與寫(xiě)作過(guò)程中，給予我耐心地指導(dǎo)，并針對(duì)我的論文，提出了很多寶貴的意見(jiàn)。 用逼近思想來(lái)研究 實(shí)變函數(shù)論，即逼近思想在可測(cè)集、可測(cè)函數(shù) 、 L 積分和 L 可積函數(shù)的應(yīng)用，可以清晰地看到實(shí)變函數(shù)論的整體框架，即可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)、 L 積分和L 可積函數(shù)。 總結(jié) 函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，則函數(shù)在 E 上可測(cè)與函數(shù)在 L 上可積等價(jià)，即可測(cè)函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，則函數(shù) L 可積，又閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)是有界的，且 閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)是可測(cè)函數(shù)，這樣看來(lái) 可測(cè)函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，在一維空間下，包括 閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)的情形。對(duì)于 NEE? ，由 定理 9，存在閉集 NNF E E?? 及 1R 上的連續(xù)函數(shù) ()x? ，使 （ 1）在 NF 上 ， ( ) ( )x f x? ? ,且 ? ?1supxR g x N? ?； （ 2） ? ? 4NNm E E F N?? ? ?。 ( )nE E x f x n? ? ???，則 1nnEE?? 。 ( ) 0m E x f x? ? ?? ? ???。 定義 5 設(shè) nE?R 是任 一可測(cè)集， ()fx在 E 上非負(fù)可測(cè)，稱? ? ? ?d lim ( ) dn nEEnf x x f x x?????為 ??fx在 E 上的 L積分。又 ? ?()nfx單調(diào)遞增，事實(shí)上當(dāng)? ?f x n? 時(shí)， ? ?1( ) ( )nnf x f x f x???；當(dāng) ? ? 1n f x n? ? ?時(shí)， ()nf x n? ， ? ?1()nf x f x? ? ，于是 1( ) ( )nnf x f x?? ；當(dāng) ? ? 1f x n??時(shí)， ()nf x n? ， 1( ) 1nf x n? ??，即 1( ) ( )nnf x f x?? 。 由單調(diào)可測(cè)集列性質(zhì)，得 1 1 1l im ( )nm m m mnm m mE E E K E K E R E? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ?????。 , 1 , 2 ,m n iK x x x x m i n? ? ?， 1,2,m? ，令 mmE E K? 。 從此例題可以看 出可測(cè)函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)序列來(lái)逼近。 由 定理 9，對(duì)任意自然數(shù) n ，則存在閉集 nFE? 及 1R 上的連續(xù)函數(shù) ()nx? ，使在 nF 上，( ) ( )x f x? ? ，且 ? ? 1nm E F n??。下面從 F 出發(fā)將 ()fx擴(kuò)張成 1R 上滿足要求的連續(xù)函數(shù) ()x? ，由于 F 為 1R上閉集，那么 1 F?R 為開(kāi)集，則 1 F?R 是至多可數(shù)個(gè)互不相交的開(kāi)區(qū)間 ? ?,iiab 的并集，且當(dāng) ,iiab為有限數(shù)時(shí)， ,iiab屬于 F 。記1nniiFE??，則 nF 為閉集，且 ()fx在 nF 上連續(xù)， ??nF 單調(diào)遞增，又1 n n nnE F E F E E????? ? ? ? ????? ，所以 ? ? ? ?11n n nnm F m E F m E E n??????? ? ? ? ? ?????????。 連續(xù)函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù) 定理 8 （ Lusin定理）設(shè) ()fx是可測(cè)集 E 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 0?? ，存在閉子集 FE?? ,使 ()fx在 F? 上連續(xù)，且 ? ?m E F? ???。令? ? 12( ) ( )k k kx x x? ? ???，那么 ??k x? 是可測(cè)簡(jiǎn)單函數(shù)。 對(duì)任意 xE? , ()fx??? ，則 kxE? ，從而 ( ) ( )k x k k? ? ? ?? ? ??；若 ()fx??? ，則存在自然數(shù) N ，使 ()f x N? ，則當(dāng) kN? 時(shí)，有 10 ( ) ( ) 2k kf x x?? ? ?， xE? ， 所以 lim ( ) ( )kk x f x??? ? ， xE? ， 即定理得證。 ( ) ,kE x E f x k? ? ? 作函數(shù)列 ? ? ,2,1,2,2,1,2 1 , ?? ??????????? kkjExkExjx kkjkkk? 并記,211( ) ( ) ( )2kk k jkk E Ekj jx k x x? ? ?? ??? ?,xE? 。 命題得證，此例題說(shuō)明閉集從內(nèi)向外可逼近可測(cè)集。 再證充分性。 證明 先證必要性。那么 11( ) ( ) 2nn nnnm G E m G E? ?????? ? ? ? ???， 即 ()m G E ???。于是存在開(kāi)集 nG ，有 nnGE? ，使得 ()2nn nm G E ???。 又 mE??? ，則 mG mE ???。令 n?? ，得? ?* 0m G E??，又外測(cè)度的正則性，所以 ? ?* 0m G E??，即 GE? 為零測(cè)集。 對(duì)于每個(gè) 1n? ， ? 開(kāi)集 nGE? ，有 ? ?* 1nm G E n??。 3 逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用 實(shí)變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論， Lebesgue積分是在 Riemann積分改進(jìn)的基礎(chǔ)上形成的。 作 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?11()( ) ( ) nniinnn i inniif x f xx f x x xxx????? ? ??，則 ()nx? 在 ? ?,ab 上連續(xù)，那么 ()nx? 在? ?,ab 上可積。 從 定理 5可以看出 R可積函數(shù)可由一個(gè)連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則對(duì)任意 0?? ，總存在相應(yīng)的某一分割 T ,即0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?，使得1niii x??? ???。 在其他處作 ( ) ( )h x x?? ，則 ()hx 在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )f x x h x???。從而 ( ) ( ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d 22b b b ba a a ag x f x x f x g x x f x x x x g x x ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。 若 1iimm?? ，對(duì) ? ?,iix x x??? ，作 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ?（如圖 3所示），則1 ()iim g x m? ??。 從 定理 3可以看出 R可積函數(shù)可由兩個(gè)階梯函數(shù)來(lái)逼近。 從曲邊梯形面積的逼近過(guò)程，結(jié)合階梯函數(shù)和 R可積函數(shù)的定義猜測(cè) R可積函數(shù)由階梯函數(shù)來(lái)逼近 。直線 , 0,1, ,ix x i n?? 與函數(shù) ??fx及 x 軸把曲邊梯形分割成 n 個(gè)小曲邊梯形。 定義 3 函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上有定義，將 ? ?,ab 分割成 n 個(gè)小區(qū)間 ? ?1,iixx? ， 1,2, ,in? ，在每個(gè)小區(qū)間 ? ?1,iixx? 上任取一點(diǎn) i? ，作和式1 ()niii fx?? ?? 1()i i ix x x ?? ? ?，稱為函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 上的一個(gè)積分和。 定理 2（ Taylor定理） 設(shè)函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上存在 n 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在 ? ?,ab 內(nèi)存在1n? 階的導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的 ? ?0,x x a b? ，至少存在一點(diǎn) ? ?,ab?? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?() ( 1 )21000 0 0 0 0 0( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) 2 ! ! 1 !n nnnf x f x ff x f x f x x x x x x x x xnn ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??[6] 由 Taylor定理可以看出，在一個(gè)區(qū)間上可以用多 項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近復(fù)雜的函數(shù)。這個(gè)公式的意義在于，在 0x 點(diǎn)的近旁，一個(gè)復(fù)雜函數(shù)可以用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)近似地代替。相應(yīng)于 定理 1， ? ?( ) , 0 。 定理 1 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 處有直到 n 階的導(dǎo)數(shù)，則有 ? ? ? ?? ?0 0 0( ) , 。逼近思想在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用很廣，考慮到本文側(cè)重研究逼近思想在實(shí)變函數(shù)中應(yīng)用，而實(shí)變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論，又 Lebesgue積分是以改進(jìn)的 Riemann積分建立的 ，所以 接下來(lái)我們主要探討 R可積函數(shù)的逼近。在 Zeno’s paradoxes中，運(yùn)用了這類逼近思想 ，它在求解方程中有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)阿齊列斯跑完這 1000步，烏龜又向前跑了 100步，所以 Achiles要跑完這 100步，如此下去，就可以求出 Achiles趕上烏龜所 用的時(shí)間。不用公式求解，而用其他方法來(lái)求圓的面積是很困難的。 逼近思想方法的含義和分類 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚有句名言 ： “ 善于‘退’ , 足夠地‘退’ ， ‘退’ 到最原始而不失去重要性的地方 , 是 學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅 ! ” [2]這句名言揭示了逼近思想的精髓。這樣 , 烏龜總在 Achiles前頭 , 他無(wú)論什么時(shí)候也趕不上烏龜。 [3] 后來(lái)他一直算到圓內(nèi)接正 3072邊形 , 進(jìn)一步得到 4 3927 3 .1 4 1 5 91250? ?? , 可以將 ? 精確到五位小數(shù)。 三國(guó)時(shí)期魏國(guó)人 劉徽認(rèn)為“ 割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，我們結(jié)合圖形來(lái)說(shuō)明 劉徽的思想。 [2]用逼近思想來(lái)研究實(shí)變函數(shù)論，即逼近思想在可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)、 L積分和 L可積函數(shù)的應(yīng)用，可以讓我們清晰地看到實(shí)變函數(shù)論的整體框架。例如，常微分方程里的一階微分方程的解的存在唯一性定理的證明過(guò)程中使用的皮卡（ Picard）逐步逼近法，運(yùn)籌學(xué)里最優(yōu)解問(wèn)題中線性規(guī)劃的單純形法，解高次方程時(shí)所用的牛頓切線法等，都體現(xiàn)了逼近法的思想。 Lebesgue integral。 In terms of integrability,approximation of Riemann integrable functions by staircase function and continuous this paper discusses the application of approximation theory in real variable illustrate the approximation theory embodies in real variable function is from the measurable set, measurable function,Lebesgue integral and Lebesgue integrable function’s approximation. Key words: approximation theory。接著研究逼近思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，在可微性方面， 用多項(xiàng)式函數(shù)逼近初等函數(shù)；在可積性方面，用階梯函