【正文】 )3 對(duì)于每個(gè)特征根 i? ,在 )(iP? 中取出與 )(iD? 中零行對(duì)應(yīng)的行向量 ),( 21 imii PPP ? 得 A屬于 i? 的特征向量且都是線性無關(guān)的 . 舉例說明 例 18 ????????????110111110)1 A 。 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 20 頁(yè) 共 24 頁(yè) )2 對(duì)于方陣 A 的每一個(gè)特征根 i? ,總有 )(iB? 中零行向量所對(duì)應(yīng)的 )(iQ? 中的行向量 i? 與之對(duì)應(yīng) . 例 17 設(shè)???????????210131012A ,問方陣 A 是否可以化為對(duì)角形 ,若可以 ,求出其對(duì)角化后的方陣 . 解 ? ???????????????????100210010131001012)(???? EA T ?????? ?? 第一行與第二行互換?????????????????100210001012010131??? ????????? ?? ? 行上乘以第一行再加到第二)2( ?????????????????????10021002125500101312?????? ?????? ?? 第二行與第三行互換????????????????????02125501002100101312 ?????? ?????????? ?? ?? 行上乘以第二行再加到第三)55( 2 ???????????????????????5521)4)(2)(1(001002100101312 ???????? =? ?)()( ?? QB 由題意知 )4)(2)(1( ??? ??? =0? 11?? , 22?? , 43?? ,此時(shí)方陣 A 有 3 個(gè)特征單根 ,故方陣 A 可以化為對(duì)角形 。239。 反過來 , 如果 0? 是矩陣 A 的特征多項(xiàng)式在數(shù)域 ? 中的一個(gè)根 , 即 00 ??? A? , 那么 齊次線性方程組????????????????????????0)(0)(0)(022111222020112121110nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa?????????? () 就有非零解 . 這時(shí) ,如果 ),( 00201 nxxx ? 是方程組 ()的一個(gè)非零解 , 那么非零解向量 . nnxxx ???? 0202101 ???? ?.滿足 （ ） 式 , 即 0? 是線性變換 AL 的一個(gè)特征值 , ? 就是屬于特征值 0? 的一個(gè)特征向量． 定理 1 設(shè) AL 是數(shù)域 P 上 n 維線性空間 V 的一個(gè)變換 ,則 P?0? 是 AL 的一個(gè)特征值當(dāng)且僅當(dāng)0? 是 AL 的特征多項(xiàng)式 )()( ?? AL ff A ? 的一個(gè)根 . 定理 2 設(shè) 0? 是線性空間 V 的線性 變換 AL 的一個(gè)特征值 ,則集合 楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 6 頁(yè) 共 24 頁(yè) ? ?VLV A ??? ?????? ,00 () 構(gòu)成 V 的一個(gè)子空間 .在有限維情形 , )(d im 00 AERnV ??? ??,其中 , Vn dim? ,A 是 AL在 V 在某個(gè)基下的矩陣 . 定義 3 設(shè) 0? 是線性空間 V 的線性變換 AL 的一特征值 ,式（ ）定義的 V 的子空間稱為 AL的對(duì)應(yīng)特征值 0? 的特征子空間0?V 因此 , 確定一個(gè)線性變換 ? 的特征值與特征向量的方法可以分成一下幾步 : (1)在線性空間 V 中取一組基 n??? , 21 ? , 寫出 AL 在這組基下的矩陣 A 。 The power of matrix。 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目 矩陣在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 ____________________________________ 學(xué) 院 機(jī) 電與信息工程學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 2020 級(jí) 學(xué) 號(hào) 2020117055 姓 名 呂海霞 指 導(dǎo) 教 師 薛海波 成 績(jī) 優(yōu) 2020 年 11 月 20 日 目 錄 摘要 ..................................................................... I Abstract. ............................................................... II 1 前言 .................................................................. 1 2 有關(guān)概念及重要結(jié)論 .................................................... 1 矩陣的概念 ....................................................... 1 ......................................................... 2 矩陣的逆 ......................................................... 3 用矩陣表示二次型 ................................................. 3 3 矩陣的應(yīng)用 ............................................................ 6 矩陣的高次冪 ..................................................... 6 矩陣的冪 ................................................... 6 矩陣高次冪的求法 ............................................ 7 解線性方程組 .................................................... 13 線性方程組的有解判定定理 ................................... 13 線性方程組一般形式的運(yùn)用 .................................. 14 解矩陣方程 ...................................................... 16 矩陣對(duì)角化方法 .................................................. 19 討論對(duì)于有 n 個(gè)特征單根的 n 階方陣 ........................... 19 討論對(duì)于有特征重根的 n 階方陣 ............................... 21 結(jié)論 ................................................................... 24 致謝 ................................................................... 24 參考文獻(xiàn) ............................................................... 24 I 矩陣及應(yīng)用 楊燦 （重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2020級(jí) 重慶萬州 404100） 摘要 : 矩陣?yán)碚摷仁菍W(xué)習(xí)經(jīng)典數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) ,又是一門很有實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)理論 .隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展 ,這一理論已成為現(xiàn)代各科技 領(lǐng)域處理大量數(shù)據(jù)的有效工具 .本文就是利用矩陣的基本理論 ,把矩陣作為計(jì)算工具 ,對(duì)實(shí)際問題如方程組的解、矩陣的冪、二次型進(jìn)行了較為系統(tǒng)的研究并簡(jiǎn)化了一些計(jì)算 . 關(guān)鍵詞 : 矩陣 。 Linear equation2020 屆數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 第 1 頁(yè) 共 24 頁(yè) 1 前言 矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念 ,是代數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象之一 ,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具 .“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的 ,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語 .而實(shí)際上 ,矩陣在它的課題誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了 . 18 世紀(jì)中期 ,數(shù)學(xué)家們開始研究二 次曲線和二次曲面的方程簡(jiǎn)化問題 ,即二次型的化簡(jiǎn) .在這一問題的研究中 ,數(shù)學(xué)家們得到了與后來的矩陣?yán)碚撁芮邢嚓P(guān)的許多概念和結(jié)論 .1748 年 ,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉 (L． Euler,1707— 1783)在將三個(gè)變數(shù)的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí) ,隱含地給出了特征方程的概念 .1773 年 ,法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日 (J． L． Lagrange,1736— 1813)在討論齊次多項(xiàng)式時(shí)引入了線性變換 .1801 年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯 (C． F． Gauss,1777 一 1855)在《算術(shù)研究》中 ,將歐拉與拉格朗日的二次型理論進(jìn)行了系統(tǒng)的推廣 ,給出了兩個(gè)線性變換的 復(fù)合 ,而這個(gè)復(fù)合的新變換其系數(shù)矩陣是原來兩個(gè)變換的系數(shù)矩陣的乘積 .另外 ,高斯還從拉格朗日的工作中抽象出了型的等價(jià)概念 ,在研究?jī)蓚€(gè)互逆變換的過程中孕育了兩個(gè)矩陣的互逆概念 . 在線性方程組的討論中 ,我們看到 ,線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上 ,并且解線性方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程 .除了線性方程組之外 ,還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念 ,并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究 ,甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題 ,歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同 的 .這使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念 ,因而也就使矩陣成為代數(shù)特別是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象 ,也是處理高等數(shù)學(xué)很多問題的有力工具 .矩陣的秩是一個(gè)基本的概念 ,也是矩陣最重要的數(shù)量特征之一 ,它在初等變換下是一個(gè)不變量．矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個(gè)重要概念 ,無論是在線性代數(shù)中 ,還是在解析幾何中 ,甚至在概率論中 ,都有不可忽略的作用． 矩陣方冪在高等代數(shù)題解、矩陣穩(wěn)定性討論及預(yù)測(cè)、控制等方面有廣泛的應(yīng)用 ,它的求解原理貫穿于代數(shù)教學(xué)過程的始終 ,可以用到矩陣各方面的知識(shí) .其計(jì)算量往往較大 ,但方法適當(dāng) ,可大 大簡(jiǎn)化其計(jì)算難度 .本文將給出六種求矩陣方冪地方法 .矩陣方程是矩陣運(yùn)算的一部分 ,這里我們主要討論如何求解矩陣方程的問題 .掌握簡(jiǎn)單的矩陣方程的求法 ,對(duì)于求解復(fù)雜的矩陣方程有很大幫助 . 2 有關(guān)概念及重要結(jié)論 矩陣的概念 為了便于敘述并考慮以后的應(yīng)用 ,我們引進(jìn)矩陣的概念 . 由 mn 個(gè)數(shù)排列而成的 m 行（橫的） n 列（縱的）的表??????????????mnmmnnaaaaaaaaa??????212222111211稱為一個(gè) nm?楊燦：矩陣及其應(yīng)用 第 2 頁(yè) 共 24 頁(yè) 矩陣 . 定義 1 把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣 , 稱為 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 , 記作 TA (或 A? ). 即若 ,212222111211???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA??????則???????????????mnnnmmTaaaaaaaaaA??????212221212111. 矩陣的秩 定義 2 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩 。 (2)求出 A 的特征多項(xiàng)式 ???? 在