【正文】 nner Mongolia and being a member of the troupe showed me where I belonged, Nasun, the art troupe39。t have a formal stage. The audience just sat on the grass. Usually, the performances became a big party with local people joining in. For him, the rewarding part about touring isn39。 總結(jié) 函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，則函數(shù)在 E 上可測(cè)與函數(shù)在 L 上可積等價(jià)，即可測(cè)函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，則函數(shù) L 可積，又閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)是有界的，且 閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)是可測(cè)函數(shù)，這樣看來 可測(cè)函數(shù)在有限可測(cè)集 E 上有界，在一維空間下，包括 閉區(qū)間上 R 可積函數(shù)的情形。 定義 5 設(shè) nE?R 是任 一可測(cè)集， ()fx在 E 上非負(fù)可測(cè)，稱? ? ? ?d lim ( ) dn nEEnf x x f x x?????為 ??fx在 E 上的 L積分。 從此例題可以看 出可測(cè)函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)序列來逼近。 連續(xù)函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù) 定理 8 （ Lusin定理）設(shè) ()fx是可測(cè)集 E 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 0?? ，存在閉子集 FE?? ,使 ()fx在 F? 上連續(xù)，且 ? ?m E F? ???。 命題得證，此例題說明閉集從內(nèi)向外可逼近可測(cè)集。于是存在開集 nG ，有 nnGE? ，使得 ()2nn nm G E ???。 3 逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用 實(shí)變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論， Lebesgue積分是在 Riemann積分改進(jìn)的基礎(chǔ)上形成的。 在其他處作 ( ) ( )h x x?? ，則 ()hx 在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )f x x h x???。 從曲邊梯形面積的逼近過程，結(jié)合階梯函數(shù)和 R可積函數(shù)的定義猜測(cè) R可積函數(shù)由階梯函數(shù)來逼近 。這個(gè)公式的意義在于，在 0x 點(diǎn)的近旁，一個(gè)復(fù)雜函數(shù)可以用多項(xiàng)式函數(shù)來近似地代替。在 Zeno’s paradoxes中，運(yùn)用了這類逼近思想 ，它在求解方程中有著廣泛的應(yīng)用。這樣 , 烏龜總在 Achiles前頭 , 他無論什么時(shí)候也趕不上烏龜。例如，常微分方程里的一階微分方程的解的存在唯一性定理的證明過程中使用的皮卡（ Picard）逐步逼近法，運(yùn)籌學(xué)里最優(yōu)解問題中線性規(guī)劃的單純形法，解高次方程時(shí)所用的牛頓切線法等，都體現(xiàn)了逼近法的思想。其次探討 逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用，從可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)、 L積分和 L可積函數(shù)的逼近來說明逼近思想在實(shí)變函數(shù)中的具體體現(xiàn)。由于 L積分是從改進(jìn)的 R積分形成的，所以本文先研究逼近思想在 R可積函數(shù)中的應(yīng)用和初等函數(shù)的逼近。為了解決一個(gè)討論對(duì)象比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題 , 運(yùn)用逐步退的方法 , 退到與問題本身有著本質(zhì)聯(lián)系的最簡單情形 。數(shù)學(xué)分析研究的對(duì)象是函數(shù)，所以先研究初等函數(shù)的逼近是很有必要的。當(dāng)然，我們必須為這一便利付出代價(jià)，那就是函數(shù)必須在一定的范圍內(nèi)具有適當(dāng)高階的導(dǎo)函數(shù)。 用連續(xù)函數(shù)逼近 R可積函數(shù) 定理 4 設(shè) f 在 ? ?,ab 上可積，求證：對(duì)任給的 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的連續(xù)函數(shù) g 和 h ，使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )g x f x h x??，并且 ( ) ( ) d , ( ) ( ) dbbaah x f x x g x f x x??? ? ? ???。在 ? ?,ab 上作函數(shù) ??wx，當(dāng) ? ?1 ,iix x x?? 時(shí)， 1111( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , ,iiiii i i ix x x xw x f x f x i nx x x x ??????? ? ?。作1 nnGG???， G 為 G? 型集，則G 為 可測(cè)集，又對(duì)每個(gè) 1n? ，有 nGE? ，所以 GE? ，從而1 nnG E G E????? ? ?????。從而當(dāng) E 為可測(cè)集時(shí)，對(duì)于 0???，都 ? 開集 G ,有 GE? ，使得()m G E ???。每個(gè) ()k x? 都是非負(fù)可測(cè)簡單函數(shù)，且有 1( ) ( ) ( )kkx x f x?????， xE? , 1,2,k? 。令n?? ，得1 0nnm E F????????????????。 又 1mmKK? ? ，則 1mmEE? ? 。 又1。 17 致謝 四年的學(xué)習(xí)即將畫上圓滿的句號(hào)，四年的時(shí)間很漫長，但是有了和藹可親師長的陪伴，有了朋友們的互相幫助，四年時(shí)間變得很短，讓我過得充實(shí)多彩！在此衷心感謝大學(xué)四年來所有的任課教師， 特別是教授我們函數(shù)論課程的羅小兵老師，正是得益于他高瞻遠(yuǎn)矚、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的課堂教學(xué)，我才能打下寫好本課題所必需的堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ) 。s president, who is also a renowned tenor, tells China Daily. During a tour in 1985, he went to a village and met an elderly local man, who told him a story about his friendship with a solider from Shenyang, capital of Northeast China39。t help but sing the folk songs, Nasun says. The vastness of Inner Mongolia and the lack of entertainment options for people living there, made their lives lonely. The nomadic people were very excited about our visits, Nasun recalls. We didn39。 16 此定理說明 L可積函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)逼近。 ? ?( ) dn nE f x x? 單調(diào)遞增且有界，這是因?yàn)?1nnEE?? ， ? ? ? ? 1( ) ( )nnf x f x ?? ，則 ? ? ? ? ? ?11 1( ) d ( ) d ( ) dn n nnnnE E Ef x x f x x f x x?? ?? ? ? ? ?? ? ?， 于是 ? ?lim ( ) dn nEn f x x???存在。即 ? ?lim ( ), . .nn x f x a e??? ? 于 E 。 從此例題可以看出可用簡單函數(shù)來逼近可測(cè)函數(shù)。又 ? ?*m E F ???，則 ? ?* cm G E ???，由 定理 5知 cE 為可測(cè)集，則 E 為可測(cè)集。又 nE 有界，則nmE??? 。 從 例 1可以看出 R可積函數(shù)可由連續(xù)函數(shù)列來逼近。 若 1iiMM?? ，對(duì) ? ?,iix x x ???，作 ? ?1() iiiiMMh x M x x?? ?? ? ?，則 1 ()iiM h x M? ??。即 ? ? 0fx? ， ? ?,x ab? 時(shí)，定積分的幾何意義為該曲邊梯形的面積（圖 1）。 這個(gè)公式的右邊，除了最后一項(xiàng)外，前面是不超過 n 次的多項(xiàng)式。 [3] 問題解序列的逼近是給問題一個(gè)可行或近似的初始解 ， 然后以此解為基礎(chǔ) ， 按固定的程序給出一個(gè)解序列 ， 這個(gè)解序列的極限就是該問題的精確解 ， 序列的每一項(xiàng)都是這個(gè)問題的近似解。 以常識(shí)來看，這是無稽之談！但是 Zeno給出的證明為：假設(shè) Achiles與烏龜相距 1000步 , Achiles每秒跑10步烏龜爬 1步；經(jīng)過 100秒 , Achiles跑了 1000步 , 在這段時(shí)間里 , 烏龜向前爬了 100步 ； 再過 10秒鐘 , Achiles跑完了這 100步 , 但烏龜又向前爬了 10步 ； 要克服這 10步 , Achiles還要花 1秒鐘 , 在這 1秒鐘里烏龜又向前爬了 1步。 逼近思想是 貫穿整個(gè)微積分學(xué)的基本思想，在數(shù)學(xué)的多個(gè)分支中都有應(yīng)用。最后總結(jié)逼近思想在 L積分 中應(yīng)用與在 R積分中應(yīng)用的相似之處。 1 逼近思想的概述 逼 近思想產(chǎn)生的國內(nèi)外背景 古希臘的阿基米德從圓內(nèi)接和外切正六邊形開始 , 然后正十二邊形 , 正二十四邊形 ,?? 對(duì)圓周長進(jìn)行逼近，其中就蘊(yùn)含了逼近思想；牛頓的“流數(shù)術(shù)” 也運(yùn)用了逼近思想； 中外許多數(shù)學(xué)家 證明 哥德巴赫猜想的過程也運(yùn)用了逼近思想等等。通過最簡單情形 使問題獲得解決，再逐步地 擴(kuò)大（或縮?。┓秶?，逐步逼近，以至最后達(dá)到問題所要求的解。 用多項(xiàng)式函數(shù)逼近初等函數(shù) 定義 1 設(shè)函數(shù) f 在點(diǎn) 0x 有直到 n 階的導(dǎo)數(shù)，這里 n 是任意給定的正整數(shù)，令 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ()0 0 0 0 0 0 0 01 1 1, 。又若初等函數(shù)在定義域內(nèi)有直到 1n? 階的導(dǎo)數(shù)，那么初等函數(shù)在定義域內(nèi)有 Maclaurin展開式，即初等函數(shù)在定義域內(nèi)可以用多項(xiàng)式函數(shù)來逼近。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，總存在相應(yīng)的某一分割 T ,即 0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?， 由 定理 3可知，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數(shù) ? 和 ? ，得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????， 且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ???? ， ( ( ) ( )) d 2ba x f x x ?? ??? ， ( ( ) ( ))d 2ba f x x x ????? 。 從 ()wx的表達(dá)式可知， ()wx為一次函數(shù)， ( ) ( )iiw x f x? ， 11( ) ( )iiw x f x??? ，則 ()wx在 ? ?,ab x y 1ix? ix ix ?? im 1ix? 1im? 圖 2 ? ?1() iiiimmg x m x x?? ?? ? ? y x 1ix? ix ix ?? 1ix? im 1im? 圖 3 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ? 10 上連續(xù)。又1 nnn GG?? ?，則 nG E G E? ? ? 。 即命題得證， 定理 6可以說明開集是從外向內(nèi)逼近可測(cè)集。 這是因?yàn)?, 1 , 2 1 1 , 2k j k j k jE E E? ? ?? ，當(dāng) ,kjxE? 時(shí)，則 1,2 1kjxE??? 或 1,2kjxE?? 。 定理 9 設(shè) E 為一維空間 1R 上的有界可測(cè)集合， ? ?,E ab? ， ()fx是 E 上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意 0?? ，存在閉集 FE? 及在整個(gè)直線上連續(xù)的函數(shù) ()gx ，使 （ 1）當(dāng) xF? 時(shí) ， ( ) ( )f x g x? ； （ 2） ? ?m E F ???。又 E 為可測(cè)集， mK 為可測(cè)集，則 mE 為可測(cè)集。 ( ) 。 還要感謝數(shù)理學(xué)院的各位領(lǐng)導(dǎo) 、 班主任和輔導(dǎo)員的教育 、關(guān)心和幫助 。s Liaoning province, decades ago. The solider gave the old man a handmade saddle when they bid farewell. The story inspired Nasun to write Carved Saddle, a song that later became one of his most popular numbers. Now, every year, Nasun recruits young singers and dancers for the troupe. The troupe has also designed a new repertoire, which is mostly based on the daily lives of Mongolian people, especially the lives of nomadic families, and has bined contemporary musical elements with folk songs of the region. Haimu, a 25yearold khoomei (a local variant of overtone singing) singer, joined the troupe three years ago. Along with a sixmember band, he performs fast son