【正文】 ? 為 ? ?,ab 上的階梯函數。 定義 3 函數 ??fx在 ? ?,ab 上有定義，將 ? ?,ab 分割成 n 個小區(qū)間 ? ?1,iixx? ， 1,2, ,in? ，在每個小區(qū)間 ? ?1,iixx? 上任取一點 i? ，作和式1 ()niii fx?? ?? 1()i i ix x x ?? ? ?，稱為函數 ??fx在 ? ?,ab 上的一個積分和。取 ? ?1max iinTx????,若0 1lim ( )niiT i fx?? ? ??存在，且這個極 限的存在 7 性和數值不依賴于分割和 i? 在第 i 個子區(qū)間上的選取 ,則稱函數 ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 上黎曼可積。 設 ??xf 在 ? ?,ab 上有定義且 ? ? 0fx? 。根據 定義 3，在區(qū)間 ? ?,ab 內任取 1n? 個分點，它們依次為 0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?。直線 , 0,1, ,ix x i n?? 與函數 ??fx及 x 軸把曲邊梯形分割成 n 個小曲邊梯形。在每個小區(qū)間 ? ?1,iixx? 上任取一點 i? ，作以 ? ?if ? 為高， ? ?1,iixx? 為底的小矩形，用這些小矩形的面積近似替代相應小曲邊梯形的面積，這 n個小矩形的面積之和就是該曲邊梯形面積 S 的近似值，即 1 ()niiiS f x????? 1()i i ix x x?? ? ? ， 把分割加密，那么小矩形的面積能更好地替代小曲邊梯形的面積，則所求的 S 就更精確。于是若0 1lim ( )niiT i fx?? ? ??存在，其中 ? ?1max iinTx????，這個極限的存在性和數值不依賴于 i?在第 i 個子區(qū)間上的選取 ,即0 1lim ( )niiT iS f x?? ????。即 ? ? 0fx? ， ? ?,x ab? 時，定積分的幾何意義為該曲邊梯形的面積（圖 1）。 從曲邊梯形面積的逼近過程，結合階梯函數和 R可積函數的定義猜測 R可積函數由階梯函數來逼近 。 定理 3 設 f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數 ? 和 ? ， 使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????，且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ????， | ( ) ( ) | dba x f x x?????，| ( ) ( ) | dba x f x x????? 。 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則對任意 0?? ，總存在相應的某一分割 T ,即0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?，使得1niii x??? ???。 y ()y f x? x a 1x 2x 3x 1nx? b 圖 1 8 記 ? ?1,i i iI x x??， 1,2, ,in? ， inf ( )ii xIm f x??， sup ( )ii xIM f x??，令 ? ?? ?? ?? ?1 0 12 1 21, , , , , , .n n nm x x xm x x xxm x x x??? ?? ??? ??? ??? ?? ?? ?? ?1 0 12 1 21, , , , , , .n n nM x x xM x x xxM x x x??? ?? ??? ??? ?? 則 ( ) ( ) ( )x f x x????， ? ?,x ab? ，那么 1| ( ) ( ) | d | ( ) ( ) | dnbbiiaa ix f x x x x x x? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ,| ( ) ( ) | d | ( ) ( ) | dx f x x x x x? ? ? ?? ? ? ?， 即定理得證。 從 定理 3可以看出 R可積函數可由兩個階梯函數來逼近。 用連續(xù)函數逼近 R可積函數 定理 4 設 f 在 ? ?,ab 上可積，求證：對任給的 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的連續(xù)函數 g 和 h ，使得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )g x f x h x??，并且 ( ) ( ) d , ( ) ( ) dbbaah x f x x g x f x x??? ? ? ???。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則有任意 0?? ，總存在相應的某一分割 T ,即 0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?， 由 定理 3可知，必存在 ? ?,ab 上的階梯函數 ? 和 ? ，得在 ? ?,ab 上有 ( ) ( ) ( )x f x x????， 且 | ( ) ( ) | dba x x x? ? ???? ， ( ( ) ( )) d 2ba x f x x ?? ??? ， ( ( ) ( ))d 2ba f x x x ????? 。 把階梯函數 ()x? 按如下方式取得 ()gx，對充分小的 0?? ，若 1iimm?? ，對? ?,iix x x ???， 1,2, , 1in??，作 ? ?1() iiiimmg x m x x?? ?? ? ?（如圖 2所示），則1()iim g x m ???。 若 1iimm?? ，對 ? ?,iix x x??? ，作 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ?（如圖 3所示），則1 ()iim g x m? ??。 9 在其他處作 ( ) ( )g x x?? ，則 ()gx在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )g x x f x???，又 ()fx在 ? ?,ab上可積，則 ()fx在 ? ?,ab 上有界，即 ,mM? ,使得 ()m f x M??。于是 ? ?111( ( ) ( ) ) d 2 m a x ( , ) 2 1 m a x ( , )nnb iia iix g x x m m m M n m M? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ???? 。 對于確定分割 T ， n 是一個固定的值，又 0?? 任意小，那么 ( ( ) ( ))d 2ba x g x x ?? ???。從而 ( ) ( ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d ( ( ) ( ) ) d 22b b b ba a a ag x f x x f x g x x f x x x x g x x ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?。 類似地，把階梯函數 ()x? 按如下取折線函數的方式取得 ()hx 。若 1iiMM?? ，對? ?,iix x x??? ， 1,2, , 1in??，作 ? ?11() iiiiMMh x M x x??? ?? ? ?，此時 1()iiM h x M ???。 若 1iiMM?? ，對 ? ?,iix x x ???，作 ? ?1() iiiiMMh x M x x?? ?? ? ?，則 1 ()iiM h x M? ??。 在其他處作 ( ) ( )h x x?? ，則 ()hx 在 ? ?,ab 上的連續(xù)，且 ( ) ( ) ( )f x x h x???。同理可證( ) ( ) dba h x f x x ???? 。 從 定理 4可以看出 R可積函數可由兩個連續(xù)函數來逼近。 定理 5 設 f 在 ? ?,ab 上可積，則對任給的 0?? ，必存在 ? ?,ab 上的連續(xù)函數 ??wx， 使得 ? ?()ba f x w x dx ????。 [7] 證明 f 在 ? ?,ab 上可積，則對任意 0?? ，總存在相應的某一分割 T ,即0 1 1nna x x x x b?? ? ? ? ? ?，使得1niii x??? ???。在 ? ?,ab 上作函數 ??wx，當 ? ?1 ,iix x x?? 時， 1111( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , ,iiiii i i ix x x xw x f x f x i nx x x x ??????? ? ?。 從 ()wx的表達式可知， ()wx為一次函數， ( ) ( )iiw x f x? ， 11( ) ( )iiw x f x??? ，則 ()wx在 ? ?,ab x y 1ix? ix ix ?? im 1ix? 1im? 圖 2 ? ?1() iiiimmg x m x x?? ?? ? ? y x 1ix? ix ix ?? 1ix? im 1im? 圖 3 ? ?11() iiiimmg x m x x? ?? ?? ? ? 10 上連續(xù)。 當 ? ?1,iix x x??時，有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 111( ) ( )i i i i i iiif x w x x x f x x x f x x x x x f xxx ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1111111i i i iiii i ii i i if x f x x x x x f x f xxxx x x xx x x x? ? ?????????? ? ? ? ? ??????? ? ? 于是 ? ? ? ?111( ) d ( ) diinnbx iiax iif x w x x f x w x x x?????? ? ? ? ? ????? 。 從 定理 5可以看出 R可積函數可由一個連續(xù)函數來逼近。 例 1 f 在 ? ?,ab 上可積，則存在連續(xù)函數序列 ? ?()n x? ， ( )d lim ( )dbbnaanf x x x x??????。 [8] 證明 ()fx在 ? ?,ab 上可積，則可將區(qū)間 ? ?,ab n 等分 ，即 ? ? ? ? ? ?01n n nna x x x b? ? ? ? ?，記 ? ? ? ? ? ?1 ,n n ni i iI x x???? ??， 1,2, ,in? ， ? ?? ?inf ( )nini xIm f x??， ? ?? ?sup ( )nini xIM f x??， ()fx在 ? ?,ab 上可積，則 ? ? ? ?1lim 0n nniin i x??? ? ???。于是 0???， 1N??,當 nN? 時， ? ? ? ?1 in nnii x??? ???。 作 ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?11()( ) ( ) nniinnn i inniif x f xx f x x xxx????? ? ??，則 ()nx? 在 ? ?,ab 上連續(xù)，那么 ()nx? 在? ?,ab 上可積。則在 ??niI 上 ， ? ? ? ?()nni n im x M???， ? ? ? ?()nniim f x M??，從而 ? ?( ) ( ) nnix f x????，故當 nN? 時，有 ? ? ? ?1( ) d ( )d ( ) ( ) dnb b b nnn n i ia a a if x x x x f x x x x? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ?。 于是 ( ) lim ( )bbnaanf x d x x d x??????。 從 例 1可以看出 R可積函數可由連續(xù)函數列來逼近。 3 逼近思想在實變函數中的應用 實變函數是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論， Lebesgue積分是在 Riemann積分改進的基礎上形成的。為了建立 Lebesgue積分，引進了 Lebesgue可測集和可測函數，接下來我們探討可測集的逼近、可測函 數的逼近、 無界函數 L積分的逼近和 L可積函數的逼近。 用開集和閉集來逼近可測集 定理 6 設 nE?R ， E 為可測集的充要條件為對任意的 0?? ，存在開集 G ,使 EG? ,且 ? ?*m G E ???。 11 證明 先證充分性。 對于每個 1n? ， ? 開集 nGE? ，有 ? ?* 1nm G E n??。作1 nnGG???， G 為 G? 型集，則G 為 可測集，又對每個 1n?