【正文】 1 逼近思想在實分析中的應用研究 摘要： 首先介紹 逼近思想 產(chǎn)生的國內外背景，論述 逼近思想及其分類。接著研究逼近思想在數(shù)學分析中的應用，在可微性方面， 用多項式函數(shù)逼近初等函數(shù)；在可積性方面，用階梯函數(shù)和連續(xù)函數(shù)來逼近 R可積函數(shù)。其次探討 逼近思想在實變函數(shù)中的應用，從可測集、可測函數(shù)、 L積分和 L可積函數(shù)的逼近來說明逼近思想在實變函數(shù)中的具體體現(xiàn)。最后總結逼近思想在 L積分 中應用與在 R積分中應用的相似之處。 關鍵詞： 逼近思想； R 可積函數(shù)； 可測集；可測函數(shù)； L 積分； L 可積函數(shù) 2 Abstract： Firstly this paper provides background of approximation theory and illustrates approximation theory and its this article studies the application of approximation theory in Mathematical Analysis,In terms of differentiability,approximation of the elementary function by polynomial function。 In terms of integrability,approximation of Riemann integrable functions by staircase function and continuous this paper discusses the application of approximation theory in real variable illustrate the approximation theory embodies in real variable function is from the measurable set, measurable function,Lebesgue integral and Lebesgue integrable function’s approximation. Key words: approximation theory。Riemann integrable function。 measurable set。 measurable function。 Lebesgue integral。Lebesgue integrable function 3 引言 數(shù)學思想是數(shù)學知識的本質，它為分析 、 處理和解決數(shù)學問題提供了指導方針和解題策略。 數(shù)學思想寓于數(shù)學知識之中 ,我們不僅要學習數(shù)學知識，更重要的是要學習數(shù)學知識背后的數(shù)學思想。 逼近思想是 貫穿整個微積分學的基本思想，在數(shù)學的多個分支中都有應用。例如，常微分方程里的一階微分方程的解的存在唯一性定理的證明過程中使用的皮卡（ Picard）逐步逼近法，運籌學里最優(yōu)解問題中線性規(guī)劃的單純形法，解高次方程時所用的牛頓切線法等，都體現(xiàn)了逼近法的思想。所以研究逼近思想具有重要意義。 網(wǎng)上流行“實變函數(shù)學十 遍 ” [1]，表明了實 變函數(shù)很抽象，讓我們學起來很費勁。而實變函數(shù)論中運用最普遍和最具特色的數(shù)學思想就是逼近思想。 [2]用逼近思想來研究實變函數(shù)論，即逼近思想在可測集、可測函數(shù)、 L積分和 L可積函數(shù)的應用，可以讓我們清晰地看到實變函數(shù)論的整體框架。由于 L積分是從改進的 R積分形成的，所以本文先研究逼近思想在 R可積函數(shù)中的應用和初等函數(shù)的逼近。 1 逼近思想的概述 逼 近思想產(chǎn)生的國內外背景 古希臘的阿基米德從圓內接和外切正六邊形開始 , 然后正十二邊形 , 正二十四邊形 ,?? 對圓周長進行逼近，其中就蘊含了逼近思想；牛頓的“流數(shù)術” 也運用了逼近思想； 中外許多數(shù)學家 證明 哥德巴赫猜想的過程也運用了逼近思想等等。下面我們主要介紹 劉徽的“割圓術”和“ Zeno’s paradoxes”，來形象地說明什么是逼近思想。 三國時期魏國人 劉徽認為“ 割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，我們結合圖形來說明 劉徽的思想。 從圖形上可以看到劉徽是在單位圓內，作內接正多邊形，可以看到隨著正多邊形的邊數(shù)的增加，正多邊形越來越接近圓，于是他就用正多邊形的面積近似代替單位圓的面積。正多邊形的邊數(shù)越多，正多邊形的面積就 越接近于圓的面積，而圓的面積 21S ??? ，由此看出 , 要計算 ? 的值 ， 只需求出圓的面積 ，而圓的面積可以用正多邊形的面積來近似代替。當劉 徽算到正 192邊形時，即得 ???。 [3] 后來他一直算到圓內接正 3072邊形 , 進一步得到 4 3927 3 .1 4 1 5 91250? ?? , 可以將 ? 精確到五位小數(shù)。 Achiles是史詩《 Iliad》中的英雄人物。 公元前五世紀希臘有一個哲學家 Zeno認為，如果 Achiles與一頭烏龜賽跑，只要烏龜先跑一段路，他就永遠追不上烏龜。 以常識來看，這是無稽之談！但是 Zeno給出的證明為：假設 Achiles與烏龜相距 1000步 , Achiles每秒跑10步烏龜爬 1步；經(jīng)過 100秒 , Achiles跑了 1000步 , 在這段時間里 , 烏龜向前爬了 100步 ； 再過 10秒鐘 , Achiles跑完了這 100步 , 但烏龜又向前爬了 10步 ； 要克服這 10步 , Achiles還要花 1秒鐘 , 在這 1秒鐘里烏龜又向前爬了 1步。這樣 , 烏龜總在 Achiles前頭 , 他無論什么時候也趕不上烏龜。 [4] 很明顯 , 這是謬論。設 x 為 Achiles趕上烏龜所用的時間，根據(jù)題意，可以列出方程1000 10xx??,解得 11119x? 。 繼續(xù) Zeno的證明 ，再花 110 秒鐘， Achiles跑完了這 1步，烏龜又向前爬了 110 步； 再花1100 秒鐘， Achiles跑完了這 110 步，雖然這樣看來烏龜在 Achiles前頭，但逼近方程的精確解。 逼近思想方法的含義和分類 我國著名數(shù)學家華羅庚有句名言 ： “ 善于‘退’ , 足夠地‘退’ ， ‘退’ 到最原始而不失去重要性的地方 , 是 學好數(shù)學的一個訣竅 ! ” [2]這句名言揭示了逼近思想的精髓。為了解決一個討論對象比較復雜的數(shù)學問題 , 運用逐步退的方法 , 退到與問題本身有著本質聯(lián)系的最簡單情形 。通過最簡單情形 使問題獲得解決，再逐步地 擴大（或縮?。┓秶?，逐步逼近，以至最后達到問題所要求的解。 在劉徽的“割圓術” 中，我們求圓周率 ? ，轉化為求單位圓的面積。不用公式求解，而用其他方法來求圓的面積是很困難的。因為圓是曲線圍成的，而不是我們所熟悉的直線圍成的，于是我們退 到求直線圍成的圖形面積，即求多邊形的面積。我們用多邊形的面積去代替圓的面積，但是圓的面積并不等于這多邊形的面積，當圓內接多邊形的邊數(shù)增加時，我們發(fā)現(xiàn)圓內接多邊形的面積更接近于圓的面積，這樣逼近下去，就可以求出圓的面積。從 Zeno’s paradoxes中，我們要求 Achiles趕上烏龜所用的時間，直接來求是很困難的，先退到 Achiles要趕上烏龜，必須跑完他們相距的 1000步。當阿齊列斯跑完這 1000步，烏龜又向前跑了 100步，所以 Achiles要跑完這 100步，如此下去，就可以求出 Achiles趕上烏龜所 用的時間。 5 逼近思想的含義是 為了解決一個數(shù)學問題，首先從與該問題的實質內容有著本質聯(lián)系的某些容易著手的條件或某些減弱的條件出發(fā)，再逐步地擴大（或縮小）范圍，逐步逼近，以至最后達到問題所要求的解。 數(shù)學中的逼近思想大致上分為兩類：一類是問題解序列的逼近 , 另一類是問題序列的逼近。 [3] 問題解序列的逼近是給問題一個可行或近似的初始解 ， 然后以此解為基礎 ， 按固定的程序給出一個解序列 ， 這個解序列的極限就是該問題的精確解 ， 序列的每一項都是這個問題的近似解。在 Zeno’s paradoxes中，運用了這類逼近思想 ，它在求解方程中有著廣泛的應用。 問題序列的逼近是從一個與問題實質內容有本質聯(lián)系的較大范圍內的問題開始 , 逐步縮小問題的范圍 , 通過這系列問題解決的成果和方法的分析、綜合、啟發(fā)等 , 使原來的問題獲得解決的一種方法。在劉徽的“割圓術”中充分體現(xiàn)了這類逼近思想，它也是接下來我們所用到的逼近思想。 2 逼近思想在數(shù)學分析中的應用 數(shù)學分析主要研究函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性。逼近思想在數(shù)學分析中應用很廣，考慮到本文側重研究逼近思想在實變函數(shù)中應用，而實變函數(shù)是以 Lebesgue積分為中心的新的微積分理論，又 Lebesgue積分是以改進的 Riemann積分建立的 ，所以 接下來我們主要探討 R可積函數(shù)的逼近。數(shù)學分析研究的對象是函數(shù)，所以先研究初等函數(shù)的逼近是很有必要的。 用多項式函數(shù)逼近初等函數(shù) 定義 1 設函數(shù) f 在點 0x 有直到 n 階的導數(shù)，這里 n 是任意給定的正整數(shù)，令 ? ? ? ? ? ? ? ?2 ()0 0 0 0 0 0 0 01 1 1, 。 ( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! ! nnnT f x x f x f x x x f x x x f x x xn? ??? ? ? ? ? ? ? ?， 稱之為 f 在 0x 處的 n 次 Taylor多項式。 定理 1 設函數(shù) f 在點 0x 處有直到 n 階的導數(shù)，則有 ? ? ? ?? ?0 0 0( ) , 。 ,nnf x T f x x o x x x x? ? ? ?， 此式叫做函數(shù) f 在 0x 處的 Taylor展開式。 [5] 稱 ? ? 2 ( )1 1 1, 0 。 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 ! 2 ! ! nnnT f x f f x f x f xn? ??? ? ? ? ?為 f 的 n 次 Maclaurin多項式。相應于 定理 1， ? ?( ) , 0 。 ( )nnf x T f x o x??叫做函數(shù) f 的 Maclaurin展開式。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ()0 0 0 0 0 0 0 01 1 1( ) ( ) ( ) ( )1 ! 2 ! ! nnnf x f x f x x x f x x x f x x x o x xn? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 6 0xx? 。 這個公式的右邊，除了最后一項外，前面是不超過 n 次的多項式。這個公式的意義在于，在 0x 點的近旁，一個復雜函數(shù)可以用多項式函數(shù)來近似地代替。雖然余項? ?? ?0 no x x? 一般不是多項式，但是比起前面那些項的總和，已是微不足道。接下來看一些初等函數(shù)的 Maclaurin展開式。 2e 1 ( )1 ! 2 ! !nxnx x x oxn? ? ? ? ? ?； ? ? ? ?3 5 2 11 2s in 1 ( )3 ! 5 ! 2 1 !nn nx x xx x o xn??? ? ? ? ? ? ??； ? ? ? ?2 4 21 21c o s 1 1 ( )2 ! 4 ! 2 !nn nx x xx o xn? ?? ? ? ? ? ? ?； ? ?23 1l n ( 1 ) 1 ( )23 nn nx x xx x o xn?? ? ? ? ? ? ? ?； ? ? ? ? ? ?21 1 1( 1 ) 1 ( )2 ! ! nnnx x x x o xn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?； ? ? ? ?3 5 2 11 2a r c ta n 1 ( )3 5 2 1nn nx x xx x o xn??? ? ? ? ? ? ??。 定理 2（ Taylor定理） 設函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上存在 n 階的連續(xù)導函數(shù)，在 ? ?,ab 內存在1n? 階的導函數(shù)，則對任意給定的 ? ?0,x x a b? ，至少存在一點 ? ?,ab?? ，使得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?() ( 1 )21000 0 0 0 0 0( ) ( ) ()( ) ( ) ( ) 2 ! ! 1 !n nnnf x f x ff x f x f x x x x x x x x xnn ?? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??[6] 由 Taylor定理可以看出，在一個區(qū)間上可以用多 項式函數(shù)來逼近復雜的函數(shù)。當然，我們必須為這一便利付出代價，那就是函數(shù)必須在一定的范圍內具有適當高階的導函數(shù)。又若初等函數(shù)在定義域內有直到 1n? 階的導數(shù)，那么初等函數(shù)在定義域內有 Maclaurin展開式，即初等函數(shù)在定義域內可以用多項式函數(shù)來逼近。 用階梯函數(shù)逼近 R可積函數(shù) 定義 2 ? ?:,ab? ?R ，如果有分割 0 1 2 1nna x x x x x b?? ? ? ? ? ? ?，使得在每個子區(qū)間上， ? 為常值函數(shù)，則稱