畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用(文件)
【正文】 數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)生變化），得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)（2）待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得（3）迭代法由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過(guò)n次迭代得到函數(shù)方程的解法（4）柯西法定理 若是單調(diào)（或連續(xù)）函數(shù)且滿足、則在f(x)單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解 例10：設(shè)上是連續(xù)的且恒不等于0，求函數(shù)方程 (1) 的解. 解：由數(shù)學(xué)歸納法易知 特別，取，則可得 (2) 在上式中取，可得， 在(1)式中，取，可得 因?yàn)槲覀兗僭O(shè)不恒為0，所以 .在(2)式中，取，則可得(m為正整數(shù)) 在(1)式中，取，則可得 所以，對(duì)任意的有理數(shù)，. 又因有理數(shù)是實(shí)數(shù)的稠密子集，且上連續(xù)，所以 若，則 (3) 例11：設(shè)在正實(shí)數(shù)域上有定義，連續(xù)且不恒等于0，試求函數(shù)方程 (4) 的解. 解：由數(shù)學(xué)歸納法易知，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)； 特別，取時(shí)，可知 (5) 所以，由(4)式可知 . 因此，對(duì)于任意的， . 取定，對(duì)任意的，存在，使得； . 令 ，則. (6) 這是函數(shù)方程(＊)在整個(gè)正實(shí)數(shù)上連續(xù)時(shí)，唯一的解. 例12：設(shè)在實(shí)數(shù)上有定義，連續(xù)且不恒為0，求方程式 (7) 的解？ 解：任取，對(duì)任意的，存在 使得，(可取，) 將此代入(7)式可得 令，則 (8) 因?yàn)樵谏线B續(xù)上連續(xù). 故由例一可知，(8)有唯一的解 ，(是一個(gè)唯一固定的常數(shù))，. . 故，令，則 (9)【注】：如在例三中，不要求為連續(xù)函數(shù)，則解未必是唯一的. 例如函數(shù) (10) 不難看出它也是(7)的解.由此可見(jiàn)：方程思想在解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)起著不可小視的作用, 其適用的范圍相較廣，別是在處理中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí), 幾乎可運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)部分, 這從前面列舉的各個(gè)例子中可以看到, 至于在解析幾何、立體幾何等不同數(shù)學(xué)分支中, 許多問(wèn)題最終都是可以通過(guò)建立方程式, 運(yùn)用方程思想來(lái)解決. 近幾年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中, 經(jīng)常出現(xiàn)最值問(wèn)題, 考慮到構(gòu)造方程, 利用方程思想是解決有關(guān)最值問(wèn)題的良好途徑. 例13：已知實(shí)數(shù)滿足 求的最大值和最小值.解：令，則所以可變式為：去括號(hào)整理得：因?yàn)閤是不為0的實(shí)數(shù)所以有：整理即得：所以可解得：即故的最大值是，的最小值是點(diǎn)評(píng)分析：要求的最值，題中沒(méi)有直接給出關(guān)于x、y的等式，但給出了聯(lián)系x、y的方程，所以可設(shè)參數(shù)k,溝通已知和未知的聯(lián)系，這時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍髃值最值的問(wèn)題了，. 例14：（北京市東城區(qū)高三綜合復(fù)習(xí)）已知函數(shù)的最大值為,最小值為，則+的值為？解析：首先觀察題目，我們可以對(duì)變形，那么如何求最大值、最小值呢？如果單獨(dú)求的話，似乎比較難這時(shí)我們可以利用方程思想：令，此時(shí)，所以+的值為2主要是巧妙設(shè)元代替，如果單獨(dú)算出最大最小值，不僅方法難，. 假設(shè)是一個(gè)常數(shù)矩陣，使得關(guān)于的線性代數(shù)方程組具有非零解的常數(shù)稱為的一個(gè)特征值而非零解則稱為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量次多項(xiàng)稱為的特征多項(xiàng)式，次代數(shù)方程稱為的特征方程. 例15：試求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量.解 ： ，對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量必須滿足線性方程組因此，滿足方程組所以對(duì)應(yīng)任意常數(shù) ，有是對(duì)應(yīng)于的特征向量類似地，對(duì)應(yīng)于的特征向量為其中是任意常數(shù)方程思想方法與方程知識(shí)的獲得是相輔相成的，方程思想是對(duì)
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