二階常微分方程的解法及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文(參考版)
2024-08-29 17:40本頁面
【正文】 應(yīng)該說， 應(yīng)用常微分方程 理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠遠不能滿足需要，還有待于進一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。而冪級數(shù)解法作為求解二階變系數(shù)齊次線性微分方程的一種方法，其過程還是比較繁瑣的，計算量偏大，且需要考慮函數(shù)是否解析，冪級數(shù)在某個區(qū)間是否收斂等。 4 總結(jié)及意義 總而言之， 現(xiàn)在常微分方程在很多 學(xué)科 領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機和導(dǎo)彈飛行的 穩(wěn)定性 的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。由常數(shù)變易法可設(shè)為 * 1 0( ) ( ) si n (1 0 3 )tx t c t e t?? . 與情形 1 中的解法類似，將 *()xt代入（ 12）并化簡得 * 1 0 9 9( ) s i n ( 2 ) c o s ( 2 )3 9 6 0 4 3 9 6 0 4x t t t??. 由于 *x 是特解 ,則積分常量可以都取零。 5 5 184( ) s i n 3 0 c o s 3 033ttc t e t e t c? ? ?, 從而得出（ 9）的一個特解為（取 120cc??） * 5 5 51284( ) ( ( s i n 3 0 c o s 3 0 ) )33t t tx t e e t e t d t c?? ? ?? 3 2 4 4s in 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5tt??, 從而可得（ 9）的通解 5 1 5 3 2 4 4( ) s i n 3 0 c o s 3 05 5 5 5 5 5ttx t A e B e t t??? ? ? ?. 由之前可知 22d x dxm c kx Fdt dt? ? ?. （ 10） 將數(shù)據(jù)代入公式中可以得到 22 2 0 4 0 0 c o s ( 2 )d x d x xtd t d t? ? ?. （ 11） 按照自己所做的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在進行求解的過程當中使用常數(shù)變異法，首要就是必須得出公式（ 11），而在之前的研究當中可 以得到公式（ 11）齊次線性微分方程的特征方程為 2 20 400 0??? ? ?。 5( ) 1 0 ( ) 1 0 0 c o s 3 0tc t c t e t?? . 以上屬于 39。如果經(jīng)歷一定時間之后，就會消失瞬態(tài)振動，使得整個系統(tǒng)保持著穩(wěn)態(tài)振動的狀態(tài)。穩(wěn)態(tài)解則是之后的兩項，穩(wěn)態(tài)解則是對于系統(tǒng)受到驅(qū)動力的作用之下進行強制振動的狀態(tài)進行描述，這主要是由于立足于恒定的幅值條件下，從而將這種狀態(tài)稱之為穩(wěn)定振動。從本質(zhì)上來看，這種強迫振動方程屬于二階的非齊次常微分方程，這個方程所得到的一般解也就是這個方程所得到的某一個特解和相對應(yīng)的齊次方程一般解兩者之和。 解：在質(zhì)點振動系統(tǒng)當中受到驅(qū)動力的作用，那么就可以得到關(guān)于系統(tǒng)振動的方程為： 22d x dxm c kx Fdt dt? ? ?, (7) 或者還可以將上述公式改成 2 202 2 c o s ( 3 0 )d x d x x H td t d t??? ? ?. (8) 在以上的公式當中 AFH m? 表示為在單位質(zhì)量上面所受到的外力幅值。可是正是由于受到阻尼作用的影響，不能夠長久的維持這種自由振動系統(tǒng)的振動，通常都會經(jīng)歷著從振動的逐漸衰減延續(xù)至振動停止，為了保持震蕩持續(xù)不停的狀態(tài)，就必須不斷的從外界當中獲得必要的能量，學(xué)術(shù)界將這種因為受到外部持續(xù)作用而產(chǎn)生的振動歸納成為強迫振動。 解：按照牛頓的第二運動定律的結(jié)果可以得到 kx cv ma? ? ? , （ 1） 或 22 0d x dxm c kxdt dt? ? ?, （ 2） 相對來說振動系統(tǒng)這是之前給定的，其中的常量為 ,mkc ，如果可以確定20 ,2k m c m????,那么以上的方程式可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋? 2 202 20dddt dt??? ? ?? ? ?, （ 3） 那么把所得到的數(shù)據(jù)代入公式（ 3）就可以得到 22 2 0 7 5 0d x dx xdt dt? ? ?. （ 4） 通過對以上公式的細致觀察和研究則可以得到對其進行求解能夠使用特征值法，那么在這里的特征方程可以表述為： 2 20 75 0??? ? ?,并且在這一特征方程當中包含有兩個分別根 1215, 5??? ? ? ?,這樣相對應(yīng)的則 (4)的兩個根分別為 5 1512,ttee?????? （ 5） 那么按照公式（ 5）進行計算可以得到固有角頻率數(shù)值為 0 52km? ??，在這時候阻尼系數(shù)值為 10?? ,也就是說 220??? ,則方程 (5)的解可以表述為 5 15ttAe Be? ????（初始條件覺得 ,AB數(shù)值） . （ 6） 在公式（ 6）當中，所保持的屬于一個非振動狀態(tài)，在如此背景之下，所存在的質(zhì)點也只是在原先的不平衡位置逐步恢復(fù)到平衡狀態(tài)當中，質(zhì)點并不具備周期振動的特征。而在對阻尼振動進行研究的過程當中，對運動方程所進行的求解這一問題顯得比較復(fù)雜，以下就分別使用特征值法、常數(shù)變異法以及拉普拉斯變換法來求動力學(xué)方程。 3 常微分方程的簡單應(yīng)用 為直觀的了解常微分方程的簡單應(yīng)用，本文特選取動力學(xué)方程當中簡單應(yīng)用 常微分方程。2 2 , (1 ) (1 ) 0td x d x x e x xd t d t ?? ? ? ? ?. 解 先使 1t??? ，將問題化為 2 ( 1 ) 39。 由積分 ( ) ( )0 stF s e f t dt???? ? . 所定義的確定于復(fù)平面（ Re?? ）上的復(fù)變數(shù) s 的函數(shù) ()Fs,稱為函數(shù) ()ft 的拉普拉斯變換 ,我 們稱 ()ft 為原函數(shù) ,而 ()Fs稱為像函數(shù) . 拉普拉斯變換法主要是借助于拉普拉斯變換把常系數(shù)線性微分方程轉(zhuǎn)換成復(fù)平面 s 的代數(shù)方程 .通過一些代數(shù)運算 ,一般地再利用拉普拉斯變換表 ,即可求出微分方程的解 .方法十分簡單方便 ,為工程技術(shù)工作者所普遍采用 .當然 ,方法本身有一定的局
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