中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法研究反證法畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-05-01 03:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 證兩條直線是異面直線，常采用反證法。2. 證明“唯一性”的問題在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱為“唯一性”問題。例5：過平面上的點(diǎn)A的直線，求證：是唯一的。證明：假設(shè)不是唯一的，則過A至少還有一條直線，∵、是相交直線，∴、可以確定一個(gè)平面。設(shè)和相交于過點(diǎn)A的直線?！?，∴。這樣在平面內(nèi)，過點(diǎn)A就有兩條直線垂直于，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，是唯一的。關(guān)于唯一性的問題，不僅在平面幾何中存在，在代數(shù)、空間幾何、三角函數(shù)等中都又存在。這一類問題如果使用直接證法證明可能會相當(dāng)困難，那么在這種情況下，一般都采用間接證法。即用反證法證明，這樣從反面出發(fā)，從結(jié)論出發(fā)，也許會有意想不到的效果。3. 證明“不可能”問題平面幾何問題中有一類問題，是要證明某個(gè)圖形不可能存在某種性質(zhì)或者要證明具有某種性質(zhì)的圖形不存在。它們的結(jié)論命題一般都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明將會有一定的困難。而它的否定命題則是具有某種性質(zhì)的圖形存在或者某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)，因此，這類問題一般非常適宜用反證法。例6：求證：拋物線不存在漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是()。假設(shè)拋物有漸近線，漸近線的方程是，易知、都不為0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組 的兩組解的倒數(shù)都是0。將（2）代入（1），得 （3）設(shè)、是（3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知，則， （4）， （5）由（4）、（5），可推得，這于假設(shè)矛盾。所以，拋物線不存在漸近線。關(guān)于“不可能”問題是幾何中非常重要也是最常見的一種類型。由于它們的結(jié)論一般是以否定形式出現(xiàn)，如果采用直接證法有些困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。4. 證明“至少存在”或“不多于”問題在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。例7：已知：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。證明：假設(shè)四邊形的邊都小于，由于四邊形中至少有一個(gè)角不是鈍角（這一結(jié)論也可用反證法證明），不妨設(shè)，根據(jù)余弦定理，得，∴，即。這與已知四邊形BD=1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于。 反證法在立體幾何中的應(yīng)用1. 用反證法證明一些基本定理 我們知道，所謂證明，就是利用已經(jīng)學(xué)過的公理，定義和定理，用推理的方法，去證明新命題的正確或錯誤。但在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，按公理化的方法，最初建立的僅是數(shù)量不多的定義和公理o因此，證明某些原始的性質(zhì)或定理，常常難以運(yùn)用直接證法找出論據(jù)、也就是說，還沒有公理，定義或定理可以利用（或較困難）．在這種情況下，可采用反證法證明。全國統(tǒng)編教材立體幾何前面的基本定理，大部分都可以用反證法證之．例8：直線與平面平行的判定定理 如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。已知：直線//直線，求證： 圖32 這個(gè)定理，教科書是用反證法證明的。為什么用反證法而不用直接證法？我們試加以分析。 從結(jié)論出發(fā)，進(jìn)行考察。欲證即證明與沒有公共點(diǎn)怎樣證明直線與平面沒有公共點(diǎn)呢？是否有這方面的公理，定理可以直接利用呢？我們只學(xué)過直線與平面平行的定義。 “直線與平面沒有公共點(diǎn)叫直線與平面平行”。而我們要證明的定理恰好是“直線與平面沒有公共點(diǎn)”，也就是說，到目前為止，我們無法判斷與是否沒有公共點(diǎn)。因?yàn)檫€沒有這方面的定理，公理可以利用，所以要直接證明“與沒有公共點(diǎn)”是很困難的，甚至是不可能的．為此，我們可以從它的逆否命題入手去考察。逆否命題是：如果直線a與平面ɑ有公共點(diǎn)，那么直線a與直線不平行。因?yàn)槠矫嫱獾囊粭l直線與平面的位置關(guān)系只有兩種情況。①有一個(gè)公共點(diǎn)，②沒有公共點(diǎn)。這是兩種互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。如果“有公共點(diǎn)”這個(gè)判斷是錯誤的，那么“沒有公共點(diǎn)”這個(gè)判斷就是正確的了。而假設(shè)有公共點(diǎn)，是很容易導(dǎo)致矛盾的。所以教科書采用反證法證之，使得證明來得簡練又確切。 證明：假設(shè)與不平行， 因?yàn)?，所以與必相交，設(shè)∵∴A 圖33 在平面內(nèi)過A點(diǎn)引直線c，使c//，這時(shí)，c//b，故。 而 這與公理“平行于同一條直線的另兩條直線互相平行”相矛盾． ∴ 與不平行是錯誤的，故 2. 用反證法證明否定性命題 例9： 兩條異面直線不能同時(shí)垂直于同一個(gè)平面．證明：假設(shè)兩條異面直線能同時(shí)垂直于同一個(gè)平面，那么根據(jù)“直線與平面垂直的性質(zhì)定理，如果兩條直線同時(shí)垂直予一個(gè)平面，那么達(dá)兩條直線平行”，達(dá)兩條異面直線必平行，因而它在同一平面內(nèi)，自相矛盾。所以兩條異面直線不能同時(shí)垂直于同一個(gè)平面。3.
數(shù)學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1