談數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學解題中的應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-05-09 00:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 。 解：此題若直接解方程則較為困難， 若利用數(shù)形結(jié)合，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾 何問題，則較為簡單。即求兩曲線的交 點的個數(shù)。 做出函數(shù) 2 14y x x? ? ? 和 1y x? 的圖象，從圖 2中可以看出兩曲線的交點 M只有一個， 所以， 方程只有一個實數(shù)解。 例 3 求方程 sin lgxx? 的解的個數(shù) . 解 :作出函數(shù) sinyx?和 lgyx? 的圖象 。 觀察圖象 ,兩函數(shù)圖象有 3個交點 。 所以， 原方程的解有 3個 。 結(jié)合函數(shù)定義域正確畫出函數(shù)圖像 時要注意交點，分界點。可結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或簡單的計算、估算作出判斷。 含參數(shù)的方程 中學數(shù)學中常見的是 含參數(shù)的 二次方程 ， 很多數(shù)學問題最后 都可 轉(zhuǎn)化為二次方程問題來處理。在對二次方程問題的探討中 ,對含有參數(shù)的二次方程實根問題代數(shù)解法討論較繁 而且 解題入手點不簡明。若采用數(shù)形結(jié)合方法解決此類問題 ,則 思路自然、結(jié)果簡明直觀 ,易操作 ,容易理解運用。 例 4 集合2{ ( , ) | 2 }A x y y x mx? ? ? ?,{ ( , ) | 1 0 , 0 2 }B x y x y x? ? ? ? ? ?且圖 2 圖 3 圖 4 4 AB??? ,求實數(shù) m 的取值范圍。 解 :由題意得方程 2 21x mx x? ? ? ?( 02x?? )等價變形為方程 2 1 (1 )x m x? ? ? 在 (0 ,2)中有解。 設 21 1yx??, 2 (1 )y m x?? , 0 ?? 則 21 1yx??的圖象為拋物線段， 2 (1 )y m x?? 圖象為過定點 (0 ,0)的直線系 ， 其中 L 1 : 2yx? 為切線 ,切點為 (1 ,2)。 由圖 4可知 ,直線系斜率 1m? 滿足 12m??時 ,直線系和拋物線段都相交。 所以， m 的取值范圍是 1m?? 。 由于方程含有參數(shù)，因此畫出的函數(shù)圖像 不是靜態(tài)不變的，而是動態(tài)變化的，例如直線系，曲線系。 要 注意尋找分界點，分界直線 。 3 不等式問題 不等式 問題也 是中學數(shù)學的重要內(nèi)容 。不等式 是解決問題的一種有利工具 ，而許多復雜的不等式問題也能通過數(shù)形結(jié)合的方法得到巧妙解決。 無理不等式 解無理不等式是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容 ， 常規(guī)解法是平方去根號轉(zhuǎn)化 為 有理不等式 (組 )求解 。但 上述解法往往運算量大 ， 過程冗長 。 解題中若能注意到某些 代數(shù)式 的功能作用 ， 將原不等式作適當轉(zhuǎn)化 ，利用數(shù)形結(jié)合的方法， 常能簡化解題過程 ， 優(yōu)化數(shù)學思維 ， 提高解題效率 。 例 5 解不等式 2xx?? 。 解： 令 ( ) 2 ( )s x x q x x? ? ?， ， 則不等式 2xx?? 的解就是使( ) 2s x x??的解 在 ()qx x? 的上方的那段圖象所對應的橫坐標， 如圖 5 不等式的解集為 { | }ABx x x x?? 。 而 Bx 可由 2xx?? 解得 22BAxx? ? ?， ， 故不等式的解集為 { | 2 2}xx? ? ? 。 二元二次不等式組 xy圖 5s x( ) = x + 2q x( ) = x–1–2–3 1 2 3–1123P (2, 2)OA B5 例 6 解不等式組 22221 0(1)4(2)xyxy? ? ? ??? ???? 解 :先考慮相應的方程組 22221(3)4(4)xyxy? ???????? 如圖 6，它們分別表示雙曲線和圓 由 (3)知 221xy??代入 (4),得 62y?? 。 所以， 原不等式的解集為226614yy x y?? ? ????? ? ? ??或22662241yy x y?? ? ????? ? ? ?? 熟悉代數(shù)式結(jié)構(gòu)，巧用幾何意義。 高次不等式 中學數(shù)學中主要學習一次不等式與二次不等式。高次不等式需轉(zhuǎn)化為低次不等式來求解。最常用的是數(shù)軸標根法。 例 7 解不等式 2( 3 ) ( 2 )( 1) 0x x x? ? ? ?. 解 :因最高次項系數(shù)為 1 0 ,所以原不等式可變形為 2( 3 ) ( 2 )( 1) 0x x x? ? ? ?， 方程2( 3 ) ( 2 )( 1) 0x x x? ? ? ?有實根 1 1x?? ， 2 2x? ， 343xx??， 說明曲線2( 3 ) ( 2 )( 1)y x x x? ? ? ?與 x 軸有交標根 ， 如圖 7所示 ， 所以， 不等式 的解集為 { | 1 2 3}x x x? ? ? ?或 用數(shù)軸標根法求解高次不等式 時， 要 特別 注意將不等式正確變形為最高次項的系數(shù)為正數(shù)的形式，注意曲線在數(shù)軸上的繞法，特別是重根的情況。 絕對值不等式 若用代數(shù)求法求解 ,需分情況討論 ,去除絕對值號來求解 .但分類討論繁瑣 ,過程復雜 .利用 數(shù)形結(jié)合方法 ,將不等式兩邊視為兩個函數(shù)，然后在同一直角坐標系中畫出它們的圖象 ,則求解簡單 明了 。 圖 6 圖 7 6 例 8 解不等式 | log ( 1 ) | | log ( 1 ) |aaxx? ? ? ( 1a? ). 解：設 1 | log ( 1) |ayx??, 2 | log ( 1) |ayx??. 兩曲線有一個交點 ,且交點在第一象 限 。 列出方程 log ( 1 ) log ( 1 )aaxx? ? ? ? 即 1010111xxxx?? ??? ????? ???? 解之得 : 2x? 所以， 原不等式的解集為 :{x | x 2 ｝ 含參數(shù)的不等式 若對參數(shù)分類討論來求解 ， 過程煩瑣 .利用數(shù)形結(jié)合可大大簡化計算過程。 例 9 若不等式 1x? + 1x? a? 恒成立 ,求 a 的取值范圍 。 解：要使不等式恒成立，只要 a? 1x? + 1x? 的最小值 .考慮用絕對值的幾何意義，把 1x? + 1x? 理解為到數(shù)軸上兩點 (1,0),(1,0)的距離的和，則較為簡單。 當 x ( 1,1)?? 時 ,有 1x? + 1x? 最小值 2. 所以 a 的取值范圍是 ( ,
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