【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 成兩個(gè)部分。 于是得到了另一個(gè)與例題相類似的問(wèn)題： n 條直線，最多能把整個(gè)平面分割成多少個(gè)部分。 ① 這道題容易解決得多。它的解決方法是利用數(shù)學(xué)歸納法（如 圖）： 一條直線，把平面分割為兩個(gè)部分（ A 和B）； 增加一條直線，它與第一條直線相交，被分為兩段射線，每一段射 線 又 把 所 在 的 區(qū) 域（例如 A）分成兩部分（ A1 和 A2）；因此增加了 2 個(gè)部分；共有2+2=4 個(gè)部分。 再增加一條直線，它與前兩條直線相交，被分為三段，每一段又把所在區(qū)域（例如 B1）分成兩部分 (B11 和 B12)；總共增加了 3 個(gè)部分；共有 4+3=7 個(gè)部分； 由此類推，設(shè)前 k1 條直線共把平面分為 Ak 1 個(gè)部分。加入第 k條直線，與前 k1 條直線相交，被分為 k 段，每一段把所在區(qū)域分為兩部分；總共增加了 k 部 分；總共有 Ak 1+k 個(gè)部分。 于是得到了遞推關(guān)系 A1=2； Ak=Ak 1+k； 由此不難計(jì)算出通項(xiàng)公式： 2 )1(1 kkAk ???； 于是直線分割平面的問(wèn)題就解決了。 解決這一問(wèn)題對(duì)“平面分割空間問(wèn)題”有何幫助？既然空間和平面，與平面和直線的關(guān)系相似，那么直接把平面換成空面，把直線換成平面，就可以直接用以上的過(guò)程來(lái)證明未知的問(wèn)題了嗎？顯然是不可以的。這僅僅是根據(jù)主觀的相似得出的機(jī)械的模仿，是錯(cuò)誤的。 但是如果仔細(xì)分析一下錯(cuò)誤的原因，將會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的關(guān)鍵：線線相交得到的是 交點(diǎn) ，面面相交得到的是 直線 ， k 個(gè)點(diǎn)把直線分成 k+1個(gè)部分，而 k 條直線則不是簡(jiǎn)單的把平面分成 k+1 個(gè)部分。 事實(shí)上， k 條直線最多把平面分成 Ak 個(gè)部分！ 因此兩個(gè)問(wèn)題真正的相似之處在于，一個(gè)為了計(jì)算直線把平面分 ① 這實(shí)際上是本屆（第五屆）分區(qū)聯(lián)賽初賽的一道填空題。 作者：張力 類比思想在解題中的應(yīng)用 第 7 頁(yè) 共 13 頁(yè) 割成幾部分，先計(jì)算這條直線被點(diǎn)（線線交點(diǎn)）分割成幾部分，把二維的問(wèn)題化為一維的問(wèn)題；另一個(gè)要計(jì)算平面把空間分割成幾部分，先計(jì)算這個(gè)平面被線（面面交線）分割成幾部分，把三維的問(wèn)題化為二維的問(wèn)題。而二維的問(wèn)題是已經(jīng)被解決了的；于是反過(guò)來(lái)，三維的問(wèn)題也解決了。 同樣是利用數(shù)學(xué)歸納法： 一個(gè)平面把空間分 割成兩部分； 設(shè)前 k1 個(gè)平面共把空間分割成 Bk 1 個(gè)部分。加入第 k 個(gè)平面后，與前 k1 個(gè)平面相交，共有 k1 條交線。 k1 條交線把這個(gè)平面被分為幾個(gè)塊呢？這實(shí)際上就是剛剛解決過(guò)的問(wèn)題： k1 條直線，把平面分割成 2 )1(1 1 ?? ?? kkkA 部分。這 2)1(1 ??kk 塊平面，分別把所在原來(lái)空間一分為二，總共增加了 2 )1(1 ?? kk 個(gè)部分；于是， k 個(gè)平面總共把空間分割成 2 )1(11 ???? kkBk個(gè)部分。 于是得到了 遞推關(guān)系 B1=2； 2 )1(11 ???? ? kkBB kk； 利用這一遞推關(guān)系來(lái)編寫(xiě)程序，不難求出 Bn，而且即便對(duì)很大的 n，程序的運(yùn)算速度仍然是很快的。 （當(dāng)然，也可以計(jì)算出 Bn 的通項(xiàng)公式，這實(shí)際上是一個(gè)二階等差數(shù)列的和： 6 )2)(1(2 )1(1 ??????? nnnnnnBn） 在這個(gè)例子中的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，雖然不如同構(gòu)的概念中那么容易地用式子表達(dá)出來(lái)，但還是很清楚的： n 個(gè)平面中的任意一個(gè)平面，截其它 n1 個(gè)平面得到的所有 n1 條交線，把這個(gè)平面分成 An 1 部分，而這正 對(duì)應(yīng) 于是第 n 個(gè)平面分割空間得 到的 增量 。或者說(shuō)， 11 ?? ???? nnnn ABBB ； 在這個(gè)例子中，最初找不到什么熟悉的類似問(wèn)題，但是從簡(jiǎn)單和便于分析的角度著手，構(gòu)造了一個(gè)平面上的與之相似的問(wèn)題。此時(shí)，相似性可以說(shuō)是“立體”和“平面”的類比，這是非常模糊的。因?yàn)閹缀鯖](méi)有確切的理由，能表明這樣的類比可以使問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化；這種相似性主要依據(jù)的是以往解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)（化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題，在中學(xué)的立體幾何中是經(jīng)常用到的手法），另一個(gè)原因則是為了簡(jiǎn)化問(wèn)題。 接著，在解決平面的問(wèn)題之后，面對(duì)的困難是：如何把解決平面上問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用 到空間的問(wèn)題中。如果僅僅根據(jù)表面的相似性，機(jī)械的模仿將導(dǎo)出一種錯(cuò)誤的方法。然而這種嘗試卻不是沒(méi)有價(jià)值的。通過(guò)比較正確的論證和錯(cuò)誤的論證之間的差別，原來(lái)的簡(jiǎn)單而模糊的類比得到了完善和澄清：把“三維降低到二維的過(guò)程”和“二維降低到一維的過(guò)程”做類比。由此，兩個(gè)問(wèn)題之間的聯(lián)系變得很清楚，于是得出了完整的推算過(guò)程。 事實(shí)上，這道例題的解決，和近年來(lái)不少三維的計(jì)數(shù)問(wèn)題的思考方法是非常類似的：先考慮把二維化為一維的情況；再用相同的方法（類比），把三維的問(wèn)題化為二維的問(wèn)題來(lái)解決。這種策略被形象的 作者：張力 類比思想在解題中的應(yīng)用 第 8 頁(yè) 共 13 頁(yè) 稱為“ 降維 ”的策略。 ① 以上“因數(shù)分解”和“平面分割空間問(wèn)題”的例子，都是借助類比解決的。而且在最初，都把探究問(wèn)題之間的某種相似性作為分析問(wèn)題的 線索 ，這樣做的目的是希望能夠把未知的問(wèn)題和熟悉的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，以提供我們解決問(wèn)題的可能性。然而正如在這兩個(gè)例子中見(jiàn)到的，這種從問(wèn)題的表面上得出的相似性，往往不是本質(zhì)的，并且可能是有缺陷的。所以，這種表面現(xiàn)象上的類比只是為解題指出了可行的方向。為了最終能夠把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，需要揭示兩個(gè)問(wèn)題之間更深層的類比，即建立從一個(gè)問(wèn)題到另一個(gè)問(wèn)題的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 在利用類比解題的整個(gè)過(guò)程中 ，表面的相似和內(nèi)在的對(duì)應(yīng)是緊密的聯(lián)系在一起的。相似性在淺層，對(duì)應(yīng)關(guān)系在深層。對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)關(guān)系的途徑是從表面的相似性出發(fā)的。 總結(jié) 信息學(xué)競(jìng)賽涉及到大量的不同算法，對(duì)于每一種算法的特點(diǎn)和應(yīng)用技巧，老師和前輩們都已經(jīng)進(jìn)行了大量的分析和研究，并且總結(jié)出了許多完整的理論。那么，在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思路方面，是否也有一定的規(guī)律和方法呢？出于這樣的考慮，本文沒(méi)有就某種具體的算法進(jìn)行分析，而是希望能夠在分析問(wèn)題的 思想方法 上有所探討。在這方面，許多數(shù)學(xué)上的技巧（例如構(gòu)造、化歸、歸納法）都是值 得借鑒的，本文所主要分析的類比思想，也是其中之一。 本文的第一部分，通過(guò)利用類比解題的例子，首先指出僅僅表面的相似性并不能真正體現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系；然后，從代數(shù)系統(tǒng)的同構(gòu)的定義中提取出類比的本質(zhì)，即兩個(gè)系統(tǒng)的各個(gè)部分之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使一個(gè)系統(tǒng)中的一個(gè)操作（運(yùn)算）對(duì)應(yīng)于另一個(gè)系統(tǒng)中的另一個(gè)操作（運(yùn)算）。由此，可以把關(guān)于一個(gè)陌生的系統(tǒng)中的新問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解決。 一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是類比本質(zhì)的一面，而主觀上的相似性則是類比的表象。同時(shí)，正如在本文的第二部分所闡述的，這兩者 不是完全對(duì)立，而是互相聯(lián)系的。沒(méi)有主觀的相似性的引導(dǎo)，類比的本質(zhì)很難被發(fā)現(xiàn)。整個(gè)類比的過(guò)程，從含糊（主觀上的）的相似到清晰的（概念上的）對(duì)應(yīng)關(guān)系，把已知的問(wèn)題與未知問(wèn)題逐漸聯(lián)系起來(lái)，最后使兩個(gè)問(wèn)題之間能夠互相轉(zhuǎn)化，從而把已知問(wèn)題的解題模型應(yīng)用到未知問(wèn)題的解決中去。 利用類比解題并不是