用輔助圓解題方法的研究畢業(yè)論文初(編輯修改稿)
2025-07-10 07:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 s in 2 022? ? ? ?， S扇 形 AOB= 20360 360 18nr? ? ???. 因?yàn)? S △ AOB? S扇 形 AOB， 所以 sin202 18??， 即 2 2 0 6 3 7s in 2 01 8 1 8 0 1 8 0 2 0??? ? ? ?. 本題乍一看，似乎難以下手，可借助單位圓，使問(wèn)題解決更快捷 . （二） 在平面幾何中的 研究 在應(yīng)用輔助圓前，首先我們要清楚哪些條件是可以讓我們聯(lián)想到輔助圓的，比如有公共端點(diǎn)的等線段時(shí)、有兩角互余或互補(bǔ)的時(shí)、有高、有相交弦的逆定理、有割線的逆定理，兩數(shù)相乘等積等形式出現(xiàn)時(shí)都可以考慮用到輔助圓，以下就列舉了這幾種普遍的情形，而且進(jìn)一步重點(diǎn)研究四點(diǎn)共圓的情況。 。 例 1。 如圖，若 PA=PB，∠ APB=2∠ ACB， AC 與 PB 交于點(diǎn) P，且 PB=4， DB=3，則 AD DC 等于 ( ) A． 6 B． 7 C． 12 D． 16 到一個(gè)定點(diǎn)等距離的幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法，也是最常見(jiàn)的可以用到輔助圓的例子。此題看到有公共端點(diǎn)的 p 和等線段的 PA 和 PB，可以聯(lián)想到作出以 P點(diǎn)為圓心、 PA長(zhǎng)為半徑的圓，為相交弦定理的應(yīng)用創(chuàng)設(shè)了條件。 有兩角 互余或互補(bǔ)的時(shí)或者有 45 度角和 90度角時(shí)可聯(lián)想到輔助圓。 例 2．如圖，在 ABC? 中 ,AB AC? ,D 是底邊 BC 上一點(diǎn) ,E 是線段 AD 上一點(diǎn)且2BED C ED A? ? ? ? ?.求證： 2BD CD? . 證明： 延長(zhǎng) AD 與 ABC? 的外接圓相交于點(diǎn) F ,連結(jié) CF 與 BF . 則 BF A BCA AB C AF C? ? ? ? ? ? ?,即 BFD CFD? ?? . 故 ::BF CF BD DC? . E A B G D C F 又 ,BE F BA C BF E BC A? ? ? ? ? ?, 從而 FB E AB C ACB BF E? ? ? ? ? ? ?.故 EB EF? . 作 BEF? 的平分線交 BF 于 G ,則 BG GF? . 因 12G E F B E F C E F? ? ? ? ?, GEF CEF? ?? , 故 FEG FEC? ?? .從而 GF FC? . 于是 , 2BF CF? .故 2BD CD? . 。 例 .如圖， ABCRt? 中， 090??BAC , BCAD? , B? 的平分線與 ACAD、分別交于 NM、 .求證 BNBMANAB ??? 22 . 分析 :由結(jié)論的符號(hào)特征 ”“ BNBM? 聯(lián)想到圓中的割線定理，而由條件可證 ANAM? ，因此想到以點(diǎn) A 為圓心 ,AM 為半徑作圓交 AB 于 F點(diǎn) ,交 BA的延長(zhǎng)線于 E點(diǎn) , 則點(diǎn) N 在圓 A 上 .所以， )()( AEABAFABBNBM ????? = ))(( ANABANAB ?? ，所以， BNBMANAB ??? 22 . 點(diǎn)評(píng)：上述解法，通過(guò)添加輔助圓，使之形成兩條共端點(diǎn)的割線，這為獲得妙解找到了捷徑 . ，故本文在這里重點(diǎn)研究了四點(diǎn)共圓的情形。 定義： 如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則稱這四個(gè)點(diǎn)共圓，一般簡(jiǎn)稱為 “四點(diǎn)共圓 。 在聯(lián)想和應(yīng)用到輔助圓的前提必須 要清楚這四點(diǎn)共不共圓，而在這里本文總結(jié)了可以證明四點(diǎn)共圓的基本方法： ，三點(diǎn)在同一圓上，若另外一點(diǎn)也在該圓上，則其四點(diǎn)必共圓； 同側(cè)有相等頂角的三角形，則 該兩個(gè)三角形 各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓 ； ； 相交弦的逆定理、割線的逆定理證明。 四點(diǎn)共圓的基本幾何性質(zhì)有 的頂角相等； ； 對(duì)角相等。 在熟練理解和應(yīng)用四點(diǎn)共圓的證明方法和性質(zhì)前提下，我們可以歸納出一些普遍能應(yīng) 用四點(diǎn)共圓的輔助圓的情況。 例 ，已知四邊形 ABCD,AB 平行 CD，其中 AB,AC,AD 三線其值都為x， BC 為 y，問(wèn) BD 的長(zhǎng)。 分析：由 AB,AC,AD 三線相等并共端點(diǎn)，而且該四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，種種條件我們很容易的聯(lián)想到引入輔助圓來(lái)求解。 解 :以 A 為圓心，半徑為 AB 做圓，則 A,B,C,D 四點(diǎn)共圓，則由圓的基本性質(zhì)可知 22222 BCEBEDEBBD ???? ,所以 224 yxBD ?? 例 ， 在三角形 ABC 中， ACBDABCE ?? , , 060??A ，求證 BC=2ED. 分析：由 若兩 個(gè) 同側(cè)有相等頂角的三角形，則 該兩個(gè)三角形 各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓 這證明四點(diǎn)共圓的方法可知 E、 B、 C、 D四點(diǎn)共圓． 故我們可聯(lián)想到引入 輔助圓來(lái)解決問(wèn)題。 證明： 在△ ABC 中， ACBDABCE ?? , ∴∠ BEC=∠ BDC=90176。，且 E、 D在 BC的同側(cè)， ∴ E、 B、 C、 D四點(diǎn)共圓． ∠ AED=∠ ACB，∠ A=∠ A， ∴△ AED∽△ ACB． 即 BC=2ED 例 6， 如圖，在△ ABC 中，高 BE、 CF 相交于 H，且∠ BHC=135176。， G 為△ ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且 GB=GC，∠ BGC＝ 3∠ A，連結(jié) HG，求證： HG 平分∠ BHF． 解：由四邊形性質(zhì)容易知道 00 45180 ????? B H CA ，所以 ∠ BGC=3∠ A=135176。 ,而由 同底同側(cè)有相等頂角的三角形，則各頂點(diǎn)四點(diǎn)共圓 可知 B、 G、 C、 H 四點(diǎn)共圓，得 ∠ BCG=∠ GHB= 213518000 ?=176。 ，又 ∠ BHF=45176。 ，所以 ∠ GHB=21 ∠ BHF，故 HG平分 ∠ BHF。 例 ABCD 中， AD ∥BC , , cCDABbBCaAD ???? dBDAC ?? ，求證： 22 cdab ?? .（ 1） 分析：看到有四邊形對(duì)角互補(bǔ)和幾個(gè)線段都相等的情形下，我們還是很容易想到輔助圓。 證明 :如圖 6，以 D 為圓心 ,DB 長(zhǎng)為
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