【正文】 衷心的謝謝大家！ 參考文獻： .化橢圓為圓的解題技巧 [J].數(shù)學通訊， 1998，（ 7）： 17~18. ,構造輔助圓解非圓問題 ,中學數(shù)學雜志 [J],1997,56（ 6） ,65. ，輔助圓的應用，數(shù)學學習 [J]， 2021， 37（ 24） ,3031. ,例說 輔助圓的應用，中學數(shù)學月刊 [J]， 2021， 23（ 3）， 38. ． 困境中構圓解圍 [J].數(shù)學通訊， 2021， (15) ： 17~19 ．圓在解題中的應用 [J].數(shù)學通訊， 2021， (5) ： 25~26． .從圓的定義想到輔助圓 .百度文庫 . [6]李子忠 .巧用直線與圓的位置關系解題 [J]. 高中數(shù)學教與學， 2021，（ 2） ： 46． 。不僅使我掌握了基本的學術論文寫作及研究方法，還 讓我學會了許多做人的道理。 D 圖 6 A B C Q D 圖 7 圖 8 N 三、總結 數(shù)學中兩大研究對象“數(shù)”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在因素，二者不僅滲透于數(shù)學教學中，還是進行解題時必需的也很重要的兩大工具，并要注意把兩者結合起來，達到“數(shù)形結合”解題的目的 .而實際上，解一些三角、 復數(shù)問題時大多數(shù)學生往往習慣于用代數(shù)方法求解，忽視了幾何方法，而單位圓正是解決這些問題，實現(xiàn)“以形解數(shù)”“以形解形”的有力工具之一 .利用單位圓來解決一些高中數(shù)學問題，不僅為解題提供了另一種思路與方法，拓寬了解題的視角，同時使“數(shù)”與“形 ” 能更好的統(tǒng)一起來，加深了對數(shù)形結合的數(shù)學思想方法的認識和理解 . 致謝： 本次畢業(yè)論文能夠順利完成，這與我的指導老師 寇艷蕾 老師的細心指導是分不開的。 由幾何關系可引入圖 7 所示的等勢圓，由于 D、 C二點位于同一等勢圓上，電荷從 D 運動到 C 電場力做功為零，只有重力做功，所以電荷在 D 點的機械能與 C 點的機械能相等，即： glvvCDmgmvmv CDC 330s i n2121 2022 ????? 對電荷在 C點受力（如圖 8 所示），由牛頓第二定律得： m acLQqkmg ???? 30c os30s in 2，解得： 22321 mlkQqgaC ??? 。底邊 BC長為 2L， 處在水平位置，斜邊 AC 是光滑絕緣的，在底邊中點 O處放置一正電荷 Q，一個質(zhì)量為m，電量為 q 的帶負電的質(zhì)點從斜面頂端 A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足 D時速度為 v。借用等勢圓來解題能化難為易。 2 可以用 等勢圓 表示已知兩點機械能相同時。顯然，當 AD 與矢量圓相切時，船航行的位移最短。 例 1 一條寬為 L 的河流，水流速為 u，船在靜水中劃行 A D v u v1 圖 1 L θ 的速度為 v ，且 v＜ u。 矢量即有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。而以下兩種題目的特點是可以引入輔助圓的。 四點共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因為，某四點共圓，不但與這四點相聯(lián)系的條件集中或轉移，而且可直接運用圓的性質(zhì)為解題服務 （三） 在解析幾何中的 研究 在解析幾何中能用到輔助圓的普遍是 研究與橢圓有關的問題， 這時 通過一個特殊的線性變換， 可以 把橢圓方程轉化為 輔助 圓方程 （這時我們一般為方便起見是轉化為單位圓） .對于橢圓方程221xyab??，若作變換xxayyb??????????? ，則橢圓方程變化為單位圓方程 221xy????的等命題 .從而可以把某些橢圓問題轉化到單位圓中來解決，即通過化橢圓問題為單位圓問題，構造一個單位圓，利用圓的特殊性質(zhì)解決橢圓問題，往往能使問題簡化 . 如 一些有關橢圓與直線的問題中，已知含某一待定實數(shù)的方程的直線與橢圓存在某種關系時，要求解滿足這種關系的實數(shù)的取值范圍 .這種問題我們可轉化為直線與單位圓問題，利用熟悉的單位圓的有關性質(zhì)，更便于解決 .又如 求解與橢圓相交的直線的方程時，可轉化為求與單位圓相交的此直線的方程問題， 利用輔 助圓和直線的關系 最后 在進行 逆代換，返回到原問題中 .而一般出現(xiàn)在數(shù)學高考題后三道題中求軌跡方程的題目中，利用單位圓做輔助圓也是用相同的思路方法把先把橢圓化為單位圓再進一步求解。 A1A3 A1A3＝ A1A3 A3A5，即 A1A2 A1A5＋ A4A5我們看看這道奧數(shù)題： 已知正七邊形 A1A2? A7， 對于這道競賽題，原證較繁，但通過深挖隱含條件， 我們可以知道，正七 邊形存在外接圓。 CD． ∵ CD≤ 1，∴ ax＋ by≤ 1． 上題運用代數(shù)運算轉換成圖形的思想，從而讓托勒密定理得以巧妙運用。 BD＋ BC如下面這道例題 ： 設 a， b， x， y 是實數(shù)，且 1,1 2222 ???? yxba ， 求證： ax＋ by≤ 1． 這道題如果用代數(shù)不等式的知識去解過程會很復雜，我們可以從條件1,1 2222 ???? yxba 得到靈感，構造一個直徑 AB=1 的圓，在 AB 的兩側任作 Rt△ ACB 和 Rt△ ADB，使 AC=a， BC=b， BD=x， AD=y． (圖 1) 6圖 這時我們就可以運用托勒密定理了。 很多問題換個思路，就會柳暗花明。 例 ABCD 中， AD ∥BC , , cCDABbBCaAD ???? dBDAC ?? ，求證： 22 cdab ?? .（ 1） 分析：看到有四邊形對角互補和幾個線段都相等的情形下，我們還是很容易想到輔助圓。 ，又 ∠ BHF=45176。 G 為△ ABC 內(nèi)的一點，且 GB=GC，∠ BGC＝ 3∠ A，連結 HG，求證： HG 平分∠ BHF． 解：由四邊形性質(zhì)容易知道 00 45180 ????? B H CA ，所以 ∠ BGC=3∠ A=135176。 證明： 在△ ABC 中， ACBDABCE ?? , ∴∠ BEC=∠ BDC=90176。 分析：由 AB,AC,AD 三線相等并共端點，而且該四邊形的對角互補，種種條件我們很容易的聯(lián)想到引入輔助圓來求解。 在熟練理解和應用四點共圓的證明方法和性質(zhì)前提下，我們可以歸納出一些普遍能應 用四點共圓的輔助圓的情況。 在聯(lián)想和應用到輔助圓的前提必須 要清楚這四點共不共圓，而在這里本文總結了可以證明四點共圓的基本方法： ，三點在同一圓上，若另外一點也在該圓上，則其四點必共圓；