【正文】 程 . 解 作變換108xxyy??????? ???? ，則橢圓方程變?yōu)椋?221xy????， ( 3,2)A? 變?yōu)?31( , )10 4A? ? ，橢圓中心 O 與 ,BC相應地變?yōu)?O? 與 ,BC??，此時 A? 為 BC??的中點 .根據圓的性質：線段 BC??為垂直O(jiān)A??的弦 .因為 56OAk ???? ， 所以 65BCk??? . 又所求直線經過 31( , )10 4A? ? ，據點斜式得 BC??所在的直線方程為 1 6 34 5 10yx????? ? ?????. 作逆代換得 1 6 38 4 5 10 10yx??? ? ?????. 即 24 25 122 0xy? ? ?. 這就是 A 為 BC 中點時的直線方程 . 例 3. 橢圓22194xy??上一動點 Q 的切線分別交 x 軸、 y 軸于點 R ， S ，過 R ， S 分別作垂直于 x 軸、 y 軸的直線，求此二垂線交點 P 的軌跡方程 . 解 作變換32xxyy??????????? ，則橢圓變換為單位圓 221xy????.與點 Q 對應的 Q? 落在圓上，設其坐標為 ? ?,ab ，則有 221ab??，并且知過 Q? 的圓的切線為 1ax by????.此切線與 x? 軸的交點 R? 的橫坐標是 1a ，與 y? 軸交點 S? 的縱坐標是 1b .設 ( , )P x y? ? ? ，則 1,1.x ay b??????? ???? 從而 1,1.a xb y? ?? ???? ? ??? 又 221ab??， 所以 22111xy????. 作逆變換即得點 P 的軌跡方程為 22941xy?? （四） 在物理學中的 探討 數學方法是研究物理學的一種基本方法，運用圓的知識研究物理問題也是一種常用的數學方法 之一 ，若能根據題目特點引入輔助圓，往往對解題起到化繁為簡，化難為易的作用。而以下兩種題目的特點是可以引入輔助圓的。 11 矢量圓 求最值時。 矢量即有大小，又有方向，且運算時滿足平行四邊行法則。在矢量的合成與分解中若能借助“矢量圓 ”就能有 效地化繁為簡，并能加深對矢量概念的理解。 例 1 一條寬為 L 的河流，水流速為 u，船在靜水中劃行 A D v u v1 圖 1 L θ 的速度為 v ，且 v＜ u。要使船到達對岸的位移最短，船的航向如何？ 解析 水流速 u、船在靜水中的速度 v 與船的合速度 v1 構成一矢量三角形，且船在靜水中的速度 v 大小不變，方向不定，構建如圖 1 所示的矢量圓。顯然，當 AD 與矢量圓相切時，船航行的位移最短。由圖可得船的航向與河岸的夾角 uvarccos?? 。 2 可以用 等勢圓 表示已知兩點機械能相同時。 點電荷的等勢面是以點電荷為圓心的圓面 組成，這樣的圓面稱之為“等勢圓”。借用等勢圓來解題能化難為易。 例 2 （ 2021 年江蘇等省理綜第 30題）如圖 6 所示，直角三角形的斜邊傾角為 30176。，底邊 BC長為 2L， 處在水平位置，斜邊 AC 是光滑絕緣的，在底邊中點 O處放置一正電荷 Q，一個質量為m，電量為 q 的帶負電的質點從斜面頂端 A沿斜邊滑下，滑到斜邊上的垂足 D時速度為 v。則：該質點運動到非常挨近斜邊底端 C 點時速度 vc 為多少？沒斜面向下的加速度 ac 為多少？ 解析 點電荷沿斜面 AC 下滑時，電場力在不斷變化，無法利用動能定理及能量守恒關系直接列式求解，從而使 解題陷入困境。 由幾何關系可引入圖 7 所示的等勢圓，由于 D、 C二點位于同一等勢圓上，電荷從 D 運動到 C 電場力做功為零，只有重力做功，所以電荷在 D 點的機械能與 C 點的機械能相等，即： glvvCDmgmvmv CDC 330s i n2121 2022 ????? 對電荷在 C點受力（如圖 8 所示），由牛頓第二定律得： m acLQqkmg ???? 30c os30s in 2，解得： 22321 mlkQqgaC ??? 。 A B C O 。 D 圖 6 A B C Q D 圖 7 圖 8 N 三、總結 數學中兩大研究對象“數”與“形”的矛盾統(tǒng)一是數學發(fā)展的內在因素，二者不僅滲透于數學教學中，還是進行解題時必需的也很重要的兩大工具，并要注意把兩者結合起來，達到“數形結合”解題的目的 .而實際上，解一些三角、 復數問題時大多數學生往往習慣于用代數方法求解，忽視了幾何方法，而單位圓正是解決這些問題，實現“以形解數”“以形解形”的有力工具之一 .利用單位圓來解決一些高中數學問題，不僅為解題提供了另一種思路與方法，拓寬了解題的視角，同時使“數”與“形 ” 能更好的統(tǒng)一起來，加深了對數形結合的數學思想方法的認識和理解 . 致謝： 本次畢業(yè)論文能夠順利完成，這與我的指導老師 寇艷蕾 老師的細心指導是分不開的。從課題的選擇到論文的最終完成， 寇 老師對學術嚴謹的態(tài)度和精益求精的精神，使我受益匪淺。不僅使我掌握了基本的學術論文寫作及研究方法，還 讓我學會了許多做人的道理。老師為我們花費了大量的心血，感謝他們耐心的幫助我修改論文，盡一切方便為我提供資料；感謝大學四年來所有的老師，為我們打下了數學專業(yè)知識的基礎；感謝長達半個學期中各位同學對我的無私幫助。衷心的謝謝大家！ 參考文獻： .化橢圓為圓的解題技巧 [J].數學通訊， 1998，（ 7）： 17~18. ,構造輔助圓解非圓問題 ,中學數學雜志 [J],1997,56（ 6） ,65. ，輔助圓的應用，數學學習 [J]， 2021， 37（ 24） ,3031. ,例說 輔助圓的應用，中學數學月刊 [J]， 2021， 23（ 3）， 38. ． 困境中構圓解圍 [J].數學通訊， 2021， (15) ： 17~19 ．圓在解題中的應用 [J].數學通訊， 2021， (5) ： 25~26． .從圓的定義想到輔助圓 .百度文庫 . [6]李子忠 .巧用直線與圓的位置關系解題 [J]. 高中數學教與學， 2021，（ 2） ： 46．