【導(dǎo)讀】策略遵循著其策略原則,即熟悉化原則、簡單化原則、具體化原則及和諧化原則.題方法，演繹出新題，而解題則要把問題劃歸為已有知識(shí)、方法有聯(lián)系的問題，第2章數(shù)學(xué)解題策略舉例··········································································2

　　

【正文】 43()7()25(7)6()( 33 ????????? nnnnnnf . 故當(dāng) 2512 ??n 時(shí)， 33 )6()()7( ???? nnfn ； 當(dāng) 25?n 時(shí)， 33 )5()()6( ???? nnfn . 當(dāng) 10?n 時(shí)， 3 9 134)9()( 2 ???? nnnnf ，容易驗(yàn)證 0)( ?nf . 唯有 33)11( ?f ， 35)12( ?f ， 319)25( ?f ，故所求正整數(shù) n 為 11， 12， 25 . 變量代換 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常將某一個(gè)變量 u 看做另一個(gè)變量 t 的函數(shù) )(tu ?? ，或者把問題中復(fù)雜的解析式 yx ?)(? 作為新的變量 y 處理，通過函數(shù)關(guān)系式)(tu ?? 或 yx ?)(? 進(jìn)行變量代換，得到了結(jié)構(gòu)簡單便于求解的新問題 . 利用變量代換法解題，關(guān)鍵在于根據(jù)問題結(jié)構(gòu)的特征，選取能化難為易的函數(shù) )(tu ?? 或 yx ?)(? ，就換元的形式而論是多種多樣的，常用的有比值代換，根式代換，復(fù)變量代換，初等函數(shù)的變換，常值代換，三角代換等 . 變量代換法作為重要的數(shù)學(xué)方法，在多項(xiàng)式的因式分解，代數(shù)式的化 簡計(jì)算，恒等式，條件等式或不等式的證明，方程，方程組，不等式，不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達(dá)式，定義域，值域或極值的探求過程中都有著廣泛的運(yùn)用 . 例 解方程 10106106 22 ?????? xxxx . 分析 對(duì)原方程兩邊平方去根號(hào)是一種方法，但要十分小心避免出現(xiàn)高次方程而陷入困境 .這里給出一個(gè)直觀的方法，先對(duì)原方程變形，使得 101)3(1)3( 22 ?????? xx 此時(shí)的形式結(jié)構(gòu)，會(huì)使我們聯(lián)想到距離公式，進(jìn)一步 會(huì)想到橢圓方程的推導(dǎo)過程中的步驟，于是就產(chǎn)生了下面的解法 . 解 令 12?y ，從而有 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 14 10)3()3( 2222 ?????? yxyx . 這是以 )0,3(),0,3( 21 FF ? 為焦點(diǎn)，長軸之長為 10，短軸之長為 8 的橢圓方程，既11625 22 ??yx 當(dāng) 12?y 時(shí)，就有 1545??x . 人們習(xí)慣與變量代換法，往往認(rèn)為常數(shù)是一個(gè)確定的數(shù)值不應(yīng)該對(duì)它作任何的處理，其實(shí)不然，有時(shí)候常數(shù)用字母或者函數(shù)式表述，把常量暫時(shí)看做變量，通過研究變動(dòng)的，一般的狀態(tài)來了解確定的特殊情形，這種看來使問題復(fù)雜化了的方法，卻推出巧妙的解法 . 遞推方法 遞推方法的步驟一般如下： （ 1）求初始值； （ 2）建立遞歸關(guān)系； （ 3）利用遞歸關(guān)系求解 . 在建立遞歸關(guān)系遇到困難時(shí)，可列舉單情形尋求啟示，這可以與求初始值同步進(jìn)行 . 進(jìn)行計(jì)數(shù)是遞推的一項(xiàng)重要應(yīng)用 . 例 用 1,2,3 三個(gè)數(shù)字構(gòu)造 n位數(shù)，但不允許有兩個(gè)緊挨著的 1出現(xiàn)在 n位數(shù)中（例如，當(dāng) n=5時(shí) 31213 是允許的，而 11233,31112 等都是不允許的） .問能構(gòu)造多少個(gè)這樣的 n位數(shù)？ 分析 設(shè)能構(gòu)造 na 個(gè)符合要求的 n位數(shù)，容易知道， 8,3 21 ?? aa . 當(dāng) 3?n 時(shí)，分如下兩類情形： （ 1） 如果 n位數(shù)第一個(gè)數(shù)字是 2或 3，那么這樣的 n 位數(shù)有 12?na 個(gè) . （ 2） 如果 n位數(shù)第一個(gè)數(shù)字是 1，那么第二個(gè)數(shù)字只能是 2或 3，這樣的 n位數(shù)有 22?na 個(gè) . 因此，有遞推關(guān)系 21 22 ?? ?? nnn aaa ， .3?n 這樣補(bǔ)充規(guī)定 )3,2,1(,10 ?? iaa i 滿足上式 . 由 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 15 21 22 ?? ?? nnn aaa 式的特征方程 222 ?? xx 可解得兩根為 31,31 21 ???? xx ，故 nnn aaa )31()31( 21 ???? 根據(jù)初始條件可得32 32,32 32 21 ????? aa，所以 ])31()31[(34 1 22 ?? ???? nnna 抽屜原理 (1)第一抽屜原理 .設(shè)有 m 個(gè)元素分屬于 n個(gè)集合（其兩兩的交集可以非空），且 mkn（ m,n,k 均為正整數(shù)），則必有一個(gè)集合中至少有 k+1 個(gè)元素 . (2)第二抽屜原理 .設(shè)有 m 個(gè)元素分屬于 n 個(gè)兩兩不相交的集合，且 mkn（ m,n,k 均為正整數(shù)），則必有一個(gè)集合中至少有 k1 個(gè)元素 . (3)無限的抽屜原理 .設(shè)有無窮多個(gè)元素分屬于 n 個(gè)集合，則必有一個(gè)集合中有無窮多個(gè)元素 . 例 設(shè) A為等差數(shù)列 1,4,7,10,14，?， 100 中任意選取 20 個(gè)相異整數(shù)所成之集合 .證明：在 A中必有兩個(gè)相異整數(shù)，其和為104. 證明 給定的數(shù)共有 34 個(gè)，其相鄰兩數(shù)的差均為 3，把這些數(shù)分成如下 18 個(gè)不相交的集合： {1},{52},{4,100},{7,97},? ,{49,55}, 且把他們看成是 18 個(gè)抽屜，于是任取的 20個(gè)整數(shù)中，必有兩個(gè)數(shù)屬于后面的 16 個(gè)抽屜中的一個(gè) .這兩個(gè)數(shù)的和是 104. 此例 子是根據(jù)某兩個(gè)數(shù)的和是 104 來構(gòu)造抽屜，一般地，與整數(shù)有關(guān)的存在性問題也可以根據(jù)不同的需要利用整數(shù)間的倍數(shù)關(guān)系，同余關(guān)系等來適當(dāng)分組而構(gòu)成抽屜 . 數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式和其它們之間關(guān)系的一門學(xué)科 .“數(shù)”具有概況性、抽象性的形式，而“形”則具有具體化、形象化的特征，數(shù)形結(jié)合是數(shù)數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 16 學(xué)解題策略的基本策略之一 ]4[ . 許多代數(shù)問題，直接根據(jù)代數(shù)問題求解顯得較為繁難，但如果能將欲解（證）的問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的圖形問 題，使數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)進(jìn)行解題，常能節(jié)省大量繁雜的計(jì)算，使問題簡潔直觀，別具一格 . 例 方程 )5s in(log512 xx ??的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是多少？ 解 因?yàn)閷?duì)任意的 x都有 1sin1 ??? x ，所以只需考慮那些使 1sin5112 ??? x的x,解得 32321 ??x . 先考慮 1321 ??x ，這時(shí),5453,5251,0lo g511 2 xxx ??????時(shí)，就有 0sin ?x? ，即 xy2log51?的圖像與 xy ?5sin? 的圖像在 1321 ??x 內(nèi)相交于 4 點(diǎn)，如圖所示 當(dāng) 321 ??x 時(shí)， 1log5102 ??? x. 而 )79,4,3(5 1252 ??????? kkxk 時(shí)， 05sin ?x? .在這 77 個(gè)區(qū)間內(nèi)，兩函數(shù)圖像相交于 154772 ?? 個(gè)點(diǎn)（ 1x32） . 當(dāng) x=1 時(shí)，兩圖像也交于一點(diǎn)，所以共有 4+154+1=159 個(gè)解 . 對(duì)于方程式或者不等式的討論，特別是含參數(shù)的問題，若是用常規(guī)的方法求解，固然能數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 17 培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)密的邏輯推理能力，但是用數(shù)形結(jié)合的辦法能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性性思維方式 . 第 3 章數(shù)學(xué)解題策略的一般方法 歐幾里得原本包括有公理，定義和“命題”，所謂的命題就是“求解的問題”和“求證的問題”，求解的問題就是去構(gòu)造，生成，得到，確定，?，某個(gè)對(duì)象，即問題的未知量，求證的問題就是去判定某個(gè)問題 是對(duì)的或者是錯(cuò)的，去證明它，或者否定它 ]9[ . 求解的問題 求解問題的目的就是去找某一對(duì)象，既問題的未知量，這個(gè)未知量滿足那些把未知量與已知量聯(lián)系起來的條件 . 求證的問題 求證的問題要做的就是弄清楚一個(gè)明確敘述的數(shù)學(xué)斷言 A，即證明 A，或是否定 A. 問題解決的一般程序 在按照歐幾里得原本方式去作圖時(shí)，我們不能自由區(qū)選擇工具和儀器，我們是在僅有圓規(guī)與直尺的情況下去作圖的 .于是問題的解實(shí)際上就包括 了從已知數(shù)據(jù)出發(fā)，最后達(dá)到所要求的圖形的一系列非常協(xié)調(diào)的幾何操作：我們每一步都是做直線和作圓以及決定他們的交點(diǎn) . 以解二次方程的問題為例，這個(gè)解法包含在非常復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)中，它從已知數(shù)據(jù)出發(fā) —— 代數(shù)方程的系數(shù)出發(fā)，最后達(dá)到所求的根：我們運(yùn)算的是加，減，乘，除給定的或前已求得的量，或者是這些量的開根 . 再考慮一個(gè)求證的問題，這個(gè)問題的解即我們努力的結(jié)果是一個(gè)證明，也就是一系列非常協(xié)調(diào)的邏輯運(yùn)算，這些運(yùn)算步驟從假設(shè)出發(fā)，終止于定理所要求的結(jié)論，每一步都是從適當(dāng)選擇的假設(shè)部分出發(fā)，推出新的東西 . 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 18 第 4 章 總結(jié) 通過對(duì)觀察、歸納與猜想，數(shù)學(xué)歸納法，枚舉與篩選，邏輯分類法，從整體看問題，化歸，退中求進(jìn)，類比于猜想，反證，構(gòu)造法，局部調(diào)整法，夾逼，數(shù)形結(jié)合等策略的分析與具體實(shí)例的闡述，從中找到一些解題的具體技巧與思維方法，讓思維不再堅(jiān)硬，遇到不同的數(shù)學(xué)問題能從不同的角度入手，直到找到解題的思路方法 .上述策略只能提供一些理論性質(zhì)的參考，要想解題能力得以實(shí)質(zhì)性的提供不是看看策略那么輕易的事情，還需在實(shí)戰(zhàn)中去體驗(yàn)，感受 . 通過對(duì)數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究的總結(jié)與提煉，在這個(gè)過程中學(xué)習(xí)到新的或者是回顧了一 些舊的的方法，讓我感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，提高了對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，鍛煉了自己的思維，讓自己不再面對(duì)一些問題束手無策，會(huì)主動(dòng)采取不同的策略對(duì)問題進(jìn)行分析，以找到合適的方法來解決問題，使學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，或者數(shù)學(xué)教學(xué)更生動(dòng)，精彩 . 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 19 致謝 由衷地感謝一直支持關(guān)心、照顧我的老師、家人和同學(xué)們 . 首先，要感謝我的論文指導(dǎo)老師葉志萍老師 ,本論文的 撰寫工作自始至終都是在老師的指導(dǎo)下完成的 .還沒有寫論文之前，老師就提前給了我畢業(yè)設(shè)計(jì)任務(wù)書和論文書寫的格式，這讓我少走許多彎路，初步認(rèn)識(shí)論文 .由于 我要考公務(wù)員，我時(shí)間緊迫，葉老師給我很多鼓勵(lì)與通融，我在家不知情的情況下，老師給了我及時(shí)的提醒和建議 . 在論文開題和預(yù)答辯時(shí)，給我提出了十分中肯的意見，也使我在論文寫作中受益頗深 .葉老師對(duì)我嚴(yán)格的要求，讓我在較短時(shí)間內(nèi)認(rèn)真的完成了論文設(shè)計(jì) .我愿借此機(jī)會(huì)向葉老師致以最衷心的感謝，祝葉老師家庭和睦幸福、事事順心 . 其次，要感謝我的家人給予我關(guān)懷、問候和照顧，無論什么時(shí)候他們總是在我身邊，讓我感到家的溫暖 . 最后，感謝在四年里朋友、同學(xué)們的關(guān)心幫助，讓我能快樂學(xué)習(xí)和順利的完成學(xué)業(yè) . 數(shù)學(xué)解題策略的進(jìn)一步研究 20 參考文獻(xiàn) [1] Richard Skemp,The Psychology of Iearning Mathematics,Penguin,1971. 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