畢業(yè)論文稿用輔助圓解題方法的研究(編輯修改稿)
2025-07-19 19:55 本頁面
【文章內容簡介】 似乎難以下手，可借助單位圓，使問題解決更快捷.（二）在平面幾何中的研究在應用輔助圓前，首先我們要清楚哪些條件是可以讓我們聯(lián)想到輔助圓的，比如有公共端點的等線段時、有兩角互余或互補的時、有高、有相交弦的逆定理、有割線的逆定理，兩數(shù)相乘等積等形式出現(xiàn)時都可以考慮用到輔助圓，以下就列舉了這幾種普遍的情形，而且進一步重點研究四點共圓的情況。1. 當有公共端點的等線段時可聯(lián)想到輔助圓。 例1。如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點P，且PB=4，DB=3，則ADDC等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16 到一個定點等距離的幾個點在同一個圓上，這是利用圓的定義添輔助圓的最基本方法，也是最常見的可以用到輔助圓的例子。此題看到有公共端點的p和等線段的PA和PB，可以聯(lián)想到作出以P點為圓心、PA長為半徑的圓，為相交弦定理的應用創(chuàng)設了條件。EABGDCF例2．如圖，在中,是底邊上一點,：. 證明：延長與的外接圓相交于點,連結與. 則,即. 故. 又,.作的平分線交于,則.因,.于是,.故.。，中，,.分析:由結論的符號特征聯(lián)想到圓中的割線定理，而由條件可證，因此想到以點為圓心,為半徑作圓交于,交的延長線于, ，=，所以，.點評：上述解法，通過添加輔助圓，使之形成兩條共端點的割線，這為獲得妙解找到了捷徑. ，故本文在這里重點研究了四點共圓的情形。定義：如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為 “四點共圓。 在聯(lián)想和應用到輔助圓的前提必須要清楚這四點共不共圓，而在這里本文總結了可以證明四點共圓的基本方法：，三點在同一圓上，若另外一點也在該圓上，則其四點必共圓；，則該兩個三角形各頂點四點共圓；；、割線的逆定理證明。；；。在熟練理解和應用四點共圓的證明方法和性質前提下，我們可以歸納出一些普遍能應用四點共圓的輔助圓的情況。，已知四邊形ABCD,AB平行CD，其中AB,AC,AD三線其值都為x，BC為y，問BD的長。分析：由AB,AC,AD三線相等并共端點，而且該四邊形的對角互補，種種條件我們很容易的聯(lián)想到引入輔助圓來求解。解:以A為圓心，半徑為AB做圓，則A,B,C,D四點共圓，則由圓的基本性質可知,所以，在三角形ABC中，,，求證BC=2ED. 分析：由若兩個同側有相等頂角的三角形，則該兩個三角形各頂點四點共圓 這證明四點共圓的方法可知E、B、C、D四點共圓．故我們可聯(lián)想到引入 輔助圓來解決問題。證明： 在△ABC中， ∴∠BEC=∠BDC=90176。，且E、D在BC的同側， ∴E、B、C、D四點共圓． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB． 即BC=2ED例6，如圖，在△ABC中，高BE、CF相交于H，且∠BHC=135176。，G為△ABC內的一點，且GB=GC，∠BGC＝3∠A，連結HG，求證：HG平分∠BHF．解：由四邊形性質容易知道，所以∠BGC=3∠A=135176。,而由同底同側有相等頂角的三角形，則各頂點四點共圓可知B、G、C、H四點共圓，得∠BCG=∠GHB==176。，又∠BHF=45176。，所以∠GHB=∠BHF，故HG平分∠BHF。，∥,，求證：.（1）分析：看到有四邊形對角互補和幾個線段都相等的情形下，我們還是很容易想到輔助圓。證明:如圖6，以為圓心,長為半徑作圓,交直線,延長交⊙于,連結,則，∵, ∴又，∴,∴∥,又,∴四邊形為平行四邊
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