【文章內容簡介】 y x 圖 2—5實驗發(fā)現(xiàn)，電荷q將由于的存在而受到作用力。我們把點電荷成為“源”，它所在的位置稱為“源點”，由位置矢量給出；而把受到作用力的點電荷q所在位置稱為“場點”，它的位置用位置矢量r表示。大量的實驗結果表明，點電荷和q在真空中的相互作用力服從下面的規(guī)律：的大小與乘積q成正比；與兩點之間的距離R的平方成反比；的方向沿著亮點之間的連線方向，即沿著相對位置矢量方向R = r — 的方向。表示為 = = （2—33）式中k為比例系數(shù)，在國際單位制中 （2—34）為真空或自由空間中的介電常數(shù)， 。顯然，我們也可以把q作為“源”，它所在的位置稱為“源點”， 所在的位置稱為“場點”，求q對的作用力。此時有 （2—35）式中 所以 （2—36）式（2—33）稱為庫侖定律，它是靜電學中最基本的定律。大量的實驗證明當R小到左右的時候，庫倫定律的準確度仍十分高，這就證明，在宏觀電磁學的范圍內，庫倫定律是可靠的。 庫倫定律（2—33）只是從定量關系上說明了亮點電荷之間作用力的大小和方向如何確定，并沒有涉及這一作用力的物理本質問題。對于這一點可以由不同的理解。一種是所謂超距作用，即一電荷直接把作用力施加于另一電荷上，當場源電荷發(fā)生變化時，電荷q所受之力將同時隨之變化；另一種觀點是電荷之間的相互作用是通過“場”來傳遞的。電荷q所受之力是場源電荷所建立的電場對q的作用力，它們之間的作用是不可能超距的。這兩種觀點在靜電場中對問題的描述是等價的，因為既然是靜電場，當然就排除了隨時間變化的可能。但是在時變場中，這兩種觀點就給出不同的回答。實踐證明，后一觀點更符合實際。因此，應當認為q之所以受到作用力是因為在電荷周圍存在著一種的特殊的物質—電場，q所受之力就是電場對它的作用力。顯然，當q位于場中不同位置時所受到的力的大小和方向是不同的。為定量的描述周圍電場的物理特性，我們定義電場強度E為 （2—37）它的物理意義是單位實驗正電荷在電場中所受之力。電荷q在場中某點所受的作用力 如果在空間中場源電荷不是一個而是多個，則根據(jù)疊加原理，電荷q在場中某點所受的作用力就應該是多個場源電荷單獨作用力的矢量和，即 （2—38）相應地，此時點電荷系所產生的電場強度E為 （2—39）實際上，理想的點電荷或點電荷系是不存在的。電荷或是分布在一個體積內，或是分布在一個面積上。當然，從物質的結構理論上來看，電荷的分布是不連續(xù)的，但是即使是很大的原子核，直徑也只有的數(shù)量級，所以在研究宏觀電磁規(guī)律時，可以將電荷看成是連續(xù)分布的。當電荷連續(xù)分布在一體積內時，可以定義一體電荷密度 （2—40）的單位是。將視為一點電荷，根據(jù)疊加原理，可以寫出連續(xù)分布的體電荷所產生的電場強度E為 （2—41）如果電荷連續(xù)分布在一厚度可忽略的曲面上，則可引入一面電荷密度 （2—42）的單位是。將視為一點電荷，根據(jù)疊加原理可以寫出連續(xù)分布的面電荷產生的電場強度E為 （2—43）如果電荷連續(xù)分布在半徑可忽略的曲面上，則可以引入一線電荷密度 （2—44）的單位是。將視為一點電荷，可寫出連續(xù)分布的線電荷所產生的電場強度E為 （2—45） 高斯定律的積分和微分形式高斯定律等積分形式表示通過一閉合曲面的電場通量和被次曲面所包圍的電荷量之間的關系，它可由庫倫定律直接導出，實質上是庫倫定律的另一種表達形式。按定義，穿過一閉合曲面的電場通量為，如電場是由一點電荷q產生，則由式（2—41），有 穿過閉曲面E的通量為 （2—46）式中的為面元投影到以R為半徑的球面上的面積，而則為面元dS對q（見下圖）所張的立體角，圖2—6 面元dS對q所張的立體角所以 = （2—47）式（2—47）即為高斯定律的積分形式。它說明，穿過任意閉曲面S的電場通量只與被此閉曲面所包圍的電荷有關，與曲面外的電荷無關。但這絕對不能誤解成曲面S上任意一點的電場強度E只與曲面S內的電荷有關，而與曲面外的電荷無關，E與曲面內外的所有電荷的大小及位置都有關。如曲面S內有一個由N個點電荷組成的點電荷系，則式（2—46）可以寫成 如果曲面內由連續(xù)分布的體電荷，且體電荷密度為，曲面S所包圍的體積為V，則式（2—46）可寫為 （2—48）在電荷分布完全對稱的情況下，積分形式的高斯定律提供了一個計算電場的簡便方法。這里的關鍵問題是要能將待求量E從式（2—46）左邊的積分號中提出來，這就要求積分曲面S（常稱為高斯面）的選擇應符合以下條件：在高斯面上電場強度E的振幅應為常數(shù)（包括為零），且其方向應垂直或平行于高斯面。要做到這一點就要求我們在應用高斯定律解題的時候應首先判斷電場分布是否具有對稱性。因為由這一要求，所以應用積分形式的高斯定律來求解靜電場問題的范圍是極為有限的。若對式（2—47）左端應用高斯散度定理，則有 上式對任意閉曲面包圍的任意體積均成立，因此，對場中的任意一點都有 （2—49）式（2—48）為真空或自由空間中的高斯定律的微分形式，是靜電場微分形式的基本方程之一。由式（2—48）可見，高斯定律的微分形式表示空間某一點的E的散度只與該點的體電荷密度有關，而與其他地方的電荷分布無關。但是，這并不意味這該點的E與其他地方電荷分布無關。事實上，空間某點的 E與空間任意位置處的電荷大小和分布都有關。 靜電場的邊界條件在研究經(jīng)典場的具體問題時，經(jīng)常會遇到不同媒質的分界面，在兩種不同媒質的分界面上，由于兩側媒質的突變，電場強度E和電位移矢量D將由于分界面上面電荷的存在而發(fā)生躍變。下邊要討論的就是電場量E和D在通過不同媒質分界面時的躍變規(guī)律，即分界面上的邊界條件。由于分界面兩側媒質介電常數(shù)有不連續(xù)的突變，分界面上存在有面電荷，靜電場方程的微分方程形式不成立，所以只能從積分形式的靜電場方程出發(fā)來討論場的邊界條件。應用積分形式的高斯定律，在分界面上做一扁平圓柱體（如下圖） 圖2—7 高斯定律在媒質界面上的應用其高度，即圓柱的上下底面與分界面平行，并且無限地靠近它。底面積非常小，可以認為上的D和是均勻的。為介質表面自由面電荷密度，為分界面的法向單位矢量，規(guī)定的正方向由介質I指向介質Ⅱ，分別是圓柱體上下底面的外法線矢量。由圖可知。根據(jù)介質中的高斯定律，穿過此圓柱面的通量（忽略穿過圓柱側面的通量）為 = =所以有 （2—50）或 （2—51）式（2—50）和（2—51）稱為電場法向量分量的邊界條件。如果分界面兩側均為電解質，則由于介質表面不存在自由面電荷，所以以上邊界條件變?yōu)? （2—52）或 （2—53）式（2—53）表明，在電解質的分界面上，電位移矢量D的法向分量連續(xù)。求解電場的切向分量的邊界條件，可利用靜電場的環(huán)流定理。在分界面上做一小的矩形回路（如下圖） 圖2—8環(huán)流定理在媒質界面上的應用回路的寬邊為，它平行于分界面，回路的高度為無限小量，即，且回路寬度非常小。可認為E在上是均勻的。為分界面上的法向單位矢量，正方向由Ⅰ指向Ⅱ。，均為分界面上的切向單位矢量，垂直于以矩形回路為周界的平面，平行與此平面。，滿足右手關系，即，由環(huán)路定理得所以 （2—54）或 （2—55）式（2—54）或式（2—55）為電場切向分量的邊界條件，表明電場強度E的切向分量在分界面處是連續(xù)的。如果分界面一側是電解質，另一側為導體，即上圖（2—8）其中，Ⅱ為介質，Ⅰ為導體時，分界面上D和E的邊界條件又如何呢？根據(jù)靜電場中導體的性質，導體內部電場為零，即 ，并且電荷以面電荷形式分布在導體表面，所以，邊界條件式（2—51）和式（2—54）分別變?yōu)? （2—56） （2—57）上兩式表明，導體內部電場為零，導體表面電場強度的切向分量為零，法向分量不為零，即電力線垂直于且終止于導體表面。由于兩介質分解面處E的切向分量連續(xù)，法向分量不連續(xù)，所以電力線在通過分界面時將發(fā)生彎曲，即在分界面兩側電力線與介質表面發(fā)現(xiàn)方向的夾角和不一樣，見下圖 圖2—9 E在兩介質分面處的突變設介質Ⅰ和Ⅱ均為線性，各向同性，均勻電介質，介電常數(shù)分別為和，由邊界條件，即和，從上圖中幾何關系可以得到可見，和之間的關系取決于分界面兩側的介電常數(shù)和。 標量電位的邊界條件下面將推導出標量電位在分解面上的邊界條件，這在解靜電場問題中是非常有用的。我們從標量電位的物理意義出發(fā)來進行推導。見下圖，介質Ⅰ和Ⅱ的分界面法線單位矢量為，1，2為位于分界面兩側的無限靠近的兩個點，兩點之間連線為，且平行于，從電位的物理意義出發(fā)，可得出1，2兩點之間的電位差為由于靜電場的保守性，上式的積分值與積分路徑無關，所以取積分路徑為沿方向的路徑，于是由上式可得=式中為分界面兩側的平均值。由于，而電場強度不可能為無窮大，所以由上式可知表明分界面處標量電位式連續(xù)的，即 （2—58）式中S為介質Ⅰ和Ⅱ的分界面。由于在兩介質分界面處不存在自由面電荷，所以可以得出分界面S處電位滿足的另一個邊界條件為 （2—59）另外，根據(jù)式（2—56）和式（2—57）我們很容易得到導體表面電位的邊界條件為 = 常數(shù) （2—60） （2—61）其實不同介