微分方程習題(附答案)(編輯修改稿)
2024-07-21 22:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 其中，由得，故特解為（2）.解：原方程可化為令則，故原方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分，即得即得，即，又得特解為5． 用適當?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程（1）；解：令則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分得故方程通解為（2）解：則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分，即得，得，即，其中故方程通解為（，其中）（3）解：，則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分得故方程通解為（4）解：則，原方程變?yōu)椋蛛x變量并積分，得，即其中（分析原方程可變形為，故令）（，其中）6． 求一曲線，使其任意一點的切線與過切點平行于軸的直線和軸所圍城三角形面積等于常數(shù).BAP(x,y)解：曲線點P（x, y）的切線方程為： 該曲線與x軸交點記為B，則B坐標為，過點P（x, y）平行于軸的直線和軸交點記為A，則A坐標為故三角形面積為即有微分方程當時用分離變量法解得當時用分離變量法解得7． 設(shè)質(zhì)量為的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時速度為0，求物體速度與時間的函數(shù)關(guān)系.8． 有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，，試求注射染色后分鐘時正常胰臟中染色量隨時間變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常？解: t以分為單位,因此,每分鐘正常胰臟吸收40%染色可得通解為: 加以初始 p(0)=,便可求出 p(t)=(30)=然后與實測比較知,此人胰臟不正常.，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內(nèi)尚有多少鹽？解：設(shè)時刻容器內(nèi)含鹽，由于時刻容器內(nèi)液體為：100+，因此時刻容器內(nèi)濃度為：.于是在時刻鹽的流失速度為：，從而有滿足的方程為：初始化條件為: 167。3 一階線性方程與貝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）；解：法一：常系數(shù)變易法：解齊次方程，分離變量得，積分得，即，其中（注：在常系數(shù)變易法時求解齊次方程通解時寫成顯式解；其中。設(shè)非齊次方程有解，代入非齊次方程有，即，故，非齊次微分方程的通解法二（公式法）（2）；故（（3）；解：方程變形為故即，其中（4）；解：方程變形為，故即（分部積分法：）（5）解：兩邊同乘得，即，故令，則原方程變?yōu)楣?，即得即原方程通解為（用分部積分法積分）2．求下列微分方程的特解（1）；解： (2)解：3．一 曲線過原點，在處切線斜率為，求該曲線方程.解：由題意可得：于是：由得，故曲線方程為4．設(shè)可導函數(shù)滿足方程，求.解：問題為初值問題該微分方程為線性微分方程故又得，故5．設(shè)有一個由電阻，電感，電流電壓串聯(lián)組成之電路，合上開關(guān)，求電路中電流和時間之關(guān)系.解：由及可得：問題為初值問題該微分方程為線性微分方程故又得，故（分部積分法積）6．求下列貝努利方程的通解 (1) 解：原方程變形為，令，則，故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為（2）原方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故貝努利方程的通解為（3）解：方程變形為，令，則故原方程變?yōu)榫€性微分方程故
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