微分方程的基本概念(編輯修改稿)
2024-09-18 22:49 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，所以（6）式叫做微分方程（5）的隱式通解。 例1 求微分方程 （7）的通解。 解 方程（7）是可分離變量的，分離變量后得兩端積分 得 從而 。又因為仍是任意常數(shù)，把它記作C便得到方程（7）的通解。 例2 放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其它元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變。由原子物理學(xué)知道，鈾的誤變速度與當(dāng)時未衰變的原子的含量M成正比。已知時鈾的含量為，求在衰變過程中含量隨時間變化的規(guī)律。 解 鈾的衰變速度就是對時間的導(dǎo)數(shù)。由于鈾的衰變速度與其含量成正比，得到微分方程如下 （8）其中是常數(shù)，叫做衰變系數(shù)。前的負(fù)號是指由于當(dāng)增加時M單調(diào)減少，即的緣故。由題易知，初始條件為 方程（8）是可以分離變量的，分離后得兩端積分 以表示任意常數(shù)，因為，得即 是方程（8）的通解。以初始條件代入上式，解得故得 由此可見，鈾的含量隨時間的增加而按指數(shù)規(guī)律衰落減。小結(jié)：本節(jié)講述了一階微分方程中可分離變量的微分方程，及其解法。作業(yè)：《高數(shù)》第333頁 4題第三節(jié) 齊次方程教學(xué)目的：熟練掌握齊次微分方程的解法教學(xué)重點：齊次方程的解法教學(xué)難點：齊次方程的解法教學(xué)內(nèi)容： 齊次方程的形式如果一階微分方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即，則稱這方程為齊次方程。例如是齊次方程，因為其可化為 齊次方程 （1）的解法。 作代換 ，則，于是從而 ，分離變量得 兩端積分得 求出積分后，再用代替，便得所給齊次方程的通解。如上例分離變量，得 積分后，將=代回即得所求通解。 例1 解方程。 解 原式可化為，令=，則 ，于是分離變量 兩端積分得 即 。故方程通解為 。 練習(xí)1 通解為 2 通解為 小結(jié)：本節(jié)講述了齊次方程，及其解法作業(yè)：《高數(shù)》第333頁 3題第四節(jié) 一階線性微分方程教學(xué)目的：掌握一階線性微分方程的形式，熟練掌握其解法；掌握利用變量代換解微分方程的方法；了解貝努利方程的形式及解法教學(xué)重點：一階線性微分方程的形式,及解的形式，利用變量代換解微分方程教學(xué)難點：一階線性微分方程通解的形式，利用變量代換解微分方程教學(xué)內(nèi)容：一、 線性方程定義 方程 （1）稱為一階線性微分方程。特點 關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的。若，稱（1）為齊次的； 若，稱（1）為非齊次的。如：（1） （2）解法當(dāng)時，方程（1）為可分離變量的微分方程。當(dāng)時，為求其解首先把換為0，即 （2）稱為對應(yīng)于（1）的齊次微分方程，求得其解為求（1）的解，利用常數(shù)變易法，用代替，即于是，代入（1），得故
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