微分方程的基本概念(文件)
【正文】 如：是的兩個(gè)解，又常數(shù)。下面討論非齊次微分方程（1）（2）為（1）所對(duì)應(yīng)的齊次方程。 稱此性質(zhì)為解的疊加原理。教學(xué)重點(diǎn)：特征方程，特征根，及對(duì)應(yīng)于特征根的三種情況，通解的三種不同形式。設(shè)為（4）的解。利用歐拉公式可得實(shí)解，故通解為。 例 求 。第九節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程教學(xué)目的：掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程當(dāng)為與時(shí)，特解的形式及解法。一、=利用待定系數(shù)法求通解。 ，（特解） 。例 求下列微分方程的特解. 解 過程略。小結(jié)：本節(jié)講述了二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，當(dāng)=與=時(shí)，特解的不同形式及求解方法。二、= 利用上面結(jié)果及歐拉公式、性質(zhì)推得。按是特征方程的單根、重根、不是根可取為0。教學(xué)難點(diǎn)：當(dāng)為與時(shí)特解的不同形式。小結(jié)：本節(jié)講述了二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程，特征根，及當(dāng)特征根形式不同時(shí)，通解具有不同形式。通解為 （1）， （2）。（2）當(dāng)即時(shí)，（3）只有一個(gè)解。教學(xué)內(nèi)容：若 （2）中為常數(shù)，稱之為二階常系數(shù)齊次微分方程，而(2)稱之為二階變系數(shù)齊次微分方程。作業(yè)：《高數(shù)》第375頁(yè)，第4題。如：， 為的通解，又是特解，則的通解。又的解亦線性無(wú)關(guān)。性質(zhì)2 若是（2）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，那么（，為任意常數(shù)）是方程（2）的特解。線性無(wú)關(guān) 不是線性相關(guān)。 為求解方程（1）需討論其解的性質(zhì)解的性質(zhì) （2）性質(zhì)1 若是（2）的解，則也是（2）的解，其中，為任意常數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：齊次線性方程的通解，非齊線性方程的特解及通解的形式。 例2 解得通解為 三、 令 則 ，于是可將其化為一階微分方程。 其特點(diǎn)：只含有和，不含及的階導(dǎo)數(shù)。 小結(jié)：本節(jié)講述了全微分方程的解法，用觀察法長(zhǎng)積分因子，使之滿足全微分方程的充要條件。此時(shí)為其積分因子。 例1 求解 解 令 ，則 此方程為全微分方程。作業(yè)：《高數(shù)》第348頁(yè) 9題第五節(jié) 全微分方程教學(xué)目的：掌握全微分方程成立的充要條件，掌握全微分方程的解法，會(huì)用觀察法找積分因子教學(xué)重點(diǎn)：全微分方程的解法，觀察法找積分因子教學(xué)難點(diǎn)：全微分方程的解法，觀察法找積分因子教學(xué)內(nèi)容：定義 若 （1）恰為某一個(gè)函數(shù)的全微分方程，即存在某個(gè)，使有，則稱（1）為全微分方程。解法 兩邊同除令，則有 而 為一階線性微分方程，故。再代入（4）式即得所求方程通解。 （3）例 求方程 （4）的通解. 解 這是一個(gè)非齊次線性方程。特點(diǎn) 關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是一次的。 例1 解方程。作業(yè)：《高數(shù)》第333頁(yè) 4題第三節(jié) 齊次方程教學(xué)目的：熟練掌握齊次微分方程的解法教學(xué)重點(diǎn)：齊次方程的解法教學(xué)難點(diǎn)：齊次方程的解法教學(xué)內(nèi)容： 齊次方程的形式如果一階微分方程中的函數(shù)可寫成的函數(shù)，即，則稱這方程為齊次方程。前的負(fù)號(hào)是指由于當(dāng)增加時(shí)M單調(diào)減少，即的緣故。由原子物理學(xué)知道，鈾的誤變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比。 例1 求微分方程 （7）的通解。反之，如果是由關(guān)系到式（6）所確定的隱函數(shù) ，那么在的條件下，也是方程（5）的解。為我解決這個(gè)
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