質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程(編輯修改稿)
2025-07-13 14:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 動(dòng)微分方程 167。 93 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題 第一類基本問題： 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，求此質(zhì)點(diǎn)所受的力。 如果知道質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ， 通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算 ， 求出該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度 ， 代入質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ， 得一代數(shù)方程組 ， 即可求解 。 第二類基本問題：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求解此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。 求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的第二類基本問題，如求質(zhì)點(diǎn)的速度、運(yùn)動(dòng)方程等，歸結(jié)為解微分方程或求積分問題，還需確定相應(yīng)的積分常數(shù)。因此，需按作用力的函數(shù)規(guī)律進(jìn)行積分，并根據(jù)具體問題的運(yùn)動(dòng)條件確定積分常數(shù)。在實(shí)際問題中，只有在一些比較特殊的情況下，能解出微分方程，獲得解析解；更多情況下，往往只能通過逐步逼近或數(shù)值計(jì)算的方法，獲得近似解或數(shù)值解。 注意：微分方程等號(hào)左邊總設(shè)為正，等號(hào)右邊是力在坐標(biāo)軸上的投影，應(yīng)注意投影的正負(fù)號(hào)。 求質(zhì)點(diǎn)的加速度 y x o y x 解： 例題 1 質(zhì)點(diǎn) M的質(zhì)量為 m，運(yùn)動(dòng)方程是 x = bcosωt, y = dsinωt，其中 b, d, ω為常量。求作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力。 i j ,c o s 2222xtbdt xda x ??? ?????ytddt yda y 2222s in ??? ?????求質(zhì)點(diǎn)所受的力 由 ?? ??yixi FdtydmFdtxdm2222,得 ymmaFxmmaF yyxx 22 , ?? ??????M 討論： rjijiF22 )( ?? myxmFF yx???????⑴ 力的方向永遠(yuǎn)指向橢圓中心，為 有心力 ； ⑵ 力的大小與此質(zhì)點(diǎn)至橢圓中心的距離成正比。 易知： ymmaFxmmaF yyxx 22 , ?? ??????求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程： 12222 ?? dybx 從運(yùn)動(dòng)方程中消去 t， 得 y x o r i j y x yFM xF質(zhì)點(diǎn)所受的力可表示為 例 2 在均勻的靜止液體中，質(zhì)量為 m 的物體 M 從液面處無初速下沉。設(shè)液體阻力 FR = ，其中 為阻尼系數(shù)。試分析該物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律及其特征。 v?? ?解：為建立質(zhì)點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)微分方程 ,將參考坐標(biāo)系的原點(diǎn)固結(jié)在該點(diǎn)的起始位置上， x 軸鉛直向下。該質(zhì)點(diǎn)的受力圖如圖，則質(zhì)點(diǎn) M的位移、速度、加速度均設(shè)為沿 x 軸的正方向。則運(yùn)動(dòng)微分方程為 vmgt xm ???22ddFR FR mb /??令 這就是 該物體下沉的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 vmgt xm ???22ddbvgtv ??dd?
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