微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)(編輯修改稿)
2025-05-13 23:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 39。x39。,39。FontSize39。,14)。ylabel(39。y39。,39。FontSize39。,14)。zlabel(39。y39。,39。FontSize39。,14)。view(40,60)。%鎖定同樣的視圖，便于比較 常微分方程數(shù)值解法應(yīng)用舉例 題目： MIT的氣象學(xué)家洛侖茲（）在1963年研究大氣對(duì)天氣的影響時(shí)，提出了Lorenz方程： 其中，此方程初值問(wèn)題的解存在且唯一。當(dāng)時(shí)，Lorenz方城有兩個(gè)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，和，一個(gè)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，和都變成不穩(wěn)定的。此時(shí)，存在混沌和一個(gè)奇怪吸引子。解：由于時(shí)，和都變成不穩(wěn)定的。此時(shí)，存在混沌和一個(gè)奇怪吸引子。所以我們?nèi)?lái)專(zhuān)門(mén)研究該現(xiàn)象。利用Matlab程序計(jì)算：命令窗口輸入： RungeKutta4階法： exe11Adams4階外插法： exe12結(jié)果輸出： 由于迭代次數(shù)的關(guān)系，結(jié)果數(shù)據(jù)量很大，故這里以圖片來(lái)展示結(jié)果。RungeKutta4階法結(jié)果：Adams4階外插法結(jié)果： 三、 常系數(shù)擴(kuò)散方程的經(jīng)典差分格式 有限差分法的基本思路 用有限差分法解常系數(shù)擴(kuò)散方程有加權(quán)隱式差分格式其中，當(dāng)時(shí)為CrankNicolson格式，當(dāng)時(shí)為向后差分格式，當(dāng)時(shí)為向前差分格式。加權(quán)隱式格式穩(wěn)定的條件是加權(quán)隱式格式是兩層隱式格式，用第n層計(jì)算第n+1層節(jié)點(diǎn)值的時(shí)候，要解線性方程組。 算法步驟 實(shí)驗(yàn)步驟如下：(1)輸入，確定加權(quán)隱式格式的參數(shù)；(2)定義向量v，把初邊值條件離散，得到的值存入向量v；(3)利用差分格式由第n層計(jì)算第n+1層，建立相應(yīng)線性方程組，求解并且存入向量v；(4)計(jì)算到，輸出。 用matlab編寫(xiě)源程序 Matlab程序源代碼：function [u,tt,uu]=parabola(k,q,l) %q=theta l=taoh=。 %h :空間步長(zhǎng)t=l*h*h。 x=::。 %x坐標(biāo)取值for n=1:9 u(n)=sin(x(n)*pi)。 %初始值endu=u39。 v=zeros(9,1)。 %初始化v矩陣for n=1:k A=zeros(9,9)。 A(1,1)=1+2*q*t/h/h。 for i=2:9 A(i,i)=1+2*q*t/h/h。 A(i1,i)=q*t/h/h。 A(i,i1)=q*t/h/h。 end B=zeros(9,1)。 B(1,1)=(1q)*t/h/h*(u(2)2*u(1))+u(1)。 B(9,1)=(1q)*t/h/h*(u(8)2*u(9))+u(9)。 for i=2:8 B(i,1)=(1q)*t/h/h*(u(i1)2*u(i)+u(i+1))+u(i)。 %加權(quán)隱式格式 end v=inv(A)*B。 %求解矩陣v w=u。 u=v。 v=w。 n=n+1。 endtt=k*t。 uu=zeros(9,1)。 %初始化uu矩陣for i=1:9 uu(i,1)=sin(pi*x(i))*exp(pi*pi*tt)。 %精確值end[u,tt,uu]=parabola(100,)。fprintf(39。τ=，θ= 時(shí) ：%f\n39。,uu(4))[u,tt,uu]=parabola(100,)。fprintf(39。τ=，θ= 時(shí) ：%f\n39。,u(4))fprintf(39。誤差為：%f\n\n\n39。,abs(uu(4)
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