【文章內容簡介】 3 題 求初值問題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計；解： 因為 M=max{}=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為== 令 =0 。=y+dx=x+。 =y+dx=x+ 又 =L則：誤差估計為：=4 題 討論方程：在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解；解：因為=在y上存在且連續(xù)； 而在上連續(xù)由 有：=（x+c）又 因為y(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程的解；故 方程的解為：=或 y=0。6題 證明格朗瓦耳不等式： 設K為非負整數，f(t)和g(t)為區(qū)間上的連續(xù)非負函數，且滿足不等式： f(t)k+, 則有：f(t)kexp(),證明：令R（t）=,則(T)=f(t)g(t) (T)R(t)g(t)= f(t)g(t) R(t)g(t) kg(t)(T) R(t)g(t)kg(t)。 兩邊同乘以exp() 則有： (T) exp()R(t)g(t) exp() kg(t) exp()兩邊從到t積分：R(t) exp()exp()ds即 R(t) exp()ds又 f(t) 1k+R(t) k+kexp()ds k(11+ exp()=k exp()即 f(t) k。7題 假設函數f(x,y)于（x,y）的領域內是y的 不增函數，試證方程= f(x,y)滿足條件y(x)= y的解于x x一側最多只有一個解；證明：假設滿足條件y(x)= y的解于x x一側有兩個(x),(x) 則滿足： (x)= y+dx (x)= y+dx 不妨假設(x)(x)，則(x) (x)0而(x) (x)= dxdx =dx又因為 f(x,y)在（x,y）的領域內是y的 增函數，則： f(x, (x))f(x, (x))0則(x) (x)= dx0則(x) (x)0所以 (x) (x)=0， 即 (x)= (x)則原命題方程滿足條件y(x)= y的解于x x一側最多只有一個解；1．Proof若（1）成立則及，使當 時，初值問題 的解滿足對一切有, 由解關于初值的對稱性，（3，1）的兩個解及都過點，由解的存在唯一性，當時故若（2）成立，取定，則，使當 時,對一切有因初值問題的解為，由解對初值的連續(xù)依賴性，對以上，使當時對一切有而當時，因故這樣證明了對一切有2．Proof：因及都在G內連續(xù)，從而在G內關于滿足局部Lipschitz條件，因此解在它的存在范圍內關于是連續(xù)的。設由初值和足夠?。┧_定的方程解分別為，即，于是 因及、連續(xù)，因此這里具有性質：當時，；且當時，因此對有即是初值問題的解，在這里看成參數0顯然，當時，上述初值問題仍然有解。根據解對初值和參數的連續(xù)性定理，知是的連續(xù)函數，從而存在而是初值問題的解，不難求解 它顯然是的連續(xù)函數。3．解：這里滿足解對初值的可微性定理條件故： 滿足的解為 故 4．解：這是在（1，0）某領域內滿足解對初值可微性定理條件，由公式易見是原方程滿足初始條件的解 故習題 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的話）：解：令，則，兩邊對x求導，得 從得 時，；從得 ， 為參數，為任意常數.經檢驗得 ，是方程奇解.解：令，則，兩邊對x求導，得 ，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.解：這是克萊洛方程，因此它的通解為 ，從 中消去c,得到奇解 .解：令，則，兩邊對x求導，得 ，解之得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.解：原方程可化為，這是克萊羅方程，因此其通解為，從 中消去c，得奇解.解：令，則，兩邊對x求導，得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.解：可知此方程沒有奇解.解：令，則，兩邊對x求導，得 解之得 ，所以 ，且 也是方程的解，但不是方程的奇解.解：這是克萊羅方程，因此方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.（二）求下列曲線族的包絡.解:對c求導，得 x+2c=0, , 代入原方程得， 經檢驗得，是原方程的包絡.解：對c求導，得 ，代入原方程得 ，即，經檢驗得是原方程的包絡.解：對c求導，得 –2(xc)2(yc)=0, ,代入原方程得.經檢驗,得 是原方程的包絡.解：對c求導，得 2(xc)=4, c=x+2,代入原方程得 ，,經檢驗，得是原方程的包絡.(三) 求一曲線，使它上面的每一點的切線截割坐標軸使兩截距之和等于常數c.解：設所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標系，則曲線上任一點（x,y(x)）的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，按條件有 ，化簡得，這是克萊洛方程，它的通解為一族直線，它的包絡是，消去c后得我們所求的曲線.(四) 試證：就克萊洛方程來說，p判別曲線和方程通解的c判別曲線同樣是方程通解的包絡，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p判別曲線就是用p消去法，從 中消去p后而得的曲線； c判別曲線就是用c消去法，從通解及它對求導的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結果是一致的，是一單因式，因此p判別曲線是通解的包絡，也是方程的通解. 1. 設和是區(qū)間上的連續(xù)函數，證明：如果在區(qū)間上有常數或常數，則和在區(qū)間上線形無關。證明：假設在，在區(qū)間上線形相關則存在不全為零的常數，使得那么不妨設不為零，則有顯然為常數，與題矛盾，即假設不成立，在區(qū)間上線形無關2. 證明非齊線形方程的疊加原理：設，分別是非齊線形方程 （1） （2） 的解，則+是方程 +的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。3. 試驗證0的基本解組為，并求方程的通解。 證明：由題將代入方程0得：=0,即是該方程的解，同理求得也是該方程的解又顯然線形無關，故是0的基本解組。 由題可設所求通解為：，則有：解之得：故所求通解為：4. 試驗證0有基本解組t，并求方程t1的通解。解：由題將t代入方程0得： ，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無關， 故t，是方程0的基本解組由題可設所求通解為，則有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標準基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。 解：時間方程0的基本解組，故存在常數使得： 于是：令t=0,則有方程適合初始條件，于是有：解得： 故又該方程適合初始條件，于是：解得： 故顯然，線形無關，所以此方程適合初始條件的基本解組為：， 而此方程同時滿足初始條件，于是：解得：故滿足要求的解。6. 設是齊線形方程（）的任意n個解。它們所構成的伏朗斯行列式記為，試證明滿足一階線形方程，因而有： 解：又滿足即則：即 則有：即： 7. 假設是二階齊線形方程（*）的解，這里 在區(qū)間上連續(xù)，試證：（1）是方程的解的充要條件為：；（2）方程的通解可以表示為：,其中為常數,　證：（１）（２）因為為方程的解，則由劉維爾公式 兩邊都乘以則有：，于是： 從而方程的通解可表示為：,其中為常數,。8. 試證n階非齊線形微分方程（）存在且最多存在n+1個線形無關解。 證：設為（）對應的齊線形方程的一個基本解組，是（）的一個解，則： （1），均為（）的解。同時（1）是線形無關的。 事實上：假設存在常數，使得： （*）的左端為非齊線形方程的解，而右端為齊線形方程的解，矛盾！