常微分方程--第四章高階微分方程(41節(jié)(2)(編輯修改稿)
2024-11-15 17:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0nnnnn n nnnc x t c x t c x tc x t c x t c x tc x t c x t c x t? ? ?? ? ?? ? ? ????? ?? ??? ? ? ????? ? ? ? ??可以看成關(guān)于 的齊次線性代數(shù)方程組，它的 系數(shù)就是朗斯基行列式 12, , , nc c c()Wt 要使此方程組存在非零解，則它的系數(shù)行列式必須 為零，即朗斯基行列式在區(qū)間 [a,b]上為零。 ?注意： 上述定理的逆命題不成立。例如： ?設(shè) ?在區(qū)間 上滿足 ，但它們在此區(qū)間上卻是線性無關(guān)的。因?yàn)?，假設(shè)存在恒等式 ，則 ?當(dāng) 時，得 ；當(dāng) 時，又可推得 ，所以 線性無關(guān)。 21, 1 0 ,()0 , 0 1 ,ttxtt? ? ? ?? ???? 2 20 , 1 0 ,(), 0 1 ,txttt? ? ??? ????11t? ? ? 12[ ( ) , ( ) ] 0W x t x t ?1 1 2 2( ) ( ) 0 , 1 1c x t c x t t? ? ? ? ?10t? ? ? 1 0c ? 01t??2 0c ? 12( ) , ( )x t x t問題： 如何應(yīng)用朗斯基行列式判定函數(shù)相關(guān)性？ ? 如果 是齊次線性微分方程（ ）的解，則有下述定理 12( ) , ( ) , , ( )nx t x t x t?定理 4： 如果 是齊次線性微分方程（ ）的 n個解，則它們在區(qū)間 上線性無關(guān)的充分必要條件是朗斯基行列式 12( ) , ( ) , , ( )nx t x t x ta t b??12[ ( ) , ( ) , , ( ) ]nW x t x t x t在這個區(qū)間的任何點(diǎn)上都不等于零。 ()的 n個解構(gòu)成的 朗斯基行列式或者恒為零，或者恒不為零； 2. 在是解的情況下，朗斯基行列式恒為零與 這 n個解線性相關(guān)等價(jià)； 3. 在是解的情況下，朗斯基行列式恒不為零 與這 n個解線性無關(guān)等價(jià)； ，上述結(jié)論不一定成立。 說明： 定理 5 n階齊次線性微分方程 ()一定存在 n 個線性無關(guān)解。 定理 6
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