微分方程ppt課件(2)(編輯修改稿)
2025-02-10 16:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 d y dxyx???解： 變形方程得： 分離變量得： 兩邊積分 2111y d y dxyx?????得 211 l n 1 l n 1 l n ,2 y x C? ? ? ?221 ( 1 )y C x? ? ?微分方程的通解為： 小結(jié)： ( , )dy F x ydx ?設(shè) 有 微 分 方 程( ) ( )g y dy f x dx?( ) ( )g y dy f x dx???( ) ( )G y F x C??分離變量法 分離變量 兩邊積分 通解 注意： ()dy fxdx ? ()y f x d x C???()dy gydx ? 1() d y x Cgy ???特殊情形的求解 例 求解初值問題： 0( 20)100tdTkTdtT ?? ? ? ???? ??120 d T k d tT ???120 d T k d tT ?????1l n( 20)T k t C? ? ? ?解： 分離變量得： 兩邊積分 20 ktT C e ???0 10 0 80 ,tTC? ??由 得 ： 8 0 2 0ktTe ???復(fù)習(xí)： ( , )dy F x ydx ?設(shè) 有 微 分 方 程( ) ( )g y dy f x dx?( ) ( )g y dy f x dx???( ) ( )G y F x C??分離變量法 分離變量 兩邊積分 通解 特殊情形： ()dy fxdx ? ()y f x d x C???()dy gydx ? 1() d y x Cgy ???39。 l n 0x y y y??解 微 分 方 程 ：解 11ln d y d xy y x?l n l n l n l n ,y x C??分離變量 兩邊積分 微分方程的通解為： .Cxye?ln ,y C x?二、齊次方程 22 ,d y yd x x y x? ?2(),( ) 1ydy xydxx??22( ) ( 2 ) 0 ,x y y d x x x y d y? ? ? ? ()d y yfd x x?形 如 的微分方程稱為 齊次方程 . 2( ) ( ),1 2( )yydy xxydxx???引例：求解微分方程 22 ,d y yd x x y x? ?2(),( ) 1ydy xydxx??,1d u ux d x u? ? 1l n l n ,u u x C???解： 變形方程得： ,y ux?令,dy duuxdx dx?? 2 ,1d u uuxd x u?? ?,yu x?令,uxu C e?微分方程的通解為： .yxy Ce? 作變量代換 ,y xu? ,d y d uuxd x d x? ? ?代入原式 ( ) ,duu x f udx?? () .d u f u ud x x ??即可分離變量的方程 d y d uy x u u xd x d x? ? ? ?令（ 4）回代還原 （ 1）變量變換 （ 2）代入原方程，化為可分離變量的方程 （ 3）求解新方程 例 dy x ydx x y???解 微 分 方 程 ：解 令 y ux? 則 dy duuxdx dx?? ，代入化簡 并分離變量 2111u d u d xux? ?? ，兩邊積分 21a r c ta n l n ( 1 ) l n l n2u u x c? ? ? ? ，換回原變量 221a r c ta n l n ( 1 ) l n l n2yy xcxx? ? ? ? ，或 a r c t a n 22yxe c x y??例 6 、 求解微分方程 .0c o s)c o s( ??? dyxyxdxxyyx解 ，令xyu ? ，則 u dxxdudy ??,0)(c o s)c o s( ???? xd uu dxuxdxuuxx,co s xdxu d u ?? ,lns i n Cxu ???微分方程的解為 s in ln .y xCx ? ? ?二、齊次方程 步驟 d y d uy x u u xd x d x? ? ? ?令代 入 方 程 ， 化 簡 求 解回代還原 變量代換法 例 求解微分方程 1( ) 0yx xx e y d x x d y y ?? ? ?在 初 始 條 件 下 的 特 解 。解 ，令 xyu ?,uduu x e udx? ? ?則 ：,yxd y yed x x??1 ,ue d u d xx? ?微分方程的解為 l n .yxx e C???l n ,ue x C?? ? ?1 01xyC? ??由 得l n 1 .yxxe ???三、一階線性微分方程 ,2xydxdy ??一階線性微分方程 的標準形式 : (
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