【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （） （）其中，特別地，區(qū)間終點(diǎn)處的最終全局誤差滿足， （）這就是說，步長(zhǎng)如果減小為原來的 （為整數(shù)），則可期望最終全局誤差將降至大約 。第五章 泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法有著廣泛的應(yīng)用，并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標(biāo)準(zhǔn)，它可設(shè)計(jì)為具有任意指定的精度。 設(shè)，且在不動(dòng)點(diǎn)處有次泰勒級(jí)數(shù)展開： （）其中， （）表示函數(shù)關(guān)于的次全導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)公式可以遞歸得計(jì)算： ()并且一般有， （）其中為導(dǎo)數(shù)算子 區(qū)間上的初值的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間上的公式（）來推導(dǎo)。 N次泰勒方法次泰勒方法的一般步驟為： （）其中在個(gè)步有。 次泰勒方法的最終全局誤差是階的，因此可選擇所需大小的，使得誤差足夠小。如果固定，則理論上可以推導(dǎo)出步長(zhǎng)，使之滿足任意想要的最終全局誤差。然而在實(shí)際運(yùn)算中，通常用和計(jì)算兩個(gè)近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果。次泰勒方法的精度：設(shè)為初值問題的解,如果，并且是休恩方法產(chǎn)生的一個(gè)近似值序列，則 （） 特別得，區(qū)間重點(diǎn)處的最終全局誤差滿足， （）這就是說，步長(zhǎng)如果減小為原來的，則可期望最終全局誤差將降至大約，為整數(shù)。第六章 龍格庫(kù)塔（Runge—Kutta法）（Runge—Kutta）方法基本思想 回到 Euler 方法的基本思想—用差商代替導(dǎo)數(shù)—上來。實(shí)際上，按照微分中值定理應(yīng)有 注意到方程就有 不妨記，稱為區(qū)間上的平均斜率。可是給出一種斜率,()式就對(duì)應(yīng)地導(dǎo)出一種算法。 向前 Euler 公式簡(jiǎn)單地取為 ，精度自然很低。改進(jìn)的Euler 公式可理解為 取，的平均值，其中，這種處理提高了精度。 如上分析啟示我們，在區(qū)間 內(nèi)多取幾個(gè)點(diǎn)，將它們的斜率加權(quán)平均作為，就有可能構(gòu)造出精度更高的計(jì)算公式。這就是龍格—庫(kù)塔方法的基本思想。 首先不妨在區(qū)間內(nèi)仍取2 個(gè)點(diǎn)，仿照（）式用以下形式試一下 其中，，為待定系數(shù)，看看如何確定它們使（）式的精度盡量高。為此我們分析局部截?cái)嗾`差，因?yàn)?，所以（）可以化? 其中在點(diǎn)作了Taylor展開。（）式又可表為 注意到 中，可見為使誤差，只須令 待定系數(shù)滿足（）的（）式稱為2 階龍格—庫(kù)塔公式。由于（）式有4 個(gè)未知數(shù)而只有3 個(gè)方程，所以解不唯一。不難發(fā)現(xiàn)，若令即為改進(jìn)的Euler 公式。可以證明，在內(nèi)只取2 點(diǎn)的龍格—庫(kù)塔公式精度最高為2階。 階龍格庫(kù)塔（Runge—Kutta）方法公式 要進(jìn)一步提高精度，必須取更多的點(diǎn)，如取 4 點(diǎn)構(gòu)造如下形式的公式： 其中待定系數(shù)，共13 個(gè)，經(jīng)過與推導(dǎo)2 階龍格—庫(kù)塔公式類似、但更復(fù)雜的計(jì)算，得到使局部誤差的11 個(gè)方程。取既滿足這些方程、又較簡(jiǎn)單的一組可得 這就是常用的 4 階龍格—庫(kù)塔方法（簡(jiǎn)稱RK 方法）。第七章 預(yù)報(bào)校正方法歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格—庫(kù)塔方法都稱為單步方法，因?yàn)樗麄冎焕们耙粋€(gè)點(diǎn)的信息計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，即計(jì)算時(shí)只使用了初始點(diǎn)。一般地，只有用來計(jì)算。當(dāng)計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，就可以利用幾個(gè)已計(jì)算出的點(diǎn)來計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)。 多步法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，可以確定它的局部截?cái)嗾`差，并可以包含一個(gè)校正項(xiàng)，用于在每一步計(jì)算中改變解的精確度。該方法還可以確定步長(zhǎng)是否小到能得到的精確值，同時(shí)又大到能夠免除不必要的和費(fèi)時(shí)的計(jì)算。使用預(yù)估子和校正子的組合在每一步只與要進(jìn)行兩次函數(shù)求值。 對(duì)于多步法，常用的預(yù)估—校正公式有MilneHamning方法、MilneSimpon方法、4階隱預(yù)估—校正公式等。下面，我們向大家介紹MilneSimpon方法。 MilneSimpon方法 MilneSimpon方法的預(yù)估子基于在區(qū)間上對(duì)的積分： （）預(yù)報(bào)子使用的基于點(diǎn)，和的拉格朗日多項(xiàng)式逼近，在區(qū)間上對(duì)他積分，得到米爾恩預(yù)估子： （）校正子的推導(dǎo)類似。此時(shí)值已知，基于點(diǎn)，和新點(diǎn)構(gòu)造的新點(diǎn)的拉格朗日多項(xiàng)式，然后在區(qū)間上對(duì)該多項(xiàng)式積分，結(jié)果得Simpon公式： （） 計(jì)算預(yù)估子和校正子的數(shù)值積分公式的誤差項(xiàng)都是的，公式（）和（）的局部截?cái)嗾`差為 （預(yù)估子的截?cái)嗾`差） （） （校正子的截?cái)嗾`差） （7,5）設(shè)足夠小，使得在區(qū)間上近乎為常數(shù)，則可消去式（）和式（）中的5階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，結(jié)果為 （）公式（）給出的預(yù)估子誤差聚集基于兩個(gè)計(jì)算值和，而沒有使用高階導(dǎo)數(shù)，可用它來改進(jìn)預(yù)估值。假設(shè)每步中預(yù)估和校正值的差緩慢變化，則在式（）中可用和分解替代和，得到如下的修正為： （）在校正過程中用該修正值替代，公式（）變?yōu)椋? （）因此，改進(jìn)（修正）的MilneSimpon方法為 （） （） （）由（）和（）知預(yù)估—校正方法是休恩方法的一個(gè)改進(jìn)。 正確的步長(zhǎng)用預(yù)估—校正方法在大區(qū)間上求解初值問題時(shí)，有時(shí)也出現(xiàn)問題。如果，而步長(zhǎng)過大，則預(yù)計(jì)估—校正方法可能不穩(wěn)定。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)小誤差遞減傳播時(shí)，結(jié)果穩(wěn)定；當(dāng)小誤差遞增傳播時(shí)候結(jié)果不穩(wěn)定。當(dāng)在區(qū)間上使用的步長(zhǎng)太大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，有時(shí)表現(xiàn)為計(jì)算解的振蕩性。采用較小的步長(zhǎng)可使振幅減小。如果使用步長(zhǎng)控制，則MilneSimpon方法應(yīng)該使用如下的誤差估計(jì)： （）這是一類不動(dòng)點(diǎn)迭代過程?？梢宰C明，其的步長(zhǎng)應(yīng)該滿足以下條件 （）第八章 一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法 一階微分方程組的數(shù)值解法設(shè)有一階