【文章內容簡介】 (1) 求函數(shù)在點 M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 在該點切線方向的方向導數(shù) 。 (2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的 梯度 與 (1)中 切線方向 的夾角 ? . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 曲線 1. (1) 在點 ? ? )1,1,1(c o sc o sc o s ??? ???????? zyxMffflf解答提示 : 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù)沿 l 的方向導數(shù) lM (1,1,1) 處切線的方向向量 )0,1,2(g ra d)2( ?MfMMflfg r ad???1306a rc c o s?? ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 l c o s ??l備用題 1. 函數(shù) 在點 處的梯度 解 : 則 注意 x , y , z 具有輪換對稱性 )2,2,1(92 ??)2,2,1(92 ? (92考研 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 指向 B( 3, － 2 , 2) 方向的方向導數(shù)是 . 在點 A( 1 , 0 , 1) 處沿點 A 2. 函數(shù) )l n ( 22 zyxu ???提示 : 則 }c o s,c o s,{ c o s ????)1ln ( ?x)11l n ( 2 ?? y(96考研 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2121? 第九章 第八節(jié) 一、多元函數(shù)的極值 二、最值應用問題 三、條件極值 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元函數(shù)的極值及其求法 x yz一、 多元函數(shù)的極值 定義 : 若函數(shù) 則稱函數(shù)在該點取得 極大值 (極小值 ). 例如 : 在點 (0,0) 有極小值 。 在點 (0,0) 有極大值 。 在點 (0,0) 無極值 . 極大值和極小值 統(tǒng)稱為 極值 , 使函數(shù)取得極值的點稱為 極值點 . 的某鄰域內有 x yzxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明 : 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為 駐點 . 例如 , 定理 1 (必要條件 ) 函數(shù) 偏導數(shù) , 證 : 據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立 . 0),(,0),( 0000 ???? yxfyxf yx取得極值 , 取得極值 取得極值 但駐點不一定是極值點 . 有駐點 ( 0, 0 ), 但在該點不取極值 . 且在該點取得極值 , 則有 存在 故 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 時 , 具有極值 定理 2 (充分條件 ) 的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù) , 且 令 則 : 1) 當 A0 時取極大值 。 A0 時取極小值 . 2) 當 3) 當 時 , 沒有極值 . 時 , 不能確定 , 需另行討論 . 若函數(shù) 的在點 ),(),( 00 yxyxfz ?0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx ???02 ?? BAC02 ?? BAC02 ?? BAC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 1. 求函數(shù) 解 : 第一步 求駐點 . 得駐點 : (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判別 . 在點 (1,0) 處 為極小值 。 解方程組 ABC的極值 . 求二階偏導數(shù) ,66),( ?? xyxf xx ,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy,06122 ???? BAC ,0?A機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點 (?3,0) 處 不是極值 。 在點 (?3,2) 處 為極大值 . ,66),( ?? xyxf xx ,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy,06122 ????? BAC,0)6(122 ?????? BAC ,0?A在點 (1,2) 處 不是極值 。 ,0)6(122 ????? BACA B C機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 及 是否取得極值 . 解 : 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 , 在 (0,0)點鄰域內的取值 , 因此 z(0,0) 不是極值 . 因此 ,022 時當 ?? yx 222 )( yxz ?? 0)0,0( ?? z為極小值 . 正 負 0 在點 (0,0) x yzo并且在 (0,0) 都有 可能為 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、最值應用問題 函數(shù) f 在閉域上連續(xù) 函數(shù) f 在閉域上可達到最值 最值可疑點 ???駐點 邊界上的最值點 特別 , 當區(qū)域內部最值存在 , 且 只有一個 極值點 P 時 , )(Pf為極小 值 )(Pf為最小 值 (大 ) (大 ) 依據(jù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 3. 解 : 設水箱長 ,寬分別為 x , y m ,則高為 則水箱所用材料的面積為 令 得駐點 某廠要用鐵板做一個體積為 2 根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內應存在 , 的有蓋長方體水 問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時 , 才能使用料最省 ? ,m2yx? ?yxyx 222 ???0)(2 22 ??? xx yA0)(2 22 ??? yy xA因此可 斷定此唯一駐點就是最小值點 . 即當長、寬均為 高為 時 , 水箱所用材料最省 . )2,2( 3332322 2 233 ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 , 把它折起來做成 解 : 設折起來的邊長為 x cm, 則斷面面積 x 24 一個斷面為等腰梯形的水槽 , 傾角為 ? , ?c o s2224 xx ??(21 ?sin) x????? s inc o ss in2s in24 22 xxx ???x224 ?? x積最大 . )0,120:( 2?? ???? xD為 問怎樣折法才能使斷面面 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ?c o s24 x ?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222 ??? ??x令 ?xA ?sin24 ?s in4 x? 0c o ss in2 ?? ??x??A解得 : 由題意知 ,最大值在定義域 D 內達到 , 而在域 D 內只有 一個駐點 , 故此點即為所求 . ,0s in ?? 0?x???? s inc o ss in2s in24 22 xxxA ???)0,120:( 2?? ???? xD0c o s212 ??? ?xx0)s in(c o sc o s2c o s24 22 ???? ???? xx(c m )8,603 ??? x???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、條件極值 極值問題 無條件極值 : 條 件 極 值 : 條件極值的求法 : 方法 1 代入法 . 求一元函數(shù) 的無條件極值問題 對自變量只有定義域限制 對自變量除定義域限制外 , 還有其它條件限制 例如 , 轉化 ,0),( 下在條件 ?yx? 的極值求函數(shù) ),( yxfz ?)(0),( xyyx ?? ?? 中解出從條件))(,( xxfz ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0),( 下在條件 ?yx?方法 2 拉格朗日乘數(shù)法 . 如方法 1 所述 , 則問題等價于一元函數(shù) 可確定隱函數(shù) 的極值問題 , 極值點必滿足 設 記 .),( 的極值求函數(shù) yxfz ?0),( ?yx? ,)( xy ??))(,( xxfz ??例如 , 故 0dddd ??? xyffxz yx,ddyxxy????因 0??yxyx ff??yyxx ff???故有 ???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 引入輔助函數(shù) 輔助函數(shù) F 稱為拉格朗日 ( Lagrange )函數(shù) . 利用拉格 極值點必滿足 0?? xxf ??0?? yyf ??0),( ?yx?則極值點滿足 : 朗日函數(shù)求極值的方法稱為 拉格朗日乘數(shù)法 . ),(),( yxyxfF ????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 推廣 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形 . 設 解方程組 可得到條件極值的可疑點 . 例如 , 求函數(shù) 下的極值 . 在條件 ),( zyxfu ? ,0),( ?zyx?0),( ?zyx?),(),(),( 21 zyxzyxzyxfF ???? ???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 5. 要設計一個容量為 0V則問題為求 x , y , 令 解方程組 解 : 設 x , y , z 分別表示長、寬、高 , 下水箱表面積 最小 . z 使在條件 02 ??? zyyz ?02 ??? zxxz ?0)(2 ??? yxyx ?00 ?? Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？ 的長方體開口水箱 , 試問 0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2)()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?xyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 得唯一駐點 ,22 3 0Vzyx ??? 3024V???由題意可知合理的設計是存在的 , 長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省 . 因此 , 當高為 ,3 40Vxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 思考 : 1) 當水箱封閉時 , 長、寬、高的尺寸如何 ? 提示 : 利用對稱性可知 , 3 0Vzyx ???2) 當開口水箱底部的造價為側面的二倍時 , 欲使造價 最省 , 應如何設拉格朗日函數(shù) ? 長、寬、高尺寸如何 ? 提示 : )()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?2長、寬、高尺寸相等 . 內容小結 1. 函數(shù)的極值問題 第一步 利用必要條件在定義域內找駐點 . 即解方程組 第二步 利用充分條件 判別駐點是否為極值點 . 2. 函數(shù)的條件極值問題 (1) 簡單問題用代入法 ,),( yxfz ??????0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù) (2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 設拉格朗日函數(shù) 如求二元函數(shù) 下的極值 , 解方程組 第二步 判別 ? 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 ? 根據(jù)問題的實際意義確定最值 第一步 找目標函數(shù) ,