【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (1) 求函數(shù)在點(diǎn) M ( 1, 1, 1 ) 處沿曲線 在該點(diǎn)切線方向的方向?qū)?shù) 。 (2) 求函數(shù)在 M( 1, 1, 1 ) 處的 梯度 與 (1)中 切線方向 的夾角 ? . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 曲線 1. (1) 在點(diǎn) ? ? )1,1,1(c o sc o sc o s ??? ???????? zyxMffflf解答提示 : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函數(shù)沿 l 的方向?qū)?shù) lM (1,1,1) 處切線的方向向量 )0,1,2(g ra d)2( ?MfMMflfg r ad???1306a rc c o s?? ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 l c o s ??l備用題 1. 函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度 解 : 則 注意 x , y , z 具有輪換對(duì)稱性 )2,2,1(92 ??)2,2,1(92 ? (92考研 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 指向 B( 3, － 2 , 2) 方向的方向?qū)?shù)是 . 在點(diǎn) A( 1 , 0 , 1) 處沿點(diǎn) A 2. 函數(shù) )l n ( 22 zyxu ???提示 : 則 }c o s,c o s,{ c o s ????)1ln ( ?x)11l n ( 2 ?? y(96考研 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2121? 第九章 第八節(jié) 一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題 三、條件極值 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的極值及其求法 x yz一、 多元函數(shù)的極值 定義 : 若函數(shù) 則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得 極大值 (極小值 ). 例如 : 在點(diǎn) (0,0) 有極小值 。 在點(diǎn) (0,0) 有極大值 。 在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值 . 極大值和極小值 統(tǒng)稱為 極值 , 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為 極值點(diǎn) . 的某鄰域內(nèi)有 x yzxyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明 : 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為 駐點(diǎn) . 例如 , 定理 1 (必要條件 ) 函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù) , 證 : 據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立 . 0),(,0),( 0000 ???? yxfyxf yx取得極值 , 取得極值 取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn) . 有駐點(diǎn) ( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值 . 且在該點(diǎn)取得極值 , 則有 存在 故 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí) , 具有極值 定理 2 (充分條件 ) 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且 令 則 : 1) 當(dāng) A0 時(shí)取極大值 。 A0 時(shí)取極小值 . 2) 當(dāng) 3) 當(dāng) 時(shí) , 沒有極值 . 時(shí) , 不能確定 , 需另行討論 . 若函數(shù) 的在點(diǎn) ),(),( 00 yxyxfz ?0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx ???02 ?? BAC02 ?? BAC02 ?? BAC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 1. 求函數(shù) 解 : 第一步 求駐點(diǎn) . 得駐點(diǎn) : (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判別 . 在點(diǎn) (1,0) 處 為極小值 。 解方程組 ABC的極值 . 求二階偏導(dǎo)數(shù) ,66),( ?? xyxf xx ,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy,06122 ???? BAC ,0?A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在點(diǎn) (?3,0) 處 不是極值 。 在點(diǎn) (?3,2) 處 為極大值 . ,66),( ?? xyxf xx ,0),( ?yxf yx 66),( ??? yyxf yy,06122 ????? BAC,0)6(122 ?????? BAC ,0?A在點(diǎn) (1,2) 處 不是極值 。 ,0)6(122 ????? BACA B C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 及 是否取得極值 . 解 : 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) , 在 (0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值 , 因此 z(0,0) 不是極值 . 因此 ,022 時(shí)當(dāng) ?? yx 222 )( yxz ?? 0)0,0( ?? z為極小值 . 正 負(fù) 0 在點(diǎn) (0,0) x yzo并且在 (0,0) 都有 可能為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、最值應(yīng)用問題 函數(shù) f 在閉域上連續(xù) 函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) ???駐點(diǎn) 邊界上的最值點(diǎn) 特別 , 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在 , 且 只有一個(gè) 極值點(diǎn) P 時(shí) , )(Pf為極小 值 )(Pf為最小 值 (大 ) (大 ) 依據(jù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 3. 解 : 設(shè)水箱長(zhǎng) ,寬分別為 x , y m ,則高為 則水箱所用材料的面積為 令 得駐點(diǎn) 某廠要用鐵板做一個(gè)體積為 2 根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在 , 的有蓋長(zhǎng)方體水 問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí) , 才能使用料最省 ? ,m2yx? ?yxyx 222 ???0)(2 22 ??? xx yA0)(2 22 ??? yy xA因此可 斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn) . 即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為 高為 時(shí) , 水箱所用材料最省 . )2,2( 3332322 2 233 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 有一寬為 24cm 的長(zhǎng)方形鐵板 , 把它折起來做成 解 : 設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為 x cm, 則斷面面積 x 24 一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽 , 傾角為 ? , ?c o s2224 xx ??(21 ?sin) x????? s inc o ss in2s in24 22 xxx ???x224 ?? x積最大 . )0,120:( 2?? ???? xD為 問怎樣折法才能使斷面面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?c o s24 x ?c o s2 2x? 0)s in( c o s 222 ??? ??x令 ?xA ?sin24 ?s in4 x? 0c o ss in2 ?? ??x??A解得 : 由題意知 ,最大值在定義域 D 內(nèi)達(dá)到 , 而在域 D 內(nèi)只有 一個(gè)駐點(diǎn) , 故此點(diǎn)即為所求 . ,0s in ?? 0?x???? s inc o ss in2s in24 22 xxxA ???)0,120:( 2?? ???? xD0c o s212 ??? ?xx0)s in(c o sc o s2c o s24 22 ???? ???? xx(c m )8,603 ??? x???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、條件極值 極值問題 無(wú)條件極值 : 條 件 極 值 : 條件極值的求法 : 方法 1 代入法 . 求一元函數(shù) 的無(wú)條件極值問題 對(duì)自變量只有定義域限制 對(duì)自變量除定義域限制外 , 還有其它條件限制 例如 , 轉(zhuǎn)化 ,0),( 下在條件 ?yx? 的極值求函數(shù) ),( yxfz ?)(0),( xyyx ?? ?? 中解出從條件))(,( xxfz ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0),( 下在條件 ?yx?方法 2 拉格朗日乘數(shù)法 . 如方法 1 所述 , 則問題等價(jià)于一元函數(shù) 可確定隱函數(shù) 的極值問題 , 極值點(diǎn)必滿足 設(shè) 記 .),( 的極值求函數(shù) yxfz ?0),( ?yx? ,)( xy ??))(,( xxfz ??例如 , 故 0dddd ??? xyffxz yx,ddyxxy????因 0??yxyx ff??yyxx ff???故有 ???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引入輔助函數(shù) 輔助函數(shù) F 稱為拉格朗日 ( Lagrange )函數(shù) . 利用拉格 極值點(diǎn)必滿足 0?? xxf ??0?? yyf ??0),( ?yx?則極值點(diǎn)滿足 : 朗日函數(shù)求極值的方法稱為 拉格朗日乘數(shù)法 . ),(),( yxyxfF ????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 推廣 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形 . 設(shè) 解方程組 可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如 , 求函數(shù) 下的極值 . 在條件 ),( zyxfu ? ,0),( ?zyx?0),( ?zyx?),(),(),( 21 zyxzyxzyxfF ???? ???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 5. 要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為 0V則問題為求 x , y , 令 解方程組 解 : 設(shè) x , y , z 分別表示長(zhǎng)、寬、高 , 下水箱表面積 最小 . z 使在條件 02 ??? zyyz ?02 ??? zxxz ?0)(2 ??? yxyx ?00 ?? Vzyx水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？ 的長(zhǎng)方體開口水箱 , 試問 0Vzyx ? yxzyzxS ??? )(2)()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?xyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 得唯一駐點(diǎn) ,22 3 0Vzyx ??? 3024V???由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的 , 長(zhǎng)、寬為高的 2 倍時(shí)，所用材料最省 . 因此 , 當(dāng)高為 ,3 40Vxyz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考 : 1) 當(dāng)水箱封閉時(shí) , 長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何 ? 提示 : 利用對(duì)稱性可知 , 3 0Vzyx ???2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí) , 欲使造價(jià) 最省 , 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù) ? 長(zhǎng)、寬、高尺寸如何 ? 提示 : )()(2 0VzyxyxzyzxF ????? ?2長(zhǎng)、寬、高尺寸相等 . 內(nèi)容小結(jié) 1. 函數(shù)的極值問題 第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn) . 即解方程組 第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) . 2. 函數(shù)的條件極值問題 (1) 簡(jiǎn)單問題用代入法 ,),( yxfz ??????0),(0),(yxfyxfyx如對(duì)二元函數(shù) (2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù) 如求二元函數(shù) 下的極值 , 解方程組 第二步 判別 ? 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 ? 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值 第一步 找目標(biāo)函數(shù) ,