【文章內容簡介】 當k充分大時, y(xk)M. 當x174。0+ 時, 函數(shù)不是無窮大. 這是因為 M0, 對所有的d0, 總可以找到這樣的點xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 當k充分大時, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M. 習題15 1. 計算下列極限: (1)。 解 . (2)。 解 . (3)。 解 . (4)。 解 . (5)。 解 . (6)。 解 . (7)。 解 . (8)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (10)。 解 . (11)。 解 . (12)。 解 . (13)。 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項系數(shù)之比). 或 . (14)。 解 . 2. 計算下列極限: (1)。 解 因為, 所以. (2)。 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). 3. 計算下列極限: (1)。 解 (當x174。0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當x174。165。時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習題15 1. 計算下列極限: (1)。 解 . (2)。 解 . (3)。 解 . (4)。 解 . (5)。 解 . (6)。 解 . (7)。 解 . (8)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (10)。 解 . (11)。 解 . (12)。 解 . (13)。 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項系數(shù)之比). 或 . (14)。 解 . 2. 計算下列極限: (1)。 解 因為, 所以. (2)。 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). 3. 計算下列極限: (1)。 解 (當x174。0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當x174。165。時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習題 17 1. 當x174。0時, 2xx2 與x2x3相比, 哪一個是高階無窮?。? 解 因為, 所以當x174。0時, x2x3是高階無窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當x174。1時, 無窮小1x和(1)1x3, (2)是否同階？是否等價？ 解 (1)因為, 所以當x174。1時, 1x和1x3是同階的無窮小, 但不是等價無窮小. (2)因為, 所以當x174。1時, 1x和是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 3. 證明: 當x174。0時, 有: (1) arctan x~x。 (2). 證明 (1)因為(提示: 令y=arctan x, 則當x174。0時, y174。0), 所以當x174。0時, arctanx~x. (2)因為, 所以當x174。0時, . 4. 利用等價無窮小的性質, 求下列極限: (1)。 (2)(n, m為正整數(shù))。 (3)。 (4). 解 (1). (2). (3). (4)因為 (x174。0), (x174。0), (x174。0),所以 . 5. 證明無窮小的等價關系具有下列性質: (1) a ~a (自反性)。 (2) 若a ~b, 則b~a(對稱性)。 (3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性). 證明 (1), 所以a ~a 。 (2) 若a ~b, 則, 從而. 因此b~a 。 (3) 若a ~b, b~g, . 因此a~g.習題18 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形: (1)。 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2]內是連續(xù)的. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(165。, 1)和(1, +165。)內連續(xù), 在x=1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點處間斷, 說明這些間斷點屬于哪一類, 如果是可去間斷點, 則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2。 解 . 因為函數(shù)在x=2和x=1處無定義, 所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點. 因為, 所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點。 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點, 并且是可去間斷點. 在x=1處, 令y=2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, 177。1, 177。2, )。 解 函數(shù)在點x=kp(k206。Z)和(k206。Z)處無定義, 因而這些點都是函數(shù)的間斷點. 因(k185。0), 故x=kp(k185。0)是第二類間斷點。 因為, (k206。Z), 所以x=0和(k206。Z) 是第一類間斷點且是可去間斷點. 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。 令時, y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0。 解 因為函數(shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點. 又因為不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點. (4), x =1. 解 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點. 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點, 判別其類型. 解 . 在分段點x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 在分段點x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)185。0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。U(x0)時, f(x)185。0. 證明 不妨設f(x0)0. 因為f(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當x206。時f(x)0, 從而當x206。U(x0)時, f(x)0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。U(x0)時, f(x)185。0. 5. 試分別舉出具有以下性質的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, 177。1, 177。2, , , 177。n, , 是f(x)的所有間斷點, 且它們都是無窮間斷點。 解 函數(shù)在點x=0, 177。1, 177。2, , , 177。n, , 處是間斷的,且這些點是函數(shù)的無窮間斷點. (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù)。 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習題19 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(165。, +165。)內除點x=2和x=3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。, 3)、(3, 2)、(2, +165。). 在函數(shù)的連續(xù)點x=0處, . 在函數(shù)的間斷點x=2和x=3處, , . 2. 設函數(shù)f(x)與g(x)在點x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=max{f(x), g(x)}, y(x)=min{f(x), g(x)}在點x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗證 , . 因此 , . 因為 =j(x0),所以j(x)在點x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點x0也連續(xù). 3. 求下列極限: (1)。 (2)。 (3)。 (4)。 (5)。 (6)。 (7). 解 (1)因為函數(shù)是初等函數(shù), f(x)在點x=0有定義, 所以 . (2)因為函數(shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (3)因為函數(shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1)。 (2)。 (3)。 (4)。 (5)。 (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因為 , , 所以. (6) . 5. 設函數(shù), 應當如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(165。, +165。)內的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(165。, +165。)內連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因為, , 所以只須取a=1. 習題110 1. 證明方程x53x=1至少有一個根介于1和2之間. 證明 設f(x)=x53x1, 則f(x)是閉區(qū)間[1, 2]上的連續(xù)函數(shù). 因為f(1)=3, f(2)=25, f(1)f(2)0, 所以由零點定理, 在(1, 2)內至少有一點x(1x2), 使f(x)=0, 即x=x 是方程x53x=1的介于1和2之間的根. 因此方程x53x=1至少有一個根介于1和2之間. 2. 證明方程x=asinx+b, 其中a0, b0, 至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 證明 設f(x)=asin x+bx, 則f(x)是[0, a+b]上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b(a+b)=a[sin(a+b)1]163。0. 若f(a+b)=0, 則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根。 若f(a+b)0, 則f(0)f(a+b)0, 由零點定理, 至少存在一點x206。(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 3. 設函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點x、y, 恒有|f(x)f(y)|163。L|xy|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)0. 證明: 至少有一點x206。(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設x0為(a, b)內任意一點. 因為 , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內連續(xù). 同理可證f(x)在點a處左連續(xù), 在點b處右連續(xù), 所以f(x)在[a, b]上連續(xù). 因為f(x)在[a, b]上連續(xù), 且f(a)f(b)0, 由零點定理, 至少有一點x206。(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), ax1x2 xnb, 則在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 證明 顯然f(x)在[x1, xn]上也連續(xù). 設M和m分別是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因為xi206。[x1, xn](1163。 i163。n), 所以有m163。f(xi)163。M, 從而有 , . 由