【正文】 10002=21000(元). 習題12 1. 觀察一般項xn如下的數(shù)列{xn}的變化趨勢, 寫出它們的極限: (1)。165。0, . (2)。165。0, . (3)。165。2, . (4)。165。0, . (5) xn=n(1)n. 解 當n174。時, xn=n(1)n沒有極限. 2. 設數(shù)列{xn}的一般項. 問=? 求出N, 使當nN時, xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =, 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n0|e , 只要, 也就是. 取, 則nN, 有|xn0|e . 當e =, =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1)。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因為e0, $, 當nN時, 有, 所以. (3)。N, 當nN時, 有, 從而||un||a||163。Z, 有|xn|163。N, 當nN時, 有. 從而當nN時, 有 , 所以. 6. 對于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。165。a(k 174。), 證明: xn174。165。a(k174。), x2k 174。165。 $K2, 當2k2K2時, 有|x2ka|e . 取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。165。 分析 因為 |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 所以要使|(3x1)8|e , 只須. 證明 因為e0, $, 當0|x3|d時, 有 |(3x1)8|e , 所以. (2)。 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為e 0, $, 當0|x(2)|d時, 有 , 所以. (4). 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為e 0, $, 當時, 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1)。2時, y=x2174。2時, |x2|174。165。0時極限為零. 證明 因為 |f(x)0|=||x|0|=|x|=|x0|, 所以要使|f(x)0|e, 只須|x|e. 因為對e0, $d=e, 使當0|x0|d, 時有 |f(x)0|=||x|0|e, 所以. 6. 求 當x174。0時的極限是否存在. 證明 因為 , , , 所以極限存在. 因為 , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x174。及x174。時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因為, , 所以e0, $X10, 使當xX1時, 有|f(x)A|e 。x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設f(x)174。x0), 則e0, $d0, 使當0|xx0|d 時, 有|f(x)A|e . 因此當x0dxx0和x0xx0+d 時都有|f(x)A|e . 這說明f(x)當x174。 $d20, 使當x0xx0+d2時, 有| f(x)A|e . 取d=min{d1, d2}, 則當0|xx0|d 時, 有x0d1xx0及x0xx0+d2 , 從而有| f(x)A|e , 即f(x)174。x0). 9. 試給出x174。時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x174。時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x174。時的極限存在, 則存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M. 證明 設f(x)174。165。|f(x)A|+|A|1+|A|. 這就是說存在X0及M0, 使當|x|X時, |f(x)|M, 其中M=1+|A|. 習題14 1. 兩個無窮小的商是否一定是無窮?。颗e例說明之. 解 不一定. 例如, 當x174。3時為無窮小。0時為無窮小. 證明 (1)當x185。3時為無窮小. (2)當x185。0時為無窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當x174。0時, 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當時, |y|104. 4. 求下列極限并說明理由: (1)。165。1), 而當x174。Af(x)174。f(x)174。f(x)174。x174。x0+x174。165。+165。165。Af(x)174。f(x)174。f(x)174。x174。x0+e0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當0xx0d時, 有恒f(x)M.x174。165。+165。165。, +165。+165。, +165。, +165。+165。0+時的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因為 M0, 在(0, 1]中總可以找到點xk, 使y(xk)M. 例如當(k=0, 1, 2, )時, 有, 當k充分大時, y(xk)M. 當x174。 解 . (2)。 解 . (4)。 解 . (6)。 解 . (8)。 解 . (10)。 解 . (12)。 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項系數(shù)之比). 或 . (14)。 解 因為, 所以. (2)。 解 (當x174。165。 解 . (2)。 解 . (4)。 解 . (6)。 解 . (8)。 解 . (10)。 解 . (12)。 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項系數(shù)之比). 或 . (14)。 解 因為, 所以. (2)。 解 (當x174。165。0時, 2xx2 與x2x3相比, 哪一個是高階無窮?。? 解 因為, 所以當x174。1時, 無窮小1x和(1)1x3, (2)是否同階？是否等價？ 解 (1)因為, 所以當x174。1時, 1x和是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 3. 證明: 當x174。 (2). 證明 (1)因為(提示: 令y=arctan x, 則當x174。0), 所以當x174。0時, . 4. 利用等價無窮小的性質(zhì), 求下列極限: (1)。 (3)。0), (x174。0),所以 . 5. 證明無窮小的等價關系具有下列性質(zhì): (1) a ~a (自反性)。 (3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性). 證明 (1), 所以a ~a 。 (3) 若a ~b, b~g, . 因此a~g.習題18 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形: (1)。, 1)和(1, +165。 解 . 因為函數(shù)在x=2和x=1處無定義, 所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點. 因為, 所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點。1, 177。 解 函數(shù)在點x=kp(k206。Z)處無定義, 因而這些點都是函數(shù)的間斷點. 因(k185。0)是第二類間斷點。Z), 所以x=0和(k206。 令時, y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0。0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。0. 證明 不妨設f(x0)0. 因為f(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當x206。U(x0)時, f(x)0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當x206。0. 5. 試分別舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, 177。2, , , 177。 解 函數(shù)在點x=0, 177。2, , , 177。 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù). 習題19 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(165。)內(nèi)除點x=2和x=3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。). 在函數(shù)的連續(xù)點x=0處, . 在函數(shù)的間斷點x=2和x=3處, , . 2. 設函數(shù)f(x)與g(x)在點x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=max{f(x), g(x)}, y(x)=min{f(x), g(x)}在點x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗證 , . 因此 , . 因為 =j(x0),所以j(x)在點x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點x0也連續(xù). 3. 求下列極限: (1)。 (3)。 (5)。 (7). 解 (1)因為函數(shù)是初等函數(shù), f(x)在點x=0有定義, 所以 . (2)因為函數(shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (3)因為函數(shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1)。 (3)。 (5)。, +165。, +165。0. 若f(a+b)=0, 則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根。(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 3. 設函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點x、y, 恒有|f(x)f(y)|163。(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設x0為(a, b)內(nèi)任意一點. 因為 , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內(nèi)連續(xù). 同理可證f(x)在點a處左連續(xù), 在點b處右連續(xù), 所以f(x)在[a, b]上連續(xù). 因為f(x)在[a, b]上連續(xù), 且f(a)f(b)0, 由零點定理, 至少有一點x206。[x1, xn](1163。n), 所以有m163。M, 從而有 , . 由介值定理推論, 在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 5. 證明: 若f(x)在(165。)內(nèi)連續(xù), 且存在, 則f(x)必在(165。)內(nèi)有界. 證明 令, 則對于給定的e0, 存在X0, 只要|x|X, 就有 |f(x)A|e , 即Aef(x)A+e . 又由于f(x)在閉區(qū)間[X, X]上連續(xù), 根據(jù)有界性定理, 存在M0, 使|f(x)|163。[X, X]. 取N=max{M, |Ae|, |A+e|}, 則|f(x)|163。(165。), 即f(x)在(165。)內(nèi)有界. 6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習題一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件. 數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的________條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件. (4)f(x)當x174。0時, 有( ). (A)f(x)與x是等價無窮小。 (C)f(x)是比x高階的無窮小。 (2) f(ln x)。 (4) f(cos x). 解 (1)由0163。1得x163。, 0]. (2) 由0163。1得1163。e , 即函數(shù)f(ln x)的定義