【正文】 綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性. 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因?yàn)閒(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(165。 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn), 并且是可去間斷點(diǎn). 在x=1處, 令y=2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, 177。Z)和(k206。 因?yàn)? (k206。 解 因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處無(wú)定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 又因?yàn)椴淮嬖? 所以x=0是函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn). (4), x =1. 解 因?yàn)? 所以x=1是函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類(lèi)型. 解 . 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 在分段點(diǎn)x=1處, 因?yàn)? , 所以x=1為函數(shù)的第一類(lèi)不可去間斷點(diǎn). 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)185。時(shí)f(x)0, 從而當(dāng)x206。1, 177。1, 177。, +165。 (2)。 (6)。 (4)。)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(165。 若f(a+b)0, 則f(0)f(a+b)0, 由零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn)x206。(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), ax1x2 xnb, 則在[x1, xn]上至少有一點(diǎn)x , 使 . 證明 顯然f(x)在[x1, xn]上也連續(xù). 設(shè)M和m分別是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因?yàn)閤i206。f(xi)163。, +165。N, x206。, +165。 (B)f(x)與x同階但非等價(jià)無(wú)窮小。 (3) f(arctan x)。0, 即函數(shù)f(ex)的定義域?yàn)?165。x163。x163。1, 177。0, 所以f[f(x)]=f(x)。0, 所以f[g(x)]=0。 (3). 6. 把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無(wú)底圓錐. 試將這圓錐的體積表為a的函數(shù). 解 設(shè)圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有 R(2pa)=2pr , , . 圓錐的體積為 (0a2p). 7. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明. 證明 對(duì)于任意給定的e0, 要使, 只需|x3|e, 取d=e, 當(dāng)0|x3|d時(shí), 就有|x3|e, 即, 所以. 8. 求下列極限: (1)。 (5)(a0, b0, c0)。, +165。+165。0, 則稱(chēng)L為曲線y=f(x)的漸近線. 當(dāng)直線L的斜率k185。222。(x)的實(shí)際意義. 解 f(x+Dx)f(x)表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到x+Dx時(shí)成本的改變量. 表示當(dāng)產(chǎn)量由x改變到x+Dx時(shí)單位產(chǎn)量的成本. 表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)單位產(chǎn)量的成本. 4. 設(shè)f(x)=10x2, 試按定義, 求f 162。 解 . (2), 其中f(0)=0, 且f 162。(x0)]=2f 162。 (4)。 解 (1)y162。=. 61= 0. 6. (4). (5). (6). (7). 8. 已知物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t3(m). 求這物體在t=2秒(s)時(shí)的速度. 解v=(s)162。=cos x, 所以斜率分別為 , . 11. 求曲線y=cos x上點(diǎn)處的切線方程和法線方程式. 解y162。=2x, 割線斜率為. 令2x=4, 得x=2. 因此拋物線y=x2上點(diǎn)(2, 4)處的切線平行于這條割線. 14. 討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性: (1)y=|sin x|。+(0), 所以函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 解 因?yàn)? 又y(0)=0, 所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因?yàn)? , 所以函數(shù)在點(diǎn)x=0處可導(dǎo), 且y162。(0)是否存在？ 解 因?yàn)? f162。f+162。(x)=cos x 。(0)=, f+162。=csc2x 。 (3) y=2tan x+sec x1。 (7)。 解 (1) . (2) y162。=2sec2x+sec xtan x=sec x(2sec x+tan x). (4) y162。 =cos xcos x+sin x(sin x)=cos 2x. (5) y162。=3excos x+3ex(sin x)=3ex(cos xsin x). (7). (8). (9) y162。(2) . 解 (1)y162。=2cos x+2x, y162。 (5) y=sin2x 。 (9) y=(arcsin x)2。=sin(43x)(43x)162。=sec2(x2)(x2)162。 (3)。 (7)。 (2)。 (6)。 (10). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) y162。0, 試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 10. 設(shè)f(x)可導(dǎo), 求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2)。= f 162。(sin2x)(sin2x)162。(sin2x)2sin xcos x+f 162。 (2) y=sh xech x。 (6) y=arch(x2+1)。 (10) 解 (1) y162。=3sh2xch x+2ch xsh x =sh xch x(3sh x+2) . (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 12. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=ex(x22x+3)。 (5)。 (9) 。 (2) y=e2x1。 (6) y=ln(1x2) (7) y=tan x。 (11)。=2e2x1 2=4e2x1. (3) y=xcos x 。=sin xsin xxcos x=2sin xxcos x . (4) y162。=sec2 x, y162。162。162。(x)=120(x+10)3, f 162。162。(x2)(x2)162。=2f 162。(x2)+4x2f 162。162。=C1l2elx+C2l2elx. y162。2y162。=ex(sin x+cos x)+ex(cos xsin x)=2excos x . y162。 (2) y=sin2x 。162。 (4) y=xex . 解 (1) y162。2y162。=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y162。l2y=(C1l2elx+C2l2elx)l2(C1elx+C2elx) =(C1l2elx+C2l2elx)(C1l2elx+C2l2elx)=0 . 7. 驗(yàn)證函數(shù)y=exsin x滿(mǎn)足關(guān)系式: y162。=C1lelxC2lelx, y162。(x2). (2), . 4. 試從導(dǎo)出: (1)。162。(x2), y162。 (2) y=ln[f(x)] . 解 (1)y162。162。162。(2)=? 解f 162。=2sec x(sec x)162。162。=cos xxsin x, y162。=e2x1 2=2e2x1, y162。 (9) y=(1+x2)arctan x 。 (4) y=et sin t。=ex(x22x+3)+ex(2x2) =ex(x2+4x5). (2) y162。 (7)。 (3)。=sh(sh x)ch x . (2) y162。 (8) y=arctan(th x)。 (4) y=sh3x +ch2x 。(sin2x) f 162。(cos2x)(cos2x)162。(x2). (2) y162。=f 162。cos nx+sinnx(sin nx)(nx)162。 (8) y=ln[ln(ln x)] 。 (4)。 (9) y=ln(sec x+tan x)。 (5)。. (10). 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=arcsin(12x)。=2sin x(sin x)162。=4(2x+5)41(2x+5)162。 (7) y=tan(x2)。 (3)。 (2)該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 解 (1)v(t)=s162。=2xln x cos x+x2cos x+x2 ln x(sin x) 2x ln x cos x+x cos xx2 ln x sin x . (10). 3. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù): (1) y=sin xcos x , 求和. (2),求. (3), 求f 162。=2xln x+x2=x(2ln x+1) . (6) y162。=(sin x)162。=15x22x ln2+3ex. (3) y162。 (9) y=x2ln x cos x 。 (5) y=x2ln x 。=csc xcot x . 解 . . 2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)。(0)=1, 從而 f 162。(x)=1。(0)不存在. 17. 已知f(x)=, 求f 162。(0)=, 而f162。(0)及f162。(0)185。=ex, y162。(0)=0, 即f 162。=4x41=4x3 . (2). (3)y162。 (6)。 (2)。 解 . (3). 解 =f 162。=sin x. 解 . 6. 下列各題中均假定f 162。. 充分性: 如果, , 則 , 因此y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線. (2)因?yàn)? , 所以曲線的斜漸近線為y=2x+1. 習(xí)題21 1. 設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn), 在時(shí)間間隔[0, t]內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為q, 從而轉(zhuǎn)角q是t的函數(shù): q=q(t). 如果旋轉(zhuǎn)是勻速的, 那么稱(chēng)為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度, 如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的, 應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻t0的角速度？ 解 在時(shí)間間隔[t0, t0+Dt]內(nèi)的平均角速度為 , 故t0時(shí)刻的角速度為 . 2. 當(dāng)物體的溫度高于周?chē)橘|(zhì)的溫度時(shí), 物體就不斷冷卻, 若物體的溫度T與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為T(mén)=T(t), 應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻t的冷卻速度？ 解 物體在時(shí)間間隔[t0, t0+Dt]內(nèi), 溫度的改變量為 DT=T(t+Dt)T(t), 平均冷卻速度為 , 故物體在時(shí)刻t的冷卻速度為 . 3. 設(shè)某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費(fèi)的成本是f(x)元, 此函數(shù)f(x)稱(chēng)為成本函數(shù), 成本函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f162。165。165。165。, +165。 (3)。0, 所以g[f(x)]=f 2(x). 5. 利用y=sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形: (1)y=|sin x|。0, 所以g[g(x)]=0。1, 177。 cos x163。 arctan x 163。 ln x163。ex163。 (D)f(x)是比x低階的無(wú)窮小. 解 因?yàn)? (令2x1=t, 3x1=u) .所以f(x)與x同階但非等價(jià)無(wú)窮小, 故應(yīng)選B. 3. 設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex)。x0時(shí)的右極限f(x0+)及左極限f(x0)都存在且相等是存在的________條件.