【正文】 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: 設(shè)f(x)=2x+3x2, 則當(dāng)x174。, +165。M, x206。, +165。 i163。L|xy|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)f(b)0. 證明: 至少有一點(diǎn)x206。)內(nèi)連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因?yàn)? , 所以只須取a=1. 習(xí)題110 1. 證明方程x53x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間. 證明 設(shè)f(x)=x53x1, 則f(x)是閉區(qū)間[1, 2]上的連續(xù)函數(shù). 因?yàn)閒(1)=3, f(2)=25, f(1)f(2)0, 所以由零點(diǎn)定理, 在(1, 2)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(1x2), 使f(x)=0, 即x=x 是方程x53x=1的介于1和2之間的根. 因此方程x53x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間. 2. 證明方程x=asinx+b, 其中a0, b0, 至少有一個(gè)正根, 并且它不超過a+b. 證明 設(shè)f(x)=asin x+bx, 則f(x)是[0, a+b]上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b(a+b)=a[sin(a+b)1]163。 (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因?yàn)? , , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(165。 (2)。 (4)。, 3)、(3, 2)、(2, +165。n, , 處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù)。n, , 是f(x)的所有間斷點(diǎn), 且它們都是無窮間斷點(diǎn)。U(x0)時(shí), f(x)185。U(x0)時(shí), f(x)185。Z) 是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn). 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。0), 故x=kp(k185。2, )。)內(nèi)連續(xù), 在x=1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點(diǎn)處間斷, 說明這些間斷點(diǎn)屬于哪一類, 如果是可去間斷點(diǎn), 則補(bǔ)充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2。 (2) 若a ~b, 則, 從而. 因此b~a 。0), (x174。 (2)(n, m為正整數(shù))。0時(shí), y174。1時(shí), 1x和1x3是同階的無窮小, 但不是等價(jià)無窮小. (2)因?yàn)? 所以當(dāng)x174。時(shí), 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題 17 1. 當(dāng)x174。 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). 3. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . (13)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (5)。時(shí), 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習(xí)題15 1. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因?yàn)榉肿哟螖?shù)高于分母次數(shù)). 3. 計(jì)算下列極限: (1)。 解 . (13)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。 解 . (5)。0+ 時(shí), 函數(shù)不是無窮大. 這是因?yàn)? M0, 對(duì)所有的d0, 總可以找到這樣的點(diǎn)xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M. 習(xí)題15 1. 計(jì)算下列極限: (1)。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時(shí), 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x174。 時(shí)的無窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(165。e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)xX時(shí), 有恒f(x)M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(165。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)A|e. e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒f(x)M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒f(x)M.x174。+165。解f(x)174。e0, $X0, 使當(dāng)|x|X時(shí), 有恒|f(x)|M.x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有恒|f(x)A|e. x174。+165。0時(shí)x為無窮小, 所以. 5. 根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表:f(x)174。 (2). 解 (1)因?yàn)? 而當(dāng)x174。0時(shí). 因?yàn)閑0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時(shí), 有, 所以當(dāng)x174。 (2)當(dāng)x174。), 則對(duì)于e =1, $X0, 當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)A+A|163。165。165。x0時(shí)左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設(shè)f(x00)=f(x0+0)=A, 則e0, $d10, 使當(dāng)x0d1xx0時(shí), 有| f(x)Ae 。 $X20, 使當(dāng)xX2時(shí), 有|f(x)A|e . 取X=max{X1, X2}, 則當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當(dāng)x174。+165。時(shí), , 問X等于多少, 使當(dāng)|x|X時(shí), |y1|? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。4. 問d等于多少, 使當(dāng)|x2|d時(shí), |y4|？ 解 由于當(dāng)x174。 分析 因?yàn)? |(5x+2)12|=|5x10|=5|x2|, 所以要使|(5x+2)12|e , 只須. 證明 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)0|x2|d時(shí), 有 |(5x+2)12|e , 所以. (3)。a (n174。a(k 174。). 證明 因?yàn)閤2k1174。165。a(k174。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因?yàn)閿?shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。 分析 要使, 只須, 即. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)nN時(shí), 有, 所以. (2)。時(shí), 174。時(shí), 174。時(shí), 174。時(shí), 174。180。x163。 當(dāng)時(shí), 無解. 因此當(dāng)時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)閇a, 1a], 當(dāng)時(shí)函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個(gè)函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。xa163。x163。2 ) . (3) f(x+a)(a0)。(2n+1)p (n=0, 177。 解 由0163。 解 由0163。 解 y=sin2x, ,. (2) y=sin u, u=2x, ,。f(x)163。M. 這就證明了f(x)在X上有下界M和上界M. 再證充分性. 設(shè)函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1163。 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2)。 解 由得x=y31, 所以的反函數(shù)為y=x31. (2)。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x。 (3)。(0, l)且x1x2. 因?yàn)閒(x)在(0, l)內(nèi)單調(diào)增加且為奇函數(shù), 所以f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), f(x2)f(x1), 這就證明了對(duì)于x1, x2206。(0, +165。). 證明 (1)對(duì)于任意的x1, x2206。 (2) f(x)=x, g(x)=。0得函數(shù)的定義域D=(165。, 0)200。1得函數(shù)的定義域D=[2, 4]. (8)。2, )得函數(shù)的定義域?yàn)?k=0, 177。0得函數(shù)的定義D=[0, +165。0得函數(shù)的定義域D=[1, 0)200。(1, +165。177。 解 由3x+2179。f(x)=y . 因?yàn)閥206。A. 另一方面, 對(duì)于任意的x206。f(A) 222。A。Y, 有g(shù)(y)=x206。f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)222。Y, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f 1. 證明 因?yàn)閷?duì)于任意的y206。Y, 若存在一個(gè)映射g: Y174。f(B),所以 f(A199。f(A)且y206。B, 使f(x)=y219。f(A199。f(A)200。B) y206。A200。f(B). 證明 因?yàn)? y206。f(B)。Y, A204。AC 200。 x206。B219。(A199。(5, +165。(5, +165。B, A199。同濟(jì)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊課后答案全集第一章習(xí)題11 1. 設(shè)A=(165。), B=[10, 3), 寫出A200。, 3)200。, 10)200。BC . 證明 因?yàn)? x206。A199。B219。 x206。BC . 3. 設(shè)映射f : X 174。B)=f(A)200。f(A)199。$x206。A或x206。 y206。f(B). (2)因?yàn)? y206。A199。B) y206。 f(A)199。f(B). 4. 設(shè)映射f : X174。 對(duì)于每一個(gè)y206。x2, 必有f(x1)185。X, 因?yàn)閷?duì)每個(gè)y206。X . 證明: (1)f 1(f(A))201。 f(x)=y206。A. (2)由(1)知f 1(f(A))201。f(A), 使f 1(y)=x222。A. 因此f 1(f(A))=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1)。0得x185。(1, 1)200。0且1x2179。 解 由x179。1, 177。 解 由|x3|163。0得函數(shù)的定義域D=(165。). (10). 解 由x185。). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x。 (2)y=x+ln x, (0, +165。, 1)內(nèi)是單調(diào)增加的. (2)對(duì)于任意的x1, x2206。(l, 0)且x1x2, 有x1, x2206。 (2)y=3x2x3。 (6). 解 (1)因?yàn)閒(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). (4)因?yàn)閒(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因?yàn)? 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x2)。 解 不是周期函數(shù). (5)y=sin2x. 解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 14. 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1)。 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (4) y=2sin3x。f(x)163。 K1163。M. 這就證明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值: (1) y=u2, u=sin x, , 。 解 , , .