【正文】 (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=1. 解 y=e2x, y1=e21=e2, y2=e2(1)=e2. 17. 設(shè)f(x)的定義域D=[0, 1], 求下列各函數(shù)的定義域: (1) f(x2)。1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)閇1, 1]. (2) f(sinx)。x163。1, 177。1得a163。1且0163。1a。 (3)某一商行訂購(gòu)了1000臺(tái), 廠方可獲利潤(rùn)多少？ 解 (1)當(dāng)0163。=910. 01x. 綜合上述結(jié)果得到 . (2). (3) P=31180。165。165。165。165。時(shí), xn=n(1)n沒有極限. 2. 設(shè)數(shù)列{xn}的一般項(xiàng). 問=? 求出N, 使當(dāng)nN時(shí), xn與其極限之差的絕對(duì)值小于正數(shù)e , 當(dāng)e =, 求出數(shù)N. 解 . . e 0, 要使|x n0|e , 只要, 也就是. 取, 則nN, 有|xn0|e . 當(dāng)e =, =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1)。N, 當(dāng)nN時(shí), 有, 從而||un||a||163。N, 當(dāng)nN時(shí), 有. 從而當(dāng)nN時(shí), 有 , 所以. 6. 對(duì)于數(shù)列{xn}, 若x2k1174。a(k 174。165。), x2k 174。 $K2, 當(dāng)2k2K2時(shí), 有|x2ka|e . 取N=max{2K11, 2K2}, 只要nN, 就有|xna|e . 因此xn174。 分析 因?yàn)? |(3x1)8|=|3x9|=3|x3|, 所以要使|(3x1)8|e , 只須. 證明 因?yàn)閑0, $, 當(dāng)0|x3|d時(shí), 有 |(3x1)8|e , 所以. (2)。2時(shí), y=x2174。165。0時(shí)的極限是否存在. 證明 因?yàn)? , , , 所以極限存在. 因?yàn)? , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x174。時(shí), 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因?yàn)? , 所以e0, $X10, 使當(dāng)xX1時(shí), 有|f(x)A|e 。x0), 則e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有|f(x)A|e . 因此當(dāng)x0dxx0和x0xx0+d 時(shí)都有|f(x)A|e . 這說明f(x)當(dāng)x174。x0). 9. 試給出x174。時(shí)函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當(dāng)x174。165。3時(shí)為無窮小。3時(shí)為無窮小. (2)當(dāng)x185。0時(shí), 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當(dāng)時(shí), |y|104. 4. 求下列極限并說明理由: (1)。1), 而當(dāng)x174。f(x)174。x174。165。165。f(x)174。x174。165。165。+165。, +165。0+時(shí)的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界. 這是因?yàn)? M0, 在(0, 1]中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)(k=0, 1, 2, )時(shí), 有, 當(dāng)k充分大時(shí), y(xk)M. 當(dāng)x174。 解 . (4)。 解 . (8)。 解 . (12)。 解 因?yàn)? 所以. (2)。165。 解 . (4)。 解 . (8)。 解 . (12)。 解 因?yàn)? 所以. (2)。165。1時(shí), 無窮小1x和(1)1x3, (2)是否同階？是否等價(jià)？ 解 (1)因?yàn)? 所以當(dāng)x174。 (2). 證明 (1)因?yàn)?提示: 令y=arctan x, 則當(dāng)x174。0時(shí), . 4. 利用等價(jià)無窮小的性質(zhì), 求下列極限: (1)。0), (x174。 (3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性). 證明 (1), 所以a ~a 。, 1)和(1, +165。1, 177。Z)處無定義, 因而這些點(diǎn)都是函數(shù)的間斷點(diǎn). 因(k185。Z), 所以x=0和(k206。0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)x206。U(x0)時(shí), f(x)0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)x206。2, , , 177。2, , , 177。)內(nèi)除點(diǎn)x=2和x=3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。 (3)。 (7). 解 (1)因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)x=0有定義, 所以 . (2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點(diǎn)有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1)。 (5)。, +165。(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=asinx+b的一個(gè)不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個(gè)正根, 并且它不超過a+b. 3. 設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于閉區(qū)間[a, b]上的任意兩點(diǎn)x、y, 恒有|f(x)f(y)|163。[x1, xn](1163。M, 從而有 , . 由介值定理推論, 在[x1, xn]上至少有一點(diǎn)x , 使 . 5. 證明: 若f(x)在(165。)內(nèi)有界. 證明 令, 則對(duì)于給定的e0, 存在X0, 只要|x|X, 就有 |f(x)A|e , 即Aef(x)A+e . 又由于f(x)在閉區(qū)間[X, X]上連續(xù), 根據(jù)有界性定理, 存在M0, 使|f(x)|163。(165。)內(nèi)有界. 6. 在什么條件下, (a, b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f(x)為一致連續(xù)？總習(xí)題一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個(gè)正確的填入下列空格內(nèi): (1)數(shù)列{xn}有界是數(shù)列{xn}收斂的________條件. 數(shù)列{xn}收斂是數(shù)列{xn}有界的________的條件. (2)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界是存在的________條件. 存在是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界的________條件. (3) f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界是的________條件. 是f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)無界的________條件. (4)f(x)當(dāng)x174。 (C)f(x)是比x高階的無窮小。 (4) f(cos x). 解 (1)由0163。, 0]. (2) 由0163。e , 即函數(shù)f(ln x)的定義域?yàn)閇1, e]. (3) 由0163。tan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域?yàn)閇0, tan 1]. (4) 由0163。2, ), 即函數(shù)f(cos x)的定義域?yàn)閇], (n=0, 177。 因?yàn)間(x)163。 因?yàn)閒(x)179。 (2)。 (6). 解 (1)因?yàn)? 所以. (2) . (3) . (4) (提示: 用等價(jià)無窮小換). (5), 因?yàn)? , , 所以 . 提示: 求極限過程中作了變換ax1=t, bx1=u, cx1=v. (6), 因?yàn)? , , 所以 . 9. 設(shè), 要使f(x)在(165。)內(nèi)連續(xù). 10. 設(shè), 求f(x)的間斷點(diǎn), 并說明間斷點(diǎn)所屬類形. 解 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處無定義, 所以x=1是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn). 因?yàn)?提示), (提示), 所以x=1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). 又因?yàn)? , 所以x=0也是函數(shù)的間斷點(diǎn), 且為第一類間斷點(diǎn). 11. 證明. 證明 因?yàn)? 且 , , 所以. 12. 證明方程sin x+x+1=0在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根. 證明 設(shè)f(x)=sin x+x+1, 則函數(shù)f(x)在上連續(xù). 因?yàn)? , , 所以由零點(diǎn)定理, 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)x, 使f(x)=0. 這說明方程sin x+x+1=0在開區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根. 13. 如果存在直線L: y=kx+b, 使得當(dāng)x174。, x174。0時(shí), 稱L為斜漸近線. (1)證明: 直線L: y=kx+b為曲線y=f(x)的漸近線的充分必要條件是 , . (2)求曲線的斜漸近線. 證明 (1) 僅就x174。, 同時(shí)有 222。(1). 解 . 5. 證明(cos x)162。(0)存在。(x0). 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=x4。 (5)。=(x4)162。=3t2, v|t=2=12(米/秒). 9. 如果f(x)為偶函數(shù), 且f(0)存在, 證明f(0)=0. 證明 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí), f(x)=f(x), 所以 , 從而有2f 162。=sin x, , 故在點(diǎn)處, 切線方程為, 法線方程為. 12. 求曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程. 解y162。 (2) . 解 (1)因?yàn)? y(0)=0, , , 所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因?yàn)? , , 而y162。(0)=0. 15. 設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo), a, b應(yīng)取什么值？ 解 因?yàn)? , , f(1)=a+b, 所以要使函數(shù)在x=1處連續(xù), 必須a+b=1 . 又因?yàn)楫?dāng)a+b=1時(shí) , , 所以要使函數(shù)在x=1處可導(dǎo), 必須a=2, 此時(shí)b=1. 16. 已知求f+162。(0)=, f+162。(0), 所以f 162。 當(dāng)x0時(shí), f(x)=x, f 162。(0)=, 所以f 162。 (csc x)162。 (4) y=sin xcos x 。 (8)。=(5x32x+3ex)162。=(sin xcos x)162。=(x2ln x)162。=(x2ln x cos x)162。=cos x+sin x, , . (2), . (3), , . 4. 以初速v0豎直上拋的物體, 其上升高度s與時(shí)間t的關(guān)系是. 求: (1)該物體的速度v(t)。|x=0=2, 又當(dāng)x=0時(shí), y=0, 所以所求的切線方程為 y=2x, 所求的法線方程為 , 即x+2y=0. 6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=(2x+5)4 (2) y=cos(43x)。 (6)。 (10) y=lncos x. 解 (1) y162。=sin(43x)(3)=3sin(43x). (3). (4). (5) y162。=2xsec2(x2). (8). (9) y162。 (4)。 (8)。 (3)。 (7)。=n sinn1x(sin x)162。 (2) y=f(sin2x)+f(cos2x). 解 (1) y162。(x2)2x=2xf 162。+f 162。(cos2x)2cosx(sin x) =sin 2x[f 162。 (3) y=th(ln x)。 (7) y=arch(e2x)。=sh(sh x)(sh x)162。 (2) y=sin2xsin(x2)。 (6)。 (10). 解 (1) y162。 (3) y=xcos x。 (8)。 (12). 解 (1), . (2) y162。 y162。=etsin t+etcos t=et(cos tsin t) y162。162。162。(x)=30(x+10)4, f 162。162。(x)存在, 求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2)。=2xf 162。(x2)+2x2xf 162。162。l2y=0 . 解 y162。162。+2y=0 . 解 y162。162。 (3) y=xln x