【正文】 ,0 ?? ba為可去間斷點 , )1(elim 1 ??? ? xx bxx 極限存在 0)(elim 1 ??? bxx eelim 1 ?? ? xxb例 3. 設(shè)函數(shù) 試確定常數(shù) a 及 b . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間 上 , , 若 f (x) 在 連續(xù) , 提示 : )(lim 0 xxfx ???? )]()([lim0 xfxfx ??? ??)0()( fxf ??)0( ?? xf )( xf?閱讀與練習 且對任意實數(shù) 證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) . P65 題 1 , 3(2) 。 3。 ),( 4321 ? 可用此法求近似根 . 二分法 ????在區(qū)間 內(nèi)至少有 則 則 4321內(nèi)容小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 *三 . 一致連續(xù)性 已知函數(shù) 在區(qū)間 I 上連續(xù) , 即 : 一般情形 , ., 0 都有關(guān)與 x?? 就引出 了一致連續(xù)的概念 . 定義 : 對 任意 的 都有 在 I 上一致連續(xù) . 顯然 : 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如 , 但不一致連續(xù) . 因為 取點 則 可以任意小 但 這說明 在 ( 0 , 1 ] 上不一致連續(xù) . 定理 4. 上一致連續(xù) . (證明略 ) 思考 : P74 題 *7 提示 : 設(shè) 存在 , 作輔助函數(shù) 顯然 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 在 上達到最大值與最小值 。 而 )]([lim 1 xfx ??? 21lim xx ??? 1?)]([l i m1 xfx ??? )2(l i m1 xx ??? ?? 3??故 x = 1為第一類間斷點 . 1)(),(2 ?xx ??1)(,)(2 ?? xx ??,)]([1 為初等函數(shù)時 xfx ??在點 x = 1 不連續(xù) , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 基本初等函數(shù) 在定義區(qū)間內(nèi) 連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的 四則運算 結(jié)果仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的 反函數(shù) 連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的 復合函數(shù) 連續(xù) 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 說明 : 分段函數(shù)在界點處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習 續(xù) ? 反例 x 為有理數(shù) x 為無理數(shù) 處處間斷 , 處處連續(xù) . 反之是否成立 ? 作業(yè) P69 3 (5) , (6) , (7) 。 (3) 函數(shù) 存在 , 但 )()(lim 00xfxfxx??不連續(xù) : 設(shè) 在點 的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形 這樣的點 之一 , 函數(shù) f (x) 在點 雖有定義 , 但 雖有定義 , 且 稱為 間斷點 . 在 無定義 。 4 (2) , (3) , (4) 。 則稱 ? 是關(guān)于 ? 的 k 階 無窮小 。_ _ _ _)11( ????nn n0 10 1e? 作業(yè) P56 1 (4)， (5)， (6) 。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 兩個重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 及夾逼準則 第六節(jié) 極限存在準則及 兩個重要極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準則 1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系 定理 1. Axfxx??)(lim0? ?:nx? ,0xx n ? 有定義 , ),(0 ??? nxx nAxf nn ??? )(lim為確定起見 , 僅討論 的情形 . 0xx ?有 )( nxf??x??nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1. Axfxx ?? )(li m 0)(,0 nn xfxx ?有定義 , 且 設(shè) ,)(lim0Axfxx ?? 即 ,0??? ,0??? 當 有 .)( ??? Axf? ?:nx? )(,0 nn xfxx ? 有定義 , 且 對上述 ? , 時 , 有 于是當 Nn ? 時 .)( ??? Axf n故 Axf nn ??? )(l im可用反證法證明 . (略 ) .)(li m Axf nn ???有 證： 當 ??xyA? ?,N?“ ” “ ” 0xO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1. Axfxx ?? )(lim 0)(,0 nn xfxx ? 有定義 且 .)(li m Axf nn ???有 說明 : 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 . 法 1 找一個數(shù)列 ,0xx n ?不存在 . )(l i m nn xf??使法 2 找兩個趨于 的不同數(shù)列 ? ?nx 及 ? ?,nx? 使 )(li m nn xf?? )(lim nn xf ?? ??)( ??x)( ??nx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 證明 不存在 . 證 : 取兩個趨于 0 的數(shù)列 π21nx n ? 及 2ππ21???nx n有 nn x1si nlim??nn x???1si nlim由定理 1 知 不存在 . ),2,1( ??n0π2sinl i m ?? ?? nn1)π2s in (lim 2π ??? ?? nn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 函數(shù)極限存在的夾逼準則 定理 2. ,),( 0 時當 ?xUx ??Axhxg xxxx ?? ?? )(lim)(lim00,)()( xhxg ??)(xfAxfxx ?? )(lim0)0( ?? Xx)( ??x )( ??x)( ??x且 ( 利用定理 1及數(shù)列的夾逼準則可證 ) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1si nc o s ?? x xx圓扇形 AOB的面積 二、 兩個重要極限 證 : 當 即 ?xsi n21 xtan21?亦即 )0(t a ns i n 2π???? xxxx),0( 2π?x 時， )0( 2π?? x顯然有 △ AOB 的面積 ＜ ＜△ AOD的面積 故有 注 注 OBAx1DC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : x xx ta nlim0? ???????? xxxx c o s1sinl i m0xxxsi nlim0?? xx c o s1lim0?? 1?例 3. 求 解 : 令 ,a rc s in xt ? 則 ,sin tx ? 因此 原式 ttt si nlim0??ttsin1?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20s i nl i m????????x2x2x21nnnR ππ2 c o ss i nlim???Rπn例 4. 求 解 : 原式 = 2 220si n2l i mxxx ?2121??例 5. 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為 證明 : 證 : nn A??limnππnnn RnA ππ2 c o ss i n?說明 : 計算中注意利用 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 證 : 當 0?x 時 , 設(shè) ,1??? nxn 則 xx )1( 1? 11 )1( ??? nn?? ? nn )1( 11nnn )1(l im 11??? ? lim???n111 )1( ??? nn111 ?? ne?11 )1(l im ??? ?nnn ]1)1[(lim 11 ）（ nnnn ??? ?? e?e)1(lim 1 ????? xxx(P53~54) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當 ,)1( ??? tx 則 從而有 )1(11 )1(l i m?????? ??ttt)1(1 )(lim???????tt tt 11 )1(l im ???? ?? ttt)]1()1[(l im 11 tttt ??? ??? e?故 e)1(lim 1 ????xxx說明 : 此極限也可寫為 e)1(l i m 10 ???zzz時 , 令 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : 令 ,xt ?? 則 ttt??? ? )1(lim