【正文】 11?xOy2π2π?遞增 . xsinxarcsin目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的 . 在 上連續(xù) 其反函數(shù) 在 上也連續(xù)單調(diào)遞增 . 證 : 設(shè)函數(shù) .)( 00 ux ??于是 )(li m0ufuu ? )]([ 0xf ??故復(fù)合函數(shù) 又如 , 且 即 xyOxy ln?exy ?11單調(diào) 遞增 , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如 , 是由連續(xù)函數(shù)鏈 *R?x因此 在 *R?x 上連續(xù) . 復(fù)合而成 , xy1si n?xyO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1 . 設(shè) 均在 上連續(xù) , 證明函數(shù) 也在 上連續(xù) . 證 : )()( xgxf ?)()( xgxf ??根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 , 可知 也在 上 連續(xù) . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù) 一切初等函數(shù)在 定義區(qū)間內(nèi)連續(xù) 例如 , 21 xy ?? 的連續(xù)區(qū)間為 (端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù) ) xy s inln? 的連續(xù)區(qū)間為 1c o s ?? xy 的定義域?yàn)? 因此它無連續(xù)點(diǎn) 而 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : 原式 例 3. 求 解 : 令 ,1?? xat 則 ,)1(lo g tx a ??原式 )1(l o glim 0 ttat ???說明 : 由此可見當(dāng) 時(shí) , 有 ~)1ln ( x? ~1e ?xx x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 4. 求 解 : 原式 )21l n (si n3 xx ?x3說明 : 若 ,0)(lim0?? xuxx 則有 ? ? ??? )()(1l i m0xvxx xu,)(lim0??? xvxxee?)()(lim0xuxvxx ?x2?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ???????1,41,)(xxxxx?例 5. 設(shè) 解 : 討論復(fù)合函數(shù) 的連續(xù)性 . ?1,2 ?xx1,2 ??? xx故此時(shí)連續(xù) 。 4 (4) , (5) ,(6) 。 )1,(21取 的中點(diǎn) ,43?x ,0)( 43 ?f內(nèi)必有方程的根 。 上可取最大與最小值之間的任何 值 。 在 在 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 任給一張面積為 A 的紙片 (如圖 ), 證明必可將它 思考與練習(xí) 一刀剪為面積相等的兩片 . 提示 : 建立坐標(biāo)系如圖 . xOy??則面積函數(shù) ],[)( ??? CS ?因 ,0)( ??S AS ?)(?故由介值定理可知 : ,),(0 ??? ?? .2)( 0 AS ??使)(?S?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則 證明至少存在 使 提示 : 令 則 易證 2. 設(shè) 作業(yè) P74 (習(xí)題 1－ 10） 2 。 5 一點(diǎn) 習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題 至少有一個(gè)不超過 4 的 證 ： 證明 令 且 根據(jù)零點(diǎn)定理 , 原命題得證 . 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 在開區(qū)間 顯然 正根 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 連續(xù)與間斷 一、 函數(shù) 三、 極限 習(xí)題課 函數(shù)與極限 第一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( xfy ?yxO D一、 函數(shù) 1. 概念 定義 : 定義域 值域 圖形 : ( 一般為曲線 ) 設(shè) 函數(shù)為特殊的映射 : 其中 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 特性 有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函數(shù) 設(shè)函數(shù) 為單射 , 反函數(shù)為其逆映射 DDff ?? )(:14. 復(fù)合函數(shù) 給定函數(shù)鏈 則復(fù)合函數(shù)為 ])([: DgfDgf ??5. 初等函數(shù) 有限個(gè) 常數(shù)及基本初等函數(shù) 經(jīng) 有限次 四則運(yùn)算與 復(fù)合而成的 一個(gè) 表達(dá)式的函數(shù) . gf ?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí) 1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么 ? )a rc c o s2c o s ()()1( xxf ? ]1,1[,12)( 2 ???? xxx?與??????axaaxxxf,)()2( ? ?2)(21)( xaxax ?????與??????0,0,0)()3(xxxxf )]([)( xffx ??與相同 相同 相同 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù) ? 為什么 ? 1s in1)1(?? xy? ? ],0[,c o s,s i nm a x)2( 2π?? xxxy22,a rc s i n)3( xuuy ???不是 4π0 ?? x,cos x2π4π ?? x,sin x是 不是 提示 : (2) ?y目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0?x????????0,10,1)()4(33xxxxxf???????0,10,1)()2(xxxf??????1,41,2)()3(xxxf,2xx?xyO421⑶ ????????1,11,13xx1)1(3 2????xx,1 6x??O xy11?⑵ 1?xR?x3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ? ???????0,0,)()1(xxxxxf 2x?以上各函數(shù)都是初等函數(shù) . xy 1 ⑷ O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 設(shè) ,0)(,1)]([,e)( 2 ???? xxxfxf x ?? 且求 )(x?及其定義域 . 5. 已知 ??? ?? ??? 8,)]5([ 8,3)( xxff xxxf , 求 .)5(f6. 設(shè) ,c o sc sc)sin 1(si n 22 xxxxf ??? 求 .)(xf由 得 ,)1l n ()( xx ??? ]0,(???xxx )(x?4. 解 : )(x?目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ][ f?5. 已知 ??? ?? ??? 8,)]5([ 8,3)( xxff xxxf , 求 .)5(f解 : )5(f )( f?)10(f )(7f? ][ f?)( f? )(9f? 6?6. 設(shè) ,c o sc sc)sin 1(si n 22 xxxxf ??? 求 .)(xf解 : 1sinsin 1)sin 1(sin 22 ???? xxxxf?3)si n1(si n 2 ??? xx3)( 2 ??? xxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解 : 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 . ,1xxt ?? ,11 tx ?? 代入原方程得 ,11 1 uux ?? ? 代入上式得 設(shè) 其中 ，求 令 即 即 令 即 畫線三式聯(lián)立 即 例 1. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、 連續(xù)與間斷 1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式 )()(lim 00xfxfxx ??? ?)()(, 000 xfxxfyxxx ????????0lim 0 ???? yx)()()( 000 xfxfxf ?? ??,0??? ,0??? ,0 時(shí)當(dāng) ??? xx有 ??? )()( 0xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn) 可去間斷點(diǎn) 跳躍間斷點(diǎn) 無窮間斷點(diǎn) 振蕩間斷點(diǎn) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有界定理 。 零點(diǎn)定理 。 P74 題 *6 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證 : P74 題 *6. 證明 : 若 令 ,)(lim Axfx ???則給定 ,0,0 ??? X?當(dāng) Xx ?時(shí) , 有 ?? ???? AxfA )(又 ,],[)( XXCxf ?? 根據(jù)有界性定理 , 01 ?? M , 使 ],[,)( 1 XXxMxf ???取 ? ?1,m a x MAAM ?? ???則 ),(,)( ????? xMxf)(xf在 ),( ????內(nèi)連續(xù) , )(l