【正文】 dyxfdyxf DD ???? ? ),(),( 5. 估值不等式 設(shè) M 與 m 分別是 ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上最大值和最小值 ,? 是 M 的面積 ,則 ?? ???? D Mdyxfm ??? ),( 6. 二重積分的中值定理 設(shè)函數(shù) ? ?,f x y 在閉區(qū)域 D 上連續(xù) , ? 是 D 的面積 ,則在 D 上至少存在一點(diǎn) ? ?,?? ,使得 ?? ??D fdyxf ???? ),(),( 例 1 估計(jì)二重積分 ? ?2249D x y d?????的值 ,D 是圓域 x y2 2 4? ? 。 （ 2） ln( )D x y d????與2[ln( )]D x y d????，其中 D 是三角形區(qū)域，三頂點(diǎn)分別為(1, 0), (1,1), (2, 0)。 作業(yè)： 79 頁 4（ 2）（ 4）； 5（ 2） 86 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 167。 一、 利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 １、 x 型 區(qū)域， y 型 區(qū)域 我們用幾何觀點(diǎn)來討論二重積分 ? ?,D f x y d???的計(jì)算問題。 圖 921 圖 922 據(jù)二重積分的幾何意義可知 , ? ?,D f x y d???的值等于以 D 為底 ,以曲面 ? ?,z f x y?為頂?shù)?曲頂柱體 的體積。 這個(gè)先對(duì) y , 后對(duì) x 的二 次積分也常記作 f x y d dx f x y dyD ab xx( , ) ( , )( )( )? ???? ? ??12 在上述討論中 ,假定了 ? ?,0f x y ? ，利用二重積分的幾何意義 ,導(dǎo)出了二重積分的計(jì)算公式 (1)。 例 1 計(jì)算 I x d D x y x yD? ? ? ? ? ? ? ??? ( ) {( , ) | , }1 1 1 0 22 ? ? ? dxyxdyxdxI 2020 220 211 )1()1( ??? ?? ???? 88 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 38322)1(2113112 ????????xxdxx 類似地 ,如果積分區(qū)域 D 可以用下述不等式 c y d y x y? ? ? ?, ( ) ( )? ?1 2 表示 , 且 函 數(shù) ?1( )y , ?2( )y 在 [ , ]c d 上 連 續(xù) , ? ?,f x y 在 D 上 連 續(xù) , 則f x y d f x y dx dy dy f x y dxD yycdcdyy( , ) ( , ) ( , )( )( )( )( )??????? ?? ? ?? ???????? ?1212 (2) 圖 924 圖 925 顯然 ,(2)式是先對(duì) x ,后對(duì) y 的二次積分。 如果積分區(qū)域不滿足這一條件時(shí) ,可對(duì)區(qū)域進(jìn)行剖分 ,化歸為 I 型 (或 II 型 )區(qū)域的并集。這里 ,我們介紹配置二次積分限的方法 幾何法。 例 2 計(jì)算D xyd???, 其中 D 是由拋物線 y x2? 及直線 y x? ?2 所圍成的區(qū)域。 解 1. 作出該立體的簡(jiǎn)圖 , 并確定它在 xoy 面上的投影區(qū)域 90 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì) 六版講義 圖 927 消去變量 z 得一垂直于 xoy 面的柱面 222xy??,立體鑲嵌在其中 ,立體在 xoy 面的投影區(qū)域就是該柱面在 xoy 面上所圍成的區(qū)域 D x y: 2 2 2? ? 2. 列出體積計(jì)算的表達(dá)式 V x y x y dD? ? ? ? ??? [ ( ) ( ) ]6 2 22 2 2 2 ? ? ??? ( )6 3 32 3x y dD ? 3. 配置積分限 , 化二重積分為二次積分并作定積分計(jì)算 圖 928 V d x d y dD D D? ? ??? ?? ??6 3 32 2? ? ? 而 2D d????? 由 ,xy的對(duì)稱性有 x d y dD D2 2? ??? ??? x d x dx dy x x dxD xx2 22222 2 22222 2 2??? ? ? ?? ? ?? ? ??? 91 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 ? ? ?? ?4 2 4 42 20 2 2 20 2x x dx s i n c o s? ?? ? ? ? ?? ?16 2 1 2 12 2 2( ) !!( ) !!( ) !! ?? ? ?? ?16 1 14 2 2??? 所求立體的體積為 V ? ? ?12 6 6? ? ? 例 4計(jì)算2D x yd???，其中 D 為 2 2 2 , 0 , 0x y a x y? ? ? ?。 例 5計(jì)算 ()D x y dxdy???，其中 D 是由直線 1, 2 , , 3x x y x y x? ? ? ?所圍成。 11[ (1 2 )6 e?? 例 7計(jì)算2||D y x dxdy???，其中 { ( , ) | | | 1 , 0 2 }D x y x y? ? ? ? 。 例 10 計(jì)算 10sinxxydx dyy?? 。９ 2 二重積分的計(jì)算法 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 1. 變換公式 按照二重積分的定義有 f x y d fD i i ii n( , ) lim ( , )? ? ? ???? ?? ? ?0 1 ? 圖 929 現(xiàn)研究這一和式極限在極坐標(biāo)中的形式。 除 了包含 邊界 點(diǎn)的一 些小閉 區(qū)域外 ,小 閉區(qū) 域 i?? 的面 積可如 下計(jì) 算iiiiiiiiii rrrrrr ???? ???????????? )2(2121)(21 22iiiiiiii rrrrrr ?? ????????? 2 )( 其中 ,ir 表示相鄰兩圓弧半徑的平均值。 (1)式的記憶方法 : x r? c o s ?y r? s in ?d x d y r d r d? ?f x y dx dyD( , )?? f r r r d rdD ( c o s , s i n )? ? ??? 2. 極坐標(biāo)下的二重積分計(jì)算法 極坐標(biāo)系中的二重積分 , 同樣可以化歸為二次積分來計(jì)算。 圖 9210 則 f r r r dr d d f r r r drD ( c o s , s i n ) ( c o s , s i n )( )( )? ? ? ? ? ??? ? ?? ??? ? ??12 95 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (2) 積分區(qū)域 D為下述形式 圖 9211 顯然 ,這只是 (1)的特殊形式 ? ?1 0??? ( 即極點(diǎn)在積分區(qū)域的邊界上 )。 例 1 計(jì)算I dx dyx y a x y aa xa a x? ? ? ? ? ?? ??? ? ?0 2 2 2 2 24 02 2 ( ) ( ) 解 此積分區(qū)域?yàn)? D x a x y a a x: ,0 2 2? ? ? ? ? ? ? ? 區(qū)域的簡(jiǎn)圖為 圖 9213 該區(qū)域在極坐標(biāo)下的表示形式為 D r a: , si n? ? ? ? ? ?? ? ?4 0 0 2 I r d r dr a r d dra r ra dDa a?? ? ? ???? ????? ? ? ??? ??? ? ??? ??4 4 22 2402 2020240s i n s i nar c s i n? ? ? ? ?? ?? ( )? ? ? ?? ?d40 240 212 32 例 2計(jì)算2D x yd???，其中 D 為 2 2 2 , 0 , 0x y a x y? ? ? ?。 例 3 計(jì)算 2222sin (Dxy dxy? ?????，其中 D 為 2214xy? ? ? 。 例 4計(jì)算22()xyD ed????? ，其中 D 為 2 2 2x y a??。 []? 。 例 7 把積分 ( , )D f x y dxdy??表為 極坐標(biāo) 形式 的 二次積分 （ 1） 2: 1, 1 1D x y x? ? ? ? ?。 例 9利用 極坐標(biāo) 計(jì)算 二重積分 21 2 22 2 2 20 0 1 0xxI d x x y d y d x x y d y?? ? ? ?? ? ? ? 小結(jié)： 二重積分計(jì)算公式 極坐標(biāo)系下 ?? ? ??D drrrfdr dr drrf?????? ??????)()(21 )s i n,c os()s i n,c os( 作業(yè)： 96頁 11（ 3），（ 4）； 13（ 1），（ 4）； 14（ 1），（ 2）； 15（ 2），（ 4）。９ 3 三重積分的概念及其計(jì)算法 一、三重積分的概念 1． 三重積分的定義 設(shè) ),( zyxf 是空間閉區(qū)域 ? 上 的有界函數(shù) ,將 ? 任意地分劃成 n 個(gè)小區(qū)域 ? ? ?v v v n1 2, , ,? ，其中 iv? 表示第 i 個(gè)小區(qū)域 ,也表示它的體積。 自然地 ,體積元素在 直角坐標(biāo)系下也可記作成 dxdydz 。 3． 三重積分的物理意義 如果 ),( zyxf 表示某物體在 ),( zyx 處的質(zhì)量密度 , ? 是該物體所占有的空間區(qū)域 ,且 ),( zyxf 在 ? 上連續(xù) ,則和式 ?? ?ni iiii vf1 ),( ???就是物體質(zhì)量 m 的近似值 , 該和式當(dāng) 0?? 時(shí)的極限值就是該物體的質(zhì)量 m 。 1． 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分 假設(shè)積分區(qū)域 ? 的形狀如下圖所示 . ? 在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)?xyD , 過 xyD 上任意一點(diǎn) , 作平行于 z 軸的直線穿過 ? 內(nèi)部 , 與 ? 邊界曲面相交不多于兩點(diǎn)。 S z z x y1 1: ( , )? , S z z x y2 2: ( , )? 其中 z xy1( , ) , z xy2( , ) 在 xyD 上連續(xù) , 并且 z x y z x y1 2( , ) ( , )? 。 如果平行于 z 軸且穿過 ? 內(nèi)部的直線與邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個(gè) ,可仿照二重積分計(jì)算中所采用的方法 , 將 ? 剖分成若干個(gè)部分 ,(如 ??1 2, ),使在 ? 上的三重積分化為各部分區(qū)域 ( ??1 2, )上的三重積分 ,當(dāng)然各部分區(qū)域 (??1 2, ) 應(yīng)適合對(duì)區(qū)域的要求。 解 (1) 畫出立體的簡(jiǎn)圖 圖 942 101 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講義 (2) 找出立體 ? 在某坐標(biāo)面上的投影區(qū)域并畫出簡(jiǎn)圖 ? 在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)? D x y x yxy : , ,2 2 1 0 0? ? ? ? (3) 確定另一積分變量的變化范圍 在 xyD 內(nèi)任取一點(diǎn) , 作一過此點(diǎn)且平行于 z 軸的直線穿過區(qū)域 ? , 則此直線與 ? 邊界曲面的兩交點(diǎn)之豎坐標(biāo)即為 z 的變化范圍。 1[]48 102 吉林建筑工程學(xué)院城建學(xué)院高等數(shù)學(xué)同濟(jì)六版講 義 例 3 計(jì)算 三重積分2z dxdydz????，其中 ? 是由橢球面 2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ?所圍成的空間區(qū)域。 4[]15 a