【正文】 。 OB 的方程為, x從0變到1. 因此 . 第二種方法: 以y為積分變量. L的方程為x=y2, y從1變到1. 因此 . 例2. 計算. (1)L為按逆時針方向繞行的上半圓周x2+y2=a2 。 (2)拋物線x=y2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧。 AB: x=1, y從0變到1. =0+1=1. 例4. 計算, 其中G是從點A(3, 2, 1)到點B(0, 0, 0)的直線段. 解: 直線AB的參數(shù)方程為 x=3t, y=2t, x=t, t從1變到0. 所以所以 . 例5. 設(shè)一個質(zhì)點在M(x, y)處受到力F的作用, F的大小與M到原點O的距離成正比, F的方向恒指向原點. 此質(zhì)點由點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), 求力F所作的功W. 例5. 一個質(zhì)點在力F的作用下從點A(a, 0)沿橢圓按逆時針方向移動到點B(0, b), F的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比, 方向恒指向原點. 求力F所作的功W. 解: 橢圓的參數(shù)方程為x=acost, y=bsint , t從0變到. , , 其中k0是比例常數(shù). 于是 . . 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 由定義, 得 , 其中F={P, Q}, T={cost, sint}為有向曲線弧L上點(x, y)處單位切向量, dr=Tds={dx, dy}. 類似地有 . 其中F={P, Q, R}, T={cosa, cosb, cosg}為有向曲線弧G上點(x, y, z)處單們切向量, dr=Tds ={dx, dy, dz }. 167。y163。x163。x163。y163?！碧?？ ) 例3. 計算, 其中D是以O(shè)(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)為頂點的三角形閉區(qū)域. 分析: 要使, 只需P=0, . 解: 令P=0, , 則. 因此, 由格林公式有 . 例4 計算, 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向. 解: 令, . 則當(dāng)x2+y2185。D時, 由格林公式得。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時針方向. 于是 =2p. 解 記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(dāng)(0, 0)207。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D1, 應(yīng)用格林公式得, 即, 其中l(wèi)的方向取順時針方向. 于是 =2p.分析: 這里, , 當(dāng)x2+y2185。 219。, 所以有以下結(jié)論: 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)相當(dāng)于沿G內(nèi)任意閉曲線C的曲線積分等于零. 定理2 設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)（或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 充分性易證: 若, 則, 由格林公式, 對任意閉曲線L, 有. 必要性: 假設(shè)存在一點M0206。0時, , 所以如果(0, 0)不在L所圍成的區(qū)域內(nèi), 則結(jié)論成立, 而當(dāng)(0, 0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)時, 結(jié)論未必成立. 三、二元函數(shù)的全微分求積 曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 表明曲線積分的值只與起點從點(x0, y0)與終點(x, y)有關(guān). 如果與路徑無關(guān), 則把它記為 即 . 若起點(x0, y0)為G內(nèi)的一定點, 終點(x, y)為G內(nèi)的動點, 則 u(x, y)為G內(nèi)的的函數(shù). 二元函數(shù)u(x, y)的全微分為du(x, y)=ux(x, y)dx+uy(x, y)dy. 表達式P(x, y)dx+Q(x, y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結(jié)構(gòu), 但它未必就是某個函數(shù)的全微分. 那么在什么條件下表達式P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某個二元函數(shù)u(x, y)的全微分呢？當(dāng)這樣的二元函數(shù)存在時怎樣求出這個二元函數(shù)呢？ 定理3 設(shè)開區(qū)域G是一個單連通域, 函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則P(x, y)dx+Q(x, y)dy 在G內(nèi)為某一函數(shù)u(x, y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內(nèi)恒成立. 簡要證明: 必要性: 假設(shè)存在某一函數(shù)u(x, y), 使得du=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 則有 , . 因為、連續(xù), 所以, 即. 充分性: 因為在G內(nèi), 所以積分在G內(nèi)與路徑無關(guān). 在G內(nèi)從點(x0, y0)到點(x, y)的曲線積分可表示為 考慮函數(shù)u(x, y). 因為 u(x, y) , 所以 . 類似地有, 從而du =P(x, y)dx+Q(x, y)dy. 即P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某一函數(shù)的全微分. 求原函數(shù)的公式: , , . 例6 驗證:在右半平面(x0)內(nèi)是某個函數(shù)的全微分, 并求出一個這樣的函數(shù). 解: 這里, . 因為P、Q在右半平面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在右半平面內(nèi), 是某個函數(shù)的全微分. 取積分路線為從A(1, 0)到B(x, 0)再到C(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 問: 為什么(x0, y0)不取(0, 0)? 例6 驗證: 在整個xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個函數(shù)的全微分, 并求出一個這樣的函數(shù). 解 這里P=xy2, Q=x2y. 因為P、Q在整個xOy面內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且有 , 所以在整個xOy面內(nèi), xy2dx+x2ydy是某個函數(shù)的全微分. 取積分路線為從O(0, 0)到A(x, 0)再到B(x, y)的折線, 則所求函數(shù)為 . 思考與練習(xí): , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, 那么(1)在G內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G內(nèi)的閉曲線積分是否為零? (3) 在G內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域, 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3) 在G 1內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 3. 在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 但非常簡單, 那么(1)如何計算G內(nèi)的閉曲線積分? (2)如何計算G內(nèi)的非閉曲線積分? (3)計算, 其中L為逆時針方向的上半圓周(xa)2+y2=a 2, y179。10. 4 對面積的曲面積分 一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積)。 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值). 定義 設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。 (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 。g(x, y, z), 則 。a2h2. 因為 , , , 所以 . 提示: . 例2 計算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個邊界曲面. 解 整個邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為SSS3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1xy, . 167。0也就是(Ds)xy=0的情形. 類似地可以定義DS在yOz面及在zOx面上的投影(DS)yz及(DS)zx. 流向曲面一側(cè)的流量: 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場由v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z))給出, S是速度場中的一片有向曲面, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)都在S上連續(xù), 求在單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量, 即流量F. 如果流體流過平面上面積為A的一個閉區(qū)域,