【正文】 高等數(shù)學(xué)教案 167。10曲線積分與曲面積分第十章 曲線積分與曲面積分教學(xué)目的：1. 理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關(guān)系。2. 掌握計(jì)算兩類曲線積分的方法。3. 熟練掌握格林公式并會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。4. 了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關(guān)系，掌握計(jì)算兩類曲面積分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)用高斯公式計(jì)算曲面積分。5. 知道散度與旋度的概念，并會(huì)計(jì)算。6． 會(huì)用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量。 教學(xué)重點(diǎn): 兩類曲線積分的計(jì)算方法； 格林公式及其應(yīng)用； 兩類曲面積分的計(jì)算方法； 高斯公式、斯托克斯公式； 兩類曲線積分與兩類曲面積分的應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)： 兩類曲線積分的關(guān)系及兩類曲面積分的關(guān)系； 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算； 應(yīng)用格林公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分； 應(yīng)用高斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分； 應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。167。 對(duì)弧長的曲線積分 一、 對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì) 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量: 設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上, 已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x, y)處的線密度為m(x, y). 求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量. 把曲線分成n小段, Ds1, Ds2, , Dsn(Dsi也表示弧長)。 任取(xi , hi)206。Dsi, 得第i小段質(zhì)量的近似值m(xi , hi)Dsi。 整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}174。0, 則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為 . 這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到. 定義 設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧, 函數(shù)f(x, y)在L上有界. 在L上任意插入一點(diǎn)列M1, M2, , Mn1把L分在n個(gè)小段. 設(shè)第i個(gè)小段的長度為Dsi, 又(xi, hi)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn), 作乘積f(xi, hi)Dsi, (i=1, 2, , n ), 并作和, 如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值l174。0, 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對(duì)弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即. 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 設(shè)函數(shù)f(x, y)定義在可求長度的曲線L上, 并且有界. 將L任意分成n個(gè)弧段: Ds1, Ds2, , Dsn, 并用Dsi表示第i段的弧長。 在每一弧段Dsi上任取一點(diǎn)(xi, hi), 作和。 令l=max{Ds1, Ds2, , Dsn}, 如果當(dāng)l174。0時(shí), 這和的極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在曲線弧L上對(duì)弧長的曲線積分或第一類曲線積分, 記作, 即 . 其中f(x, y)叫做被積函數(shù), L 叫做積分弧段. 曲線積分的存在性: 當(dāng)f(x, y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí), 對(duì)弧長的曲線積分是存在的. 以后我們總假定f(x, y)在L上是連續(xù)的. 根據(jù)對(duì)弧長的曲線積分的定義,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分的值, 其中m(x, y)為線密度. 對(duì)弧長的曲線積分的推廣: . 如果L(或G)是分段光滑的, 則規(guī)定函數(shù)在L(或G)上的曲線積分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和. 例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2, 則規(guī)定 . 閉曲線積分: 如果L是閉曲線, 那么函數(shù)f(x, y)在閉曲線L上對(duì)弧長的曲線積分記作 . 對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì): 性質(zhì)1 設(shè)cc2為常數(shù), 則 。 性質(zhì)2 若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2, 則 。 性質(zhì)3設(shè)在L上f(x, y)163。g(x, y), 則 . 特別地, 有 二、對(duì)弧長的曲線積分的計(jì)算法 根據(jù)對(duì)弧長的曲線積分的定義, 如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x, y), 則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為 . 另一方面, 若曲線L的參數(shù)方程為x=j(t), y=y (t) (a163。t163。b),則質(zhì)量元素為 , 曲線的質(zhì)量為 . 即 . 定理 設(shè)f(x, y)在曲線弧L上有定義且連續(xù), L的參數(shù)方程為 x=j(t), y=y(t) (a163。t163。b), 其中j(t)、y(t)在[a, b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且j162。2(t)+y162。2(t)185。0, 則曲線積分存在, 且 (ab). 證明（略） 應(yīng)注意的問題: 定積分的下限a一定要小于上限b. 討論: (1)若曲線L的方程為y=y(x)(a163。x163。b), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=x, y=y(x)(a163。x163。b), . (2)若曲線L的方程為x=j(y)(c163。y163。d), 則=?提示: L的參數(shù)方程為x=j(y), y=y(c163。y163。d), . (3)若曲G的方程為x=j(t), y=y(t), z=w(t)(a163。t163。b), 則=? 提示: . 例1 計(jì)算, 其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0, 0)與點(diǎn)B(1, 1)之間的一段弧. 解 曲線的方程為y=x2 (0163。x163。1), 因此 . 例2 計(jì)算半徑為R、中心角為2a的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度為m=1). 解 取坐標(biāo)系如圖所示, 則. 曲線L的參數(shù)方程為 x=Rcosq, y=Rsinq (a163。qa). 于是 =R3(asina cosa). 例3 計(jì)算曲線積分, 其中G為螺旋線x=acost、y=asint、z=kt上相應(yīng)于t從0到達(dá)2p的一段弧. 解 在曲線G上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2, 并且 , 于是 . 小結(jié): 用曲線積分解決問題的步驟: (1)建立曲線積分。 (2)寫出曲線的參數(shù)方程 ( 或直角坐標(biāo)方程) , 確定參數(shù)的變化范圍。 (3)將曲線積分化為定積分。 (4)計(jì)算定積分. 167。10. 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì) 變力沿曲線所作的功: 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xOy面內(nèi)在變力F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y)j的作用下從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B, 試求變力F(x, y)所作的功. 用曲線L上的點(diǎn)A=A0, A1, A2, , An1, An=B把L分成n個(gè)小弧段, 設(shè)Ak=(xk , yk), 有向線段的長度為Dsk, 它與x軸的夾角為tk , 則 (k=0, 1, 2, , n1). 顯然, 變力F(x, y)沿有向小弧段所作的功可以近似為 。于是, 變力F(x, y)所作的功 , 從而 . 這里t=t(x, y), {cost, sint}是曲線L在點(diǎn)(x, y)處的與曲線方向一致的單位切向量. 把L分成n個(gè)小弧段: L1, L2, , Ln。 變力在Li上所作的功近似為: F(xi, hi)Dsi=P(xi, hi)Dxi+Q(xi, hi)Dyi 。 變力在L上所作的功近似為: 。 變力在L上所作的功的精確值: , 其中l(wèi)是各小弧段長度的最大值. 提示: 用Dsi={Dxi,Dyi}表示從Li的起點(diǎn)到其終點(diǎn)的的向量. 用Dsi表示Dsi的模. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x, y)在有向光滑曲線L上有界. 把L分成n個(gè)有向小弧段L1, L2, , Ln。 小弧段Li的起點(diǎn)為(xi1, yi1), 終點(diǎn)為(xi, yi), Dxi=xixi1, Dyi=yiyi1。 (xi, h)為Li上任意一點(diǎn), l為各小弧段長度的最大值. 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即, 如果極限總存在, 則稱此極限為函數(shù) f(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 記作, 即. 設(shè)L為xOy面上一條光滑有向曲線, {cost, sint}是與曲線方向一致的單位切向量, 函數(shù)P(x, y)、Q(x, y)在L上有定義. 如果下列二式右端的積分存在, 我們就定義 , , 前者稱為函數(shù)P(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)x的曲線積分, 后者稱為函數(shù)Q(x, y)在有向曲線L上對(duì)坐標(biāo)y的曲線積分, 對(duì)坐標(biāo)