【正文】 即b//a219。(bx, by, bz)=l(ax, ay, az), 于是. 例2 求解以向量為未知元的線性方程組,其中a=(2, 1, 2), b=(1, 1, 2). 解 如同解二元一次線性方程組, 可得 x=2a3b, y=3a5b . 以a、b的坐標(biāo)表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)3(1, 1, 2)=(7, 1, 10), y=3(2, 1, 2)5(1, 1, 2)=(11, 2, 16). 例3 已知兩點(diǎn)A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實(shí)數(shù)l185。1, 在直線AB上求一點(diǎn)M, 使. 解 由于, , 因此 , 從而 . , 這就是點(diǎn)M的坐標(biāo). 另解 設(shè)所求點(diǎn)為M (x, y, z), 則, . 依題意有, 即 (xx1, yy1, zz1)=l(x2x, y2y, z2z) (x, y, z)(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)l(x, y, z), , , , . 點(diǎn)M叫做有向線段的定比分點(diǎn). 當(dāng)l=1, 點(diǎn)M的有向線段的中點(diǎn), 其坐標(biāo)為 , , . 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設(shè) , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標(biāo)表示式 . 設(shè)有點(diǎn)A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)(x1, y1, z1)=(x2x1, y2y1, z2z1), 于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為 . 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形. 解 因?yàn)? | M1M2|2 =(74)2+(13)2+(21)2 =14, | M2M3|2 =(57)2+(21)2+(32)2 =6, | M1M3|2 =(54)2+(23)2+(31)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5 在z軸上求與兩點(diǎn)A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn). 解 設(shè)所求的點(diǎn)為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(01)2+(z7)2=(30)2+(50)2+(2z)2. 解之得, 所以, 所求的點(diǎn)為. 例6 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因?yàn)? , 所以 . 2．方向角與方向余弦 當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí), 兩個(gè)向量之間的不超過(guò)p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1. 例3 設(shè)已知兩點(diǎn))和B (1, 3, 0), 計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角. 解 。 。 , , 。 , , . 3．向量在軸上的投影 設(shè)點(diǎn)O及單位向量e確定u軸. 任給向量r, 作, 再過(guò)點(diǎn)M作與u軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)M162。(點(diǎn)M162。叫作點(diǎn)M在u軸上的投影), 則向量稱為向量r在u軸上的分向量. 設(shè), 則數(shù)l稱為向量r在u軸上的投影, 記作Prjur或(r)u . 按此定義, 向量a在直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)ax, ay, az就是a在三條坐標(biāo)軸上的投影, 即 ax=Prjxa, ay=Prjya, az=Prjza. 投影的性質(zhì): 性質(zhì)1 (a)u=|a|cos j (即Prjua=|a|cos j), 其中j為向量與u軸的夾角。 性質(zhì)2 (a+b)u=(a)u+(b)u (即Prju(a+b)= Prjua+Prjub)。 性質(zhì)3 (la)u=l(a)u (即Prju(la)=lPrjua)。 167。7. 2 數(shù)量積 向量積 一、兩向量的數(shù)量積 數(shù)量積的物理背景: 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為 W = |F| |s| cosq , 其中q 為F與s的夾角. 數(shù)量積: 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模 |a|、|b| 及它們的夾角q 的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab=|a| |b| cosq . 數(shù)量積與投影: 由于|b| cosq =|b|cos(a,^ b), 當(dāng)a185。0時(shí), |b| cos(a,^ b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是ab = |a| Prj ab. 同理, 當(dāng)b185。0時(shí), ab = |b| Prj ba. 數(shù)量積的性質(zhì): (1) aa = |a| 2. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b, 如果 ab =0, 則 a^b。 反之, 如果a^b, 則ab =0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則a^b 219。 ab =0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: ab = ba。 (2)分配律: (a+b)c=ac+bc . (3) (la)b = a(lb) = l(ab), (la)(mb) = lm(ab), l、m為數(shù). (2)的證明: 分配律(a+b)c=ac+bc的證明: 因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí), 上式顯然成立。 當(dāng)c185。0時(shí), 有 (a+b)c=|c|Prjc(a+b) =|c|(Prjca+Prjcb) =|c|Prjca+|c|Prjcb =ac+bc . 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.證: 設(shè)在ΔABC中, ∠BCA=q (圖724), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c, 要證 c 2=a 2+b 22 a b cos q . 記=a, =b, =c, 則有 c=ab, 從而 |c|2=c c=(ab)(ab)=a a+b b2a b=|a|2+|b|22|a||b|cos(a,^b), 即 c 2=a 2+b 22 a b cos q . 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a=(ax, ay, az ), b=(bx, by, bz ), 則 ab=axbx+ayby+azbz .提示: 按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得 ab =( ax i + ay j + az k)(bx i + by j + bz k) =ax bx ii + ax by ij + ax bz ik +ay bx j i + ay by j j + ay bz jk +az bx ki + az by kj + az bz kk = ax bx + ay by + az bz . 兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示: 設(shè)q=(a, ^ b), 則當(dāng)a185。0、b185。0時(shí), 有 . 提示: ab=|a||b|cosq . 例2 已知三點(diǎn)M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求208。AMB . 解 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則208。AMB 就是向量a與b的夾角. a={1, 1, 0}, b={1, 0, 1}. 因?yàn)? ab=1180。1+1180。0+0180。1=1, , . 所以 . 從而 . 例3．設(shè)液體流過(guò)平面S 上面積為A的一個(gè)區(qū)域, 液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的流速均為（常向量)v. 設(shè)n為垂直于S的單位向量（圖725(a)）, 計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為ρ). 解 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為| v |的斜柱體(圖725(b)).這柱體的斜高與底面的垂線的夾角就是v 與n的夾角q , 所以這柱體的高為| v | cosq, 體積為 A| v | cos q = A v n.從而, 單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量為 P=rAv n. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. . F與的夾角為q . 由力學(xué)規(guī)定, 力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過(guò)p的角轉(zhuǎn)向F來(lái)確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角。 c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作a180。b, 即c = a180。b. 根據(jù)向量積的定義, 力矩M等于與F的向量積, 即. 向量積的性質(zhì): (1) a180。a = 0 。 (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果a180。b = 0, 則a//b。 反之, 如果a//b, 則a180。b = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a//b 219。 a180。b = 0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1) 交換律a180。b = b180。a。 (2) 分配律: (a+b)180。c = a180。c + b180。c. (3) (la)180。b = a180。(lb) = l(a180。b) (l為數(shù)). 數(shù)量積的坐標(biāo)表示: 設(shè)a = ax i + ay j + az k, b = bx i + by j + bz k. 按向量積的運(yùn)算規(guī)律可得a180。b = ( ax i + ay j + az