【正文】 )和B(x2, y2, z2)以及實數l185。 同樣在y軸上,有z=x=0。 反之, 給定三個有序數x、y、z也就確定了向量r與點M. 于是點M、向量r與三個有序x、y、z之間有一一對應的關系 . 據此, 定義: 有序數x、y、z稱為向量r(在坐標系Oxyz)中的坐標, 記作r=(x, y, z)。向量= xi171。0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a=|a|ea. 向量的單位化: 設a185。|a|+|b|, 其中等號在b與a同向或反向時成立. 2．向量與數的乘法 向量與數的乘法的定義: 向量a與實數l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個向量, 它的模|la|=|l||a|, 它的方向當l0時與a相同, 當l0時與a相反. 當l=0時, |la|=0, 即la為零向量, 這時它的方向可以是任意的. 特別地, 當l=177。3)個向量, 當把它們的起點放在同一點時, 如果k個終點和公共起點在一個平面上, 就稱這k個向量共面. 二、向量的線性運算 1．向量的加法 向量的加法: 設有兩個向量a與b, 平移向量使b的起點與a的終點重合, 此時從a的起點到b的終點的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則: 當向量a與b不平行時, 平移向量使a與b的起點重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點到對角的向量等于向量a與b的和a+b. A B C A B C D 向量的加法的運算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a。 了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程。 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。7空間解析幾乎與向量代數 第七章 空間解析幾何與向量代數 教學目的： 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。 掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。 會求點到直線以及點到平面的距離。教學重點： 向量的線性運算、數量積、向量積的概念、向量運算及坐標運算； 兩個向量垂直和平行的條件； 平面方程和直線方程； 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關系的判定條件； 點到直線以及點到平面的距離； 常用二次曲面的方程及其圖形； 旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程； 空間曲線的參數方程和一般方程。 (2)結合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結合律, 故n個向量a1, a2, , an(n 179。1時, 有1a=a, (1)a=a. 運算規(guī)律: (1)結合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1. 在平行四邊形ABCD中, 設=a, =b. 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以A B C D M a+b, 即 (a+b), 于是 (a+b). 因為, 所以(a+b). 又因a+b, 所以(ba). 由于, 所以(ab). 例1 在平行四邊形ABCD中, 設, . 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點. A B C D M 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以 , 于是。0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a = | a | ea. 定理1 設向量a 185。實數x , 從而軸上的點P與實數x有一一對應的關系. 據此, 定義實數x為軸上點P的坐標. 由此可知, 軸上點P的坐標為x的充分必要條件是 = xi . 三、空間直角坐標系 在空間取定一點O和三個兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O為原點的兩兩垂直的數軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標軸. 它們構成一個空間直角坐標系, 稱為Oxyz坐標系. 注: (1)通常三個數軸應具有相同的長度單位。 有序數x、y、z也稱為點M(在坐標系Oxyz)的坐標, 記為M(x, y, z). 向量稱為點M關于原點O的向徑. 上述定義表明, 一個點與該點的向徑有相同的坐標. 記號(x, y, z)既表示點M, 又表示向量. 坐標面上和坐標軸上的點, 其坐標各有一定的特征. 例如: 點M在yOz面上, 則x=0。 在z軸上 的點, 有x=y=0. 如果點M為原點, 則x=y=z=0. 四、利用坐標作向量的線性運算 設a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk) =(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k =(axbx, ayby, azbz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標判斷兩個向量的平行: 設a=(ax, ay, az)185。1, 在直線AB上求一點M, 使. 解 由于, , 因此 , 從而 . , 這就是點M的坐標. 另解 設所求點為M (x, y, z), 則, . 依題意有, 即 (xx1, yy1, zz1)=l(x2x, y2y, z2z) (x, y, z)(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)l(x, y, z), , , , . 點M叫做有向線段的定比分點. 當l=1, 點M的有向線段的中點, 其坐標為 , , . 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模與兩點間的距離公式 設向量r=(x, y, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設 , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標表示式 . 設有點A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)(x1, y1, z1)=(x2x1, y2y1, z2z1), 于是點A與點B間的距離為 . 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 解 因為 | M1M2|2 =(74)2+(13)2+(21)2 =14, | M2M3|2 =(57)2+(21)2+(32)2 =6, | M1M3|2 =(54)2+(23)2+(31)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5 在z軸上求與兩點A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距離的點. 解 設所求的點為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(01)2+(z7)2=(30)2+(50)2+(2z)2. 解之得, 所以, 所求的點為. 例6 已知兩點A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因為, , 所以 . 2．方向角與方向余弦 當把兩個非零向量a與b的起點放到同一點時, 兩個向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1. 例3 設已知兩點)和B (1, 3, 0), 計算向量的模、方向余弦和方向角. 解 。(點M162。 167。b = |a| Prj ab. 同理, 當b185。b =0, 則 a^b。b =0. 數量積的運算律: (1)交換律: ab = ab), l、m為數. (2)的證明: 分配律(a+b)c=ac+bc的證明: 因為當c=0時, 上式顯然成立。b =( ax i + ay j + az k)k +ay bx j i + az by k0時, 有 . 提示: a1+1180。n. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉動問題時, 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產生的力矩. . F與的夾角為q . 由力學規(guī)定, 力F對支點O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉向F來確定的. 向量積: 設向量c是由兩個向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角。a = 0 。b = 0. 如果認為零向量與任何向量都平行, 則a//b 219。a。c. (3) (la)180。b = ( ax i + ay j + az k) 180。k+ay bx j180。i + az by k180。j = k180。i = j, 所以a180。r. 。 (2) 已知坐標x、y和z間的一個方程時, 研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面？ 解 通過配方, 原方程可以改寫成 (x1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個球面方程, 球心在點M0(1, 2, 0)、半徑為. 一般地, 設有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個方程的特點是缺xy , yz , zx 各項, 而且平方項系數相同, 只要將方程經過配方就可