【正文】 )和B(x2, y2, z2)以及實(shí)數(shù)l185。 同樣在y軸上,有z=x=0。 反之, 給定三個(gè)有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點(diǎn)M. 于是點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系 . 據(jù)此, 定義: 有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z)。向量= xi171。0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a=|a|ea. 向量的單位化: 設(shè)a185。|a|+|b|, 其中等號在b與a同向或反向時(shí)成立. 2．向量與數(shù)的乘法 向量與數(shù)的乘法的定義: 向量a與實(shí)數(shù)l的乘積記作la, 規(guī)定la是一個(gè)向量, 它的模|la|=|l||a|, 它的方向當(dāng)l0時(shí)與a相同, 當(dāng)l0時(shí)與a相反. 當(dāng)l=0時(shí), |la|=0, 即la為零向量, 這時(shí)它的方向可以是任意的. 特別地, 當(dāng)l=177。3)個(gè)向量, 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, 就稱這k個(gè)向量共面. 二、向量的線性運(yùn)算 1．向量的加法 向量的加法: 設(shè)有兩個(gè)向量a與b, 平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合, 此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b . 三角形法則: 上述作出兩向量之和的方法叫做向量加法的三角形法則. 平行四邊形法則: 當(dāng)向量a與b不平行時(shí), 平移向量使a與b的起點(diǎn)重合, 以a、b為鄰邊作一平行四邊形, 從公共起點(diǎn)到對角的向量等于向量a與b的和a+b. A B C A B C D 向量的加法的運(yùn)算規(guī)律: (1)交換律a+b=b+a。 了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會求其方程。 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。7空間解析幾乎與向量代數(shù) 第七章 空間解析幾何與向量代數(shù) 教學(xué)目的： 理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示。 掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個(gè)向量垂直和平行的條件。 會求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離。教學(xué)重點(diǎn)： 向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積的概念、向量運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算； 兩個(gè)向量垂直和平行的條件； 平面方程和直線方程； 平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的相互位置關(guān)系的判定條件； 點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離； 常用二次曲面的方程及其圖形； 旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程； 空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。 (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c). 由于向量的加法符合交換律與結(jié)合律, 故n個(gè)向量a1, a2, , an(n 179。1時(shí), 有1a=a, (1)a=a. 運(yùn)算規(guī)律: (1)結(jié)合律 l(ma)=m(la)=(lm)a； (2)分配律 (l+m)a=la+ma； l(a+b)=la+lb. 例1. 在平行四邊形ABCD中, 設(shè)=a, =b. 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點(diǎn). 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以A B C D M a+b, 即 (a+b), 于是 (a+b). 因?yàn)? 所以(a+b). 又因a+b, 所以(ba). 由于, 所以(ab). 例1 在平行四邊形ABCD中, 設(shè), . 試用a和b表示向量、, 其中M是平行四邊形對角線的交點(diǎn). A B C D M 解 由于平行四邊形的對角線互相平分, 所以 , 于是。0, 則向量是與a同方向的單位向量, 記為ea. 于是a = | a | ea. 定理1 設(shè)向量a 185。實(shí)數(shù)x , 從而軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對應(yīng)的關(guān)系. 據(jù)此, 定義實(shí)數(shù)x為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo). 由此可知, 軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是 = xi . 三、空間直角坐標(biāo)系 在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系, 稱為Oxyz坐標(biāo)系. 注: (1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長度單位。 有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M(在坐標(biāo)系Oxyz)的坐標(biāo), 記為M(x, y, z). 向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑. 上述定義表明, 一個(gè)點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo). 記號(x, y, z)既表示點(diǎn)M, 又表示向量. 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn), 其坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點(diǎn)M在yOz面上, 則x=0。 在z軸上 的點(diǎn), 有x=y=0. 如果點(diǎn)M為原點(diǎn), 則x=y=z=0. 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz)即 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk , 則 a+b=(axi+ayj+azk)+(bxi+byj+bzk) =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx, ay+by, az+bz). ab=(axi+ayj+azk)(bxi+byj+bzk) =(axbx)i+(ayby)j+(azbz)k =(axbx, ayby, azbz). la=l(axi+ayj+azk) =(lax)i+(lay)j+(laz)k =(lax, lay, laz). 利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行: 設(shè)a=(ax, ay, az)185。1, 在直線AB上求一點(diǎn)M, 使. 解 由于, , 因此 , 從而 . , 這就是點(diǎn)M的坐標(biāo). 另解 設(shè)所求點(diǎn)為M (x, y, z), 則, . 依題意有, 即 (xx1, yy1, zz1)=l(x2x, y2y, z2z) (x, y, z)(x1, y1, z1)=l(x2, y2, z2)l(x, y, z), , , , . 點(diǎn)M叫做有向線段的定比分點(diǎn). 當(dāng)l=1, 點(diǎn)M的有向線段的中點(diǎn), 其坐標(biāo)為 , , . 五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 , 按勾股定理可得 , 設(shè) , , , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標(biāo)表示式 . 設(shè)有點(diǎn)A (x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2), 則 =(x2, y2, z2)(x1, y1, z1)=(x2x1, y2y1, z2z1), 于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為 . 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形. 解 因?yàn)? | M1M2|2 =(74)2+(13)2+(21)2 =14, | M2M3|2 =(57)2+(21)2+(32)2 =6, | M1M3|2 =(54)2+(23)2+(31)2 =6, 所以|M2 M3|=|M1M3|, 即D M1 M2 M3為等腰三角形. 例5 在z軸上求與兩點(diǎn)A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn). 解 設(shè)所求的點(diǎn)為M(0, 0, z), 依題意有|MA|2=|MB|2, 即 (0+4)2+(01)2+(z7)2=(30)2+(50)2+(2z)2. 解之得, 所以, 所求的點(diǎn)為. 例6 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與方向相同的單位向量e. 解 因?yàn)? , 所以 . 2．方向角與方向余弦 當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí), 兩個(gè)向量之間的不超過p的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作或. 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與p之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角a、b、g稱為向量r的方向角. 向量的方向余弦: 設(shè)r=(x, y, z), 則 x=|r|cosa, y=|r|cosb, z=|r|cosg . cosa、cosb、cosg 稱為向量r的方向余弦. , , . 從而 . 上式表明, 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r . 因此cos2a+cos2b+cos2g=1. 例3 設(shè)已知兩點(diǎn))和B (1, 3, 0), 計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角. 解 。(點(diǎn)M162。 167。b = |a| Prj ab. 同理, 當(dāng)b185。b =0, 則 a^b。b =0. 數(shù)量積的運(yùn)算律: (1)交換律: ab = ab), l、m為數(shù). (2)的證明: 分配律(a+b)c=ac+bc的證明: 因?yàn)楫?dāng)c=0時(shí), 上式顯然成立。b =( ax i + ay j + az k)k +ay bx j i + az by k0時(shí), 有 . 提示: a1+1180。n. 二、兩向量的向量積 在研究物體轉(zhuǎn)動(dòng)問題時(shí), 不但要考慮這物體所受的力, 還要分析這些力所產(chǎn)生的力矩. . F與的夾角為q . 由力學(xué)規(guī)定, 力F對支點(diǎn)O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于與F所決定的平面, M的指向是的按右手規(guī)則從以不超過p的角轉(zhuǎn)向F來確定的. 向量積: 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模 |c|=|a||b|sin q , 其中q 為a與b間的夾角。a = 0 。b = 0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a//b 219。a。c. (3) (la)180。b = ( ax i + ay j + az k) 180。k+ay bx j180。i + az by k180。j = k180。i = j, 所以a180。r. 。 (2) 已知坐標(biāo)x、y和z間的一個(gè)方程時(shí), 研究這方程所表示的曲面的形狀. 例3 方程x2+y2+z22x+4y=0表示怎樣的曲面？ 解 通過配方, 原方程可以改寫成 (x1)2+(y+2)2+z2=5. 這是一個(gè)球面方程, 球心在點(diǎn)M0(1, 2, 0)、半徑為. 一般地, 設(shè)有三元二次方程 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0, 這個(gè)方程的特點(diǎn)是缺xy , yz , zx 各項(xiàng), 而且平方項(xiàng)系數(shù)相同, 只要將方程經(jīng)過配方就可