【正文】 Ax+By+Cz+D=0. 因?yàn)辄c(diǎn)P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)都在這平面上, 所以點(diǎn)P、Q、R的坐標(biāo)都滿足所設(shè)方程, 即有 由此得 , , . 將其代入所設(shè)方程, 得 , 即 . 上述方程叫做平面的截距式方程, 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距. 三、兩平面的夾角 兩平面的夾角: 兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角. 設(shè)平面P1和P2的法線向量分別為n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2), 那么平面P1和P2的夾角q 應(yīng)是和兩者中的銳角, 因此, . 按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式, 平面P1和P2的夾角q 可由 .來(lái)確定. 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論: 平面P1和P2垂直相當(dāng)于A1 A2 +B1B2 +C1C2=0。 平面P 1和P 2平行或重合相當(dāng)于. 例5 求兩平面 xy+2z6=0和2x+y+z5=0的夾角. 解 n1=(A1, B1, C1)=(1, 1, 2), n2=(A2, B2, C2)=(2, 1, 1), , 所以, 所求夾角為. 例6 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)且垂直于平面x+y+z=0, 求它的方程. 解 方法一: 已知從點(diǎn)M1到點(diǎn)M2的向量為n1=(1, 0, 2), 平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1, 1, 1). 設(shè)所求平面的法線向量為n=(A, B, C). 因?yàn)辄c(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1)在所求平面上, 所以n^n1, 即A2C=0, A=2C. 又因?yàn)樗笃矫娲怪庇谄矫鎥+y+z=0, 所以n^n1, 即A+B+C=0, B=C. 于是由點(diǎn)法式方程, 所求平面為 2C(x1)+C(y1)+C(z1)=0, 即2xyz=0. 方法二: 從點(diǎn)M1到點(diǎn)M2的向量為n1=(1, 0, 2), 平面x+y+z=0的法線向量為n2= (1, 1, 1).設(shè)所求平面的法線向量n 可取為n1180。 n2. 因?yàn)? , 所以所求平面方程為 2(x1)(y1)(z1)=0, 即 2xyz=0. 例7 設(shè)P0(x0, y0, z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點(diǎn), 求P0到這平面的距離. 解 設(shè)en是平面上的單位法線向量. 在平面上任取一點(diǎn)P1(x1, y1, z1), 則P0到這平面的距離為 .提示: , , 例8 求點(diǎn)(2, 1, 1)到平面 x+yz+1=0的距離. 解 . 167。7. 6 空間直線及其方程 一、空間直線的一般方程 空間直線L可以看作是兩個(gè)平面P1和P2的交線. 如果兩個(gè)相交平面P1和P2的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直線L上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面的方程, 即應(yīng)滿足方程組. (1) 反過(guò)來(lái), 如果點(diǎn)M不在直線L上, 那么它不可能同時(shí)在平面P1和P2上, 所以它的坐標(biāo)不滿足方程組(1). 因此, 直線L可以用方程組(1)來(lái)表示. 方程組(1)叫做空間直線的一般方程. 設(shè)直線L是平面P1與平面P2的交線, 平面的方程分別為A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么點(diǎn)M在直線L上當(dāng)且僅當(dāng)它同時(shí)在這兩個(gè)平面上, 當(dāng)且僅當(dāng)它的坐標(biāo)同時(shí)滿足這兩個(gè)平面方程, 即滿足方程組 . 因此, 直線L可以用上述方程組來(lái)表示. 上述方程組叫做空間直線的一般方程. 通過(guò)空間一直線L的平面有無(wú)限多個(gè), 只要在這無(wú)限多個(gè)平面中任意選取兩個(gè), 把它們的方程聯(lián)立起來(lái), 所得的方程組就表示空間直線L. 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程 方向向量: 如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線, 這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量. 容易知道, 直線上任一向量都平行于該直線的方向向量. 確定直線的條件: 當(dāng)直線L上一點(diǎn)M 0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s = (m, n, p)為已知時(shí), 直線L的位置就完全確定了. 直線方程的確定: 已知直線L通過(guò)點(diǎn)M0(x0, y0, x0), 且直線的方向向量為s = (m, n, p), 求直線L的方程. 設(shè)M (x, y, z)在直線L上的任一點(diǎn), 那么 (xx0, yy0, zz0)//s , 從而有 . 這就是直線L的方程, 叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程. 注: 當(dāng)m, n, p中有一個(gè)為零, 例如m=0, 而n, p185。0時(shí), 這方程組應(yīng)理解為 。 當(dāng)m, n, p中有兩個(gè)為零, 例如m=n=0, 而p185。0時(shí), 這方程組應(yīng)理解為 . 直線的任一方向向量s的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向數(shù), 而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦. 由直線的對(duì)稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 設(shè), 得方程組 . 此方程組就是直線的參數(shù)方程. 例1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線. 解 先求直線上的一點(diǎn). 取x=1, 有 . 解此方程組, 得y=2, z=0, 即(1, 2, 0)就是直線上的一點(diǎn). 再求這直線的方向向量s. 以平面x+y+z=1和2xy+3z=4的法線向量的向量積作為直線的方向向量s : s=(i+j+k)180。(2ij+3k)4ij3k. 因此, 所給直線的對(duì)稱式方程為 . 令, 得所給直線的參數(shù)方程為 . 提示: 當(dāng)x=1時(shí), 有, 此方程組的解為y=2, z=0. . 令, 有x=1+4t, y=2t, z=3t . 三、兩直線的夾角 兩直線的方向向量的夾角( 通常指銳角)叫做兩直線的夾角. 設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夾角j就是和兩者中的銳角, 因此. 根據(jù)兩向量的夾角的余弦公式, 直線L1和L2的夾角j可由來(lái)確定. 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論: 設(shè)有兩直線L1:, L2:, 則 L 1^L 2219。m1m2+n1n2+p1p2=0。 L1 // L2219。. 例2 求直線L1:和L2:的夾角. 解 兩直線的方向向量分別為s1 = (1, 4, 1)和s2 = (2, 2, 1). 設(shè)兩直線的夾角為j , 則 , 所以. 四、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí), 直線和它在平面上的投影直線的夾角j稱為直線與平面的夾角, 當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定直線與平面的夾角為. 設(shè)直線的方向向量s=(m, n, p), 平面的法線向量為n=(A, B, C), 直線與平面的夾角為j , 那么, 因此. 按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式, 有. 因?yàn)橹本€與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行, 所以, 直線與平面垂直相當(dāng)于 . 因?yàn)橹本€與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直, 所以, 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于 Am+Bn+Cp=0. 設(shè)直線L的方向向量為(m, n, p), 平面P的法線向量為(A, B, C) , 則 L^P 219。 L/ / P 219。 Am+Bn+Cp=0. 例3 求過(guò)點(diǎn)(1, 2, 4)且與平面2x3y+z4=0垂直的直線的方程. 解 平面的法線向量(2, 3, 1)可以作為所求直線的方向向量. 由此可得所求直線的方程為 . 五、雜例 例4 求與兩平面 x4z=3和2xy5z=1的交線平行且過(guò)點(diǎn)(3, 2, 5)的直線的方程. 解 平面x4z=3和2xy5z=1的交線的方向向量就是所求直線的方向向量s , 因?yàn)? , 所以所求直線的方程為 . 例5 求直線與平面2x+y+z6=0的交點(diǎn). 解 所給直線的參數(shù)方程為 x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)6=0. 解上列方程, 得t=1. 將t=1代入直線的參數(shù)方程, 得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為 x=1, y=2, z=2. 例6 求過(guò)點(diǎn)(2, 1, 3)且與直線垂直相交的直線的方程. 解 過(guò)點(diǎn)(2, 1, 3)與直線垂直的平面為 3(x2)+2(y1)(z3)=0, 即3x+2yz=5. 直線與平面3x+2yz=5的交點(diǎn)坐標(biāo)為. 以點(diǎn)(2, 1, 3)為起點(diǎn), 以點(diǎn)為終點(diǎn)的向量為 . 所求直線的方程為 . 例6162。 求過(guò)點(diǎn)(2, 1, 2)且與直線垂直相交的直線的方程. 解 過(guò)已知點(diǎn)與已知直線相垂直的平面的方程為 (x2)+(y1)+2(z2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面與已知直線的交點(diǎn)為(1, 2, 2). 所求直線的方向向量為 s=(1, 2, 2)(2, 1, 2)=(1, 1, 0), 所求直線的方程為 , 即. 提示: 求平面x+y+2z=7與直線的交點(diǎn): 直線的參數(shù)方程為x=2+t, y=3+t, z=4+2t , 代入平面方程得 (2+t)+(3+t)+2(4+2t)=7, 解得t=1, 代入直線的參數(shù)方程得x=1, y=2, z=2. 平面束: 設(shè)直線L的一般方程為 , 其中系數(shù)ABC1與ABC2不成比例. 考慮三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l(wèi)為任意常數(shù). 因?yàn)橄禂?shù)ABC1與ABC2不成比例, 所以對(duì)于任何一個(gè)l值, 上述方程的系數(shù)不全為零, 從而它表示一個(gè)平面. 對(duì)于不同的l值, 所對(duì)應(yīng)的平面也不同, 而且這些平面都通過(guò)直線L , 也就是說(shuō), 這個(gè)方程表示通過(guò)直線L的一族平面. 另一方面, 任何通過(guò)直線L的平面也一定包含在上述通過(guò)L的平面族中. 通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束. 方程A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0就是通過(guò)直線L 的平面束方程. 例7 求直線在平面x+y+z=0上的投影直線的方程. 解 設(shè)過(guò)直線的平面束的方程為 (x+yz1)+l(xy+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1l)y+(1+l)z+(1+l)=0, 其中l(wèi)為待定的常數(shù). 這平面與平面 x + y + z = 0垂直的條件是 (1+l)1+(1l)1+(1+l)1=0, 即 l=1. 將l=1代入平面束方程得投影平面的方程為2y2z2=0, 即 yz1=0. 所以投影直線的方程為 . 內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室