【正文】 1yxyx?? ??????yk xh??)10( ?? ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時 , 具有極值 二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且 令 則 : 1) 當(dāng) A 0 時取極大值 。 A 0 時取極小值 . 2) 當(dāng) 3) 當(dāng) 時 , 沒有極值 . 時 , 不能確定 , 需另行討論 . 若函數(shù) 的在點 ),(),( 00 yxyxfz ?0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx ???02 ?? BAC02 ?? BAC02 ?? BAC定理 2 (充分條件 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證 : 由二元函數(shù)的泰勒公式 , 并注意 0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx則有 ),(),( 0000 yxfkyhxfz ?????20221 ),([ hkyhxf xx ?? ???khkyhxf yx ),(2 00 ?? ???]),( 200 kkyhxf yy ?? ???,),(),( 00 連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點由于 yxyxf 所以 ??? ???? Akyhxf xx ),( 00??? ???? Bkyhxf yx ),( 00??? ???? Ckyhxf yy ),( 00機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ]2[ 2221 kCkhBhA ??其中 ? , ? , ? 是當(dāng) h →0 , k →0 時的無窮小量 , 于是 ??z),(21 khQ? )( 22 kh ???, 很小時因此當(dāng) kh .),( 確定的正負號可由 khQz?(1) 當(dāng) AC－ B2 ＞ 0 時 , 必有 A≠0 , 且 A 與 C 同號 , ])()2[(),( 222221 kBACkBkhBAhAkhQ A ??????])())[( 2221 kBACkBhAA ????可見 , ,0),(,0 ?? khQA 時當(dāng) 從而△ z＞ 0 , 因此 ),( yxf。),( 00 有極小值在點 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( 2?o?]2[ 2221 kkhh ??? ???,0),(,0 ?? khQA 時當(dāng) 從而 △ z＜ 0, 在點因此 ),( yxf。),( 00 有極大值yx(2) 當(dāng) AC－ B2 ＜ 0 時 , 若 A , C不全為零 , 無妨設(shè) A≠0, 則 ]))[(),( 221 kkBhAkhQ A ??? )( 2BAC ?),(0)()(),( 0000 yxyyBxxAyx 接近沿直線當(dāng) ????時 , 有 ,0?? kBhA AkhQ 與故 ),( 異號 。 ),( yx當(dāng) ,),(0 000 時接近沿直線 yxyy ?? ,0?k有AkhQ 與故 ),( 同號 . 可見 △ z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負 , 在點因此 ),( yxf 。),( 00 無極值yx xy),( 00 yxo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 + + － xy),( 00 yxo若 A＝ C ＝ 0 , 則必有 B≠0 , 不妨設(shè) B＞ 0 , 此時 22 2),( kCkhBhAkhQ ???),( 00 kyhx ??對點, 同號時當(dāng) kh ,0),( ?khQ, 異號時當(dāng) kh ,0),( ?khQ可見 △ z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負 , 在點因此 ),( yxf 。),( 00 無極值yx khB2?,0?? z從而,0?? z從而(3) 當(dāng) AC－ B2 ＝ 0 時 , 若 A≠0, 則 21 )(),( kBhAkhQ A ??若 A＝ 0 , 則 B＝ 0 , 2),( kCkhQ ?可能),( khQ為零或非零 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 此時 )(),( 221 ?okhQz ???因此 第十節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)(,0),( 2 確定的正負號由時因為 ?ozkhQ ??不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點 . 第九章 *第十節(jié) 問題的提出 : 已知一組實驗數(shù)據(jù) 求它們的近似函數(shù)關(guān)系 y＝ f (x) . oyx需要解決兩個問題 : 1. 確定近似函數(shù)的類型 ? 根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律 ? 根據(jù)問題的實際背景 2. 確定近似函數(shù)的標準 )( ii xfy ??實驗數(shù)據(jù)有誤差 , 不能要求 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 最小二乘法 oyx? 偏差 )( iii xfyr ?? 有正有負 , 值都較小且便于計算 , 可由偏差平方和最小 m i n)]([ 20????iinixfy為使所有偏差的絕對 來確定近似函數(shù) f (x) . 最小二乘法原理 : 設(shè)有一列實驗數(shù)據(jù) 分布在某條曲線上 , 通過 偏差平方和最小 求該曲線的方 法稱為 最小二乘法 , 找出的函數(shù)關(guān)系稱為 經(jīng)驗公式 . , 它們大體 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別 , 當(dāng)數(shù)據(jù)點分布近似一條直線時 , 問題為確定 a, b 令 m i n)( 20?????bxay knkk?),( baM??? aM??? bMbxay ?? 滿足 : 使 oyx得 ? ?bxnkk???0? ?axnkk?? 0解此線性方程組 即得 a, b 稱為法方程組 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 為了測定刀具的磨損速度 , 每隔 1 小時測一次刀 具的厚度 , 得實驗數(shù)據(jù)如下 : 找出一個能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗公式 . 解 : 通過在坐標紙上描點可看出它們 大致在一條直線上 , 列表計算 : 故可設(shè)經(jīng)驗公式為 (P67 例 1) bxay ??oyt 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得法方程組 a140 b28?a28 ?? b717?解得 , ??? ba 故所求經(jīng)驗公式為 )( ???? ttfyit0??i 2it iy iity70 0 0 7 49 28 140 ? ? ? ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 為衡量上述經(jīng)驗公式的優(yōu)劣 , 計算各點偏差如下 : oyt稱為均方誤差 , Mn1 對本題均方誤差 1 2 ?M它在一定程度上反映了經(jīng)驗函數(shù)的好壞 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )]([ 270??? ??iii tfyM偏差平方和為 0 1 2 3 4 5 6 7 － － － － － )( ii tfy ?oyt稱為均方誤差 , Mn1 對本題均方誤差 1 2 ?M它在一定程度上反映了經(jīng)驗函數(shù)的好壞 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )]([ 270??? ??iii tfyM偏差平方和為 0 1 2 3 4 5 6 7 － － － － － )( ii tfy ?例 2. 在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時 , 得到下列數(shù)據(jù) : 3 6 9 12 15 18 21 24 1 2 3 4 5 6 7 8 其中 ? 表示從實驗開始算起的時間 , y 表示時刻 ? 反應(yīng) 物的量 . 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)定出經(jīng)驗公式 ).(?fy ? (P70例 2) 解 : 由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知 , 經(jīng)驗公式應(yīng)取 ?meky ?其中 k , m 為待定常數(shù) . 對其取對數(shù)得 kmy lnln ?? ?kbmaXyY ln,ln ???? ?令bXaY ?? (線性函數(shù) ) (書中取的是常用對數(shù) ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 因此 a , b 應(yīng)滿足法方程組 : ???81lnkkk y????81lnkky經(jīng)計算得 解得 : 所求經(jīng)驗公式為 ?10 ?? ey其均方誤差為 1 3 ?M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 觀測數(shù)據(jù) : 用最小二乘法確定 a, b 通過計算確定某些經(jīng)驗公式類型的方法 : ),1,0(),( niyx ii ??),2,1(, 11 niyyyxxx iiiiii ???????? ??令,)1( 定值若 ???iixybxay ??則考慮,lnln)2( 定值若 ???iixy bxay ?則考慮,ln)3( 定值若 ???iixyxbeay ?則考慮axby lnlnln ??轉(zhuǎn)化為axby lnln ??轉(zhuǎn)化為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束