【正文】 x174。165。x174。165。xxx而arctan x是有界變量).4. 證明本節(jié)定理3中的(2). 習(xí)題161. 計(jì)算下列極限:(1)limsinwx。 x174。0x解 limsinwx=wlimsinwx=w. x174。0x174。0wxx(2)limtan3x。 x174。0x解 limtan3x=3limsin3x1=3. x174。0x174。03xxcos3x(3)limsin2x。 x174。0sin5x解 limsin2x=limsin2x5x2=2. x174。0sin5xx174。02xsin5x55(4)limxcotx。 x174。0解 limxcotx=limxcosx=limxlimcosx=1. x174。0x174。0sinxx174。0sinxx174。0(5)lim1cos2x。 x174。0xsinx21cos2x1cos2x2sinx=2lim(sinx)2=2. 解 lim=lim=limx174。0xsinxx174。0x174。0x174。0xxx21cos2x2sinx=2limsinx=2. 或 lim=limx174。0xsinxx174。0xsinxx174。0x(6)lim2nsinx(x為不等于零的常數(shù)). n174。165。2nsinxx=x. 解 lim2nsinxn=limn174。165。2n174。165。2 2. 計(jì)算下列極限:1(1)lim(1x)xx174。0。1(1)(=lim[1+(x)]x)x174。01(={lim[1+(x)]x)}1=e1. x174。0 解1lim(1x)xx174。0 1(2)lim(1+2x)x。 x174。01121解 lim(1+2x)x=lim(1+2x)2x=[lim(1+2x)2x]2=e2. x174。0x174。0x174。0(3)lim(1+x2x。 x174。165。x解 lim(1+x2x=[lim(1+1)x]2=e2. x174。165。xx174。165。x(4)lim(11kx(k為正整數(shù)). x174。165。x解 lim(11kx=lim(1+1)(x)(k)=ek. x174。165。x174。165。xx3. 根據(jù)函數(shù)極限的定義, 證明極限存在的準(zhǔn)則I162。. 證明 僅對(duì)x174。x0的情形加以證明.設(shè)e為任一給定的正數(shù), 由于limg(x)=A, 故由定義知, 對(duì)e0, 存在d10, x174。x0使得當(dāng)0|xx0|d1時(shí), 恒有|g(x)A|e, 即Aeg(x)A+e.由于limh(x)=A, 故由定義知, 對(duì)e0, 存在d20, 使得當(dāng)0|xx0|d2時(shí), 恒x174。x0有|h(x)A|e, 即Aeh(x)A+e.取d=min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d時(shí),Aeg(x)A+e與Aeh(x)A+e同時(shí)成立, 又因?yàn)間(x)163。f(x)163。h(x),所以 Aef(x)A+e,即 |f(x)A|e,因此limf(x)=A. x174。x0 證明 僅對(duì)x174。x0的情形加以證明.因?yàn)閘img(x)=A, limh(x)=A, x174。x0x174。x0所以對(duì)任一給定的e0, 存在d0, 使得當(dāng)0|xx0|d時(shí), 恒有 |g(x)A|e及|h(x)A|e,即 Aeg(x)A+e及Aeh(x)A+e.又因?yàn)? g(x)163。f(x)163。h(x),所以 Aef(x)A+e,即 |f(x)A|e,因此limf(x)=A. x174。x0 4. 利用極限存在準(zhǔn)則證明:(1)lim+1=1。 n174。165。n證明 因?yàn)?+11+1, nn1=1且lim(1+1=1, 而 limn174。165。n174。165。n由極限存在準(zhǔn)則I, lim+1=1. n174。165。n(2)limn1+1+ +1)=1。 n174。165。n+pn+2pn+np證明 因?yàn)?2n111n 2, n2++ +2)n+npn+pn2+2pn+npn2+p22nn而 lim2=1, lim2=1, n174。165。n+npn174。165。n+p所以 limn1+1+ +1)=1. n174。165。n+pn+2pn+np(3)數(shù)列2, +, 2++, 的極限存在。 證明 x1=, xn+1=+xn(n=1, 2, 3, ). 先證明數(shù)列{xn}有界.當(dāng)n=1時(shí)x1=2, 假定n=k時(shí)xk2, 則當(dāng)n=k+1時(shí),xk+1=+xk2+2=2,所以xn2(n=1, 2, 3, ), 即數(shù)列{xn}有界.再證明數(shù)列單調(diào)增. 因?yàn)?2+xnxn(xn2)(xn+1)= xn+1xn=+xnxn=, +xn+xn+xn+xn而xn20, xn+10, 所以xn+1xn0, 即數(shù)列{xn}單調(diào)增. 因?yàn)閿?shù)列{xn}單調(diào)增加有上界, 所以此數(shù)列是有極限的.(4)lim+x=1。 x174。0證明 當(dāng)|x|163。1時(shí), 則有1+x163。1+|x|163。(1+|x|)n ,1+x179。1|x|179。(1|x|)n ,從而有 1|x|163。+x163。1+|x|.因?yàn)? lim(1|x|)=lim(1+|x|)=1, x174。0x174。0根據(jù)夾逼準(zhǔn)則, 有l(wèi)im+x=1. x174。0(5)lim+x[1=1. x174。0x證明 因?yàn)?11]163。1, 所以1xx[1]163。1. xxxx又因?yàn)閘im+(1x)=lim+1=1, 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則, 有l(wèi)im+x[1=1. x174。0x174。0x174。0x習(xí)題 171. 當(dāng)x174。0時(shí), 2xx2 與x2x3相比, 哪一個(gè)是高階無(wú)窮?。?32 解 因?yàn)閘imxx=limxx=0, x174。02xxx174。02x所以當(dāng)x174。0時(shí), x2x3是高階無(wú)窮小, 即x2x3=o(2xx2). 2. 當(dāng)x174。1時(shí), 無(wú)窮小1x和(1)1x3, (2)1(1x2)是否同階？是否等價(jià)？ 23(1x)(1+x+x2)1x 解 (1)因?yàn)閘im=lim=lim(1+x+x2)=3, x174。11xx174。1x174。11x3所以當(dāng)x174。1時(shí), 1x和1x是同階的無(wú)窮小, 但不是等價(jià)無(wú)窮小.1(1x2) (2)因?yàn)閘im=1lim(1+x)=1, x174。11x2x174。1所以當(dāng)x174。1時(shí), 1x和1(1x2)是同階的無(wú)窮小, 而且是等價(jià)無(wú)窮小. 23. 證明: 當(dāng)x174。0時(shí), 有:(1) arctan x~x。2x (2)secx1~. 2y 證明 (1)因?yàn)閘imarctanx=lim=1(提示: 令y=arctan x, 則當(dāng)x174。0時(shí), x174。0y174。0tanyxy174。0),所以當(dāng)x174。0時(shí), arctanx~x.2sin2x2sinxcosx=lim=lim()2=1, (2)因?yàn)閘imsecx1=2lim1x174。02x174。0xcosxx174。0x174。0xx2222x所以當(dāng)x174。0時(shí), sexc1~. 24. 利用等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì), 求下列極限:(1)limtan3x。 x174。02xsin(xn) (2)lim(n, m為正整數(shù))。 x174。0(sinx)msinx。 (3)limtanxx174。0sin3x(4)limsinxtanx. x174。0(+x21)(+sinx1)解 (1)limtan3x=lim3x=3. x174。02xx174。02x21 n=mn236。239。sin(xn)x (2)lim=lim=237。0 nm. x174。0(sinx)mx174。0xm239。238。165。 nm1x2sinx(11)sinx=lim1cosx=lim1. (3)limtanx=lim=x174。0x174。0x174。0cosxsin2xx174。0x2cosx2sin3xsin3x(4)因?yàn)?x sinxtanx=tanx(coxs1)=2tanxsin~2x(x2=1x3(x174。0), 2222x1x2(x174。0), ~ +x1=(1+x2)2++x2+132+sinx1=sinx~sinx~x(x174。0), +sinx