【正文】 于是., (a(x)174。0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: = . . 準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 1163。x 2163。x 3163。 163。x n163。x n+1163。 ,就稱數(shù)列{x n}是單調(diào)增加的。 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 1179。x 2179。x 3179。 179。x n179。x n+1179。 ,就稱數(shù)列{x n}是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列. 如果數(shù)列{x n}滿足條件x n163。x n+1, n206。N+, 在第三節(jié)中曾證明: 收斂的數(shù)列一定有界. 但那時也曾指出: 有界的數(shù)列不一定收斂. 現(xiàn)在準則II表明: 如果數(shù)列不僅有界, 并且是單調(diào)的, 那么這數(shù)列的極限必定存在, 也就是這數(shù)列一定收斂. 準則II的幾何解釋: 單調(diào)增加數(shù)列的點只可能向右一個方向移動, 或者無限向右移動, 或者無限趨近于某一定點A, 而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生. 根據(jù)準則II, 可以證明極限存在. 設(shè), 現(xiàn)證明數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的. 按牛頓二項公式, 有 , . 比較x n , x n+1的展開式, 可以看出除前兩項外, x n的每一項都小于x n+1的對應項, 并且x n+1還多了最后一項, 其值大于0, 因此 x n x n+1 , 這就是說數(shù)列{xn}是單調(diào)有界的. 這個數(shù)列同時還是有界的. 因為xn的展開式中各項括號內(nèi)的數(shù)用較大的數(shù)1代替, 得 . 根據(jù)準則II, 數(shù)列{xn}必有極限. 這個極限我們用e 來表示. 即. 我們還可以證明. e是個無理數(shù), 它的值是e=2. 718281828459045 . 指數(shù)函數(shù)y=e x 以及對數(shù)函數(shù)y=ln x 中的底e 就是這個常數(shù). 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有. 這是因為, 令, 則u 174。165。, 于是. , (a(x)174。0). 例3. 求. 解: 令t=x, 則x 174。165。時, t 174。165。. 于是 . 或 . 167。1. 8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 一、函數(shù)的連續(xù)性 變量的增量: 設(shè)變量u從它的一個初值u1變到終值u2, 終值與初值的差u2u1就叫做變量u的增量, 記作Du , 即Du =u2u1. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)是有定義的. 當自變量x 在這鄰域內(nèi)從x0變到x0+Dx時, 函數(shù)y相應地從f(x0)變到f(x0+Dx), 因此函數(shù)y的對應增量為Dy= f(x0+Dx) f(x0). 函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0 的某一個鄰域內(nèi)有定義, 如果當自變量的增量Dx =xx0 趨于零時, 對應的函數(shù)的增量Dy= f(x0+Dx) f(x0 )也趨于零, 即, 或,那么就稱函數(shù)y=f(x)在點x0 處連續(xù). 注: ① ②設(shè)x=x0+Dx, 則當Dx174。0時, x174。x0, 因此 219。219。. 函數(shù)連續(xù)的等價定義2:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)有定義, 如果對于任意給定義的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)d , 使得對于適合不等式|xx0|d 的一切x, 對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)f(x0)|e , 那么就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù). 左右連續(xù)性: 如果, 則稱y=f(x)在點處左連續(xù). 如果, 則稱y=f(x)在點處右連續(xù). 左右連續(xù)與連續(xù)的關(guān)系: 函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)219。函數(shù)y=f(x)在點x0處左連續(xù)且右連續(xù). 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性: 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). 如果區(qū)間包括端點, 那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù), 在左端點連續(xù)是指右連續(xù). 連續(xù)函數(shù)舉例: 1. 如果f(x)是多項式函數(shù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 這是因為, f(x)在(165。, +165。)內(nèi)任意一點x0處有定義, 且. 2. 函數(shù)在區(qū)間[0, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 3. 函數(shù)y=sin x 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 證明: 設(shè)x為區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)任意一點. 則有 Dy=sin(x+Dx)sin x, 因為當Dx174。0時, Dy是無窮小與有界函數(shù)的乘積, 所以. 這就證明了函數(shù)y=sin x在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)任意一點x都是連續(xù)的． 4. 函數(shù)y=cos x 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 二、函數(shù)的間斷點 間斷定義: 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 在此前提下, 如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一: (1)在x0沒有定義。 (2)雖然在x0有定義, 但f(x)不存在。 (3)雖然在x0有定義且f(x)存在, 但f(x)185。f(x0)。則函數(shù)f(x)在點x0為不連續(xù), 而點x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點或間斷點. 例1. 正切函數(shù)y=tan x在處沒有定義, 所以點是函數(shù)tan x的間斷點. 因為, 故稱為函數(shù)tan x的無窮間斷點. 例2. 函數(shù)在點x=0沒有定義, 所以點x=0是函數(shù)的間斷點. 當x174。0時, 函數(shù)值在1與+1之間變動無限多次, 所以點x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點. 例3. 函數(shù)在x=1沒有定義, 所以點x=1是函數(shù)的間斷點. 因為, 如果補充定義: 令x=1時y=2, 則所給函數(shù)在x=1成為連續(xù). 所以x=1稱為該函數(shù)的可去間斷點. 例4. 設(shè)函數(shù). 因為, , 所以x=1是函數(shù)f(x)的間斷點. 如果改變函數(shù)f(x)在x=1處的定義:令f(1)=1, 則函數(shù)f(x)在x=1 成為連續(xù), 所以x=1也稱為該函數(shù)的可去間斷點. 例5. 設(shè)函數(shù). 因為, , , 所以極限不存在, x=0是函數(shù)f(x)的間斷點. 因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象, 我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點. 間斷點的分類: 通常把間斷點分成兩類:如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點, 但左極限f(x00)及右極限f(x0+0)都存在, 那么x0稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點. 不是第一類間斷點的任何間斷點, 稱為第二類間斷點. 在第一類間斷點中, 左、右極限相等者稱為可去間斷點, 不相等者稱為跳躍間斷點. 無窮間斷點和振蕩間斷點顯然是第二間斷點. 167。 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性 定理1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點x0連續(xù), 則函數(shù) f(x)177。g(x), f(x)g(x),(當時)在點x0也連續(xù). f(x)177。g(x)連續(xù)性的證明: 因為f(x)和g(x)在點x0連續(xù), 所以它們在點x0有定義, 從而f(x)177。g(x)在點x0也有定義, 再由連續(xù)性和極限運算法則, 有. 根據(jù)連續(xù)性的定義, f(x)177。g(x)在點x0連續(xù). 例1. sin x 和cos x 都在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)連續(xù),故由定理3知tan x 和cot x 在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 三角函數(shù)sin x, cos x, sec x, csc x, tan x, cot x在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. 二、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix 上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù), 那么它的反函數(shù)x=f 1(y)也在對應的區(qū)間Iy ={y|y=f(x),x206。Ix}上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù). 證明（略）. 例2. 由于y=sin x在區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù), 所以它的反函數(shù)y=arcsin x 在區(qū)間[1, 1]上也是單調(diào)增加且連續(xù)的. 同樣,y=arccos x 在區(qū)間[1, 1]上也是單調(diào)減少且連續(xù)。 y=arctan x 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)。y=arccot x 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)單調(diào)減少且連續(xù). 總之, 反三角函數(shù)arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 定理3 設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復合而成, . 若, 而函數(shù)y=f(u)在連續(xù), 則. 簡要證明 要證e 0, $d0, 當0|xx0|d 時, 有|f[g(x)]f(u0)|e . 因為f(u)在連續(xù), 所以e 0, $h0, 當|uu0|h 時, 有|f(u)f(u0)|e . 又g(x)174。u0(x174。x0), 所以對上述h0, $d0, 當0|xx0|d 時, 有|g(x)u0|h. 從而 |f[g(x)]f(u0)|e . (2)定理的結(jié)論也可寫成. 求復合函數(shù)f[g(x)]的極限時, 函數(shù)符號f 與極限號可以交換次序. 表明,在定理3的條件下, 如果作代換u=g(x),那么求就轉(zhuǎn)化為求, 這里. 把定理5 中的x174。x0換成x174。165。, 可得類似的定理. 例3. 求. 解: . 提示: 是由與復合而成的. , 函數(shù)在點連續(xù). =g(x0) 定理4 設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復合而成, U(x0)204。Df og. 若函數(shù)u=g(x)在點x0連續(xù), 函數(shù)y=f(u)在點u0=g(x0)連續(xù), 則復合函數(shù)y=f[j(x)]在點x0也連續(xù). 證明: 因為j(x)在點x0連續(xù), 所以j(x)=j(x0)=u0.又y=f(u)在點u=u0連續(xù), 所以 f[j(x)]=f(u0)=f[j(x0)].這就證明了復合函數(shù)f[j(x)]在點x0連續(xù). 例4. 討論函數(shù)的連續(xù)性. 解: 函數(shù)是由y=sin u及復合而成的. sin u當165。u+165。時是連續(xù)的, 當165。x0和0x+165。時是連續(xù)的, 根據(jù)定理4, 函數(shù)在無限區(qū)間(165。, 0)和(0, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 三、初等函數(shù)的連續(xù)性 在基本初等函數(shù)中, 我們已經(jīng)證明了三角函數(shù)及反三角函數(shù)的它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 我們指出, 指數(shù)函數(shù)ax (a0, a 185。1)對于一切實數(shù)x都有定義,且在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的, 它的值域為(0, +165。). 由定理4, 對數(shù)函數(shù)log ax (a0, a 185。1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0, +165。)內(nèi)單調(diào)且連續(xù). 冪函數(shù)y=xm 的定義域隨m的值而異, 但無論m為何值, 在區(qū)間(0, +165。), 在區(qū)間(0, +165。)內(nèi)冪函數(shù)是連續(xù)的. 事實上, 設(shè)x0, 則y=xm=, 因此, 冪函數(shù)xm可看作是由y=au, u=mlogax 復合而成的, 由此, 根據(jù)定理6, 它在(0, +165。), 可以證明冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 結(jié)論: 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 最后, 根據(jù)初等函數(shù)的定義, 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及本節(jié)有關(guān)定理可得下列重要結(jié)論:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)間, 就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. 初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應用: 如果f(x)是初等函數(shù), 且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點,則f(x)=f(x0). 例5. 求. 解: 初等函數(shù)f(x)=在點是有定義的, 所以 . 例6. 求. 解: 初等函數(shù)f(x)=ln sin x在點是有定義的, 所以 . 例7. 求. 解: . 例8. 求. 解: . 例9. 求. 解: 令a x 1=t, 則x=log a (1+t), x 174。0時t 174。0, 于是 =. 167。1. 10 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、最大值與最小值 最大值與最小值: 對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x), 如果有x0206。I, 使得對于任一x206。I都有f(x)163。f(x0 ) (f(x)179。f(x0 )), 則稱f(x0 )是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）. 例如, 函數(shù)f(x)=1+sin x在區(qū)間[0, 2p]上有最大值2和最小值0. 又如, 函數(shù)f(x)=sgn x 在區(qū)間(165。, +165。)內(nèi)有最大值 1和最小值1. 在開區(qū)間(0, +165。)內(nèi), sgn x的最大值和最小值都是1. 但函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a, b)內(nèi)既無最大值又無最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值.