【正文】 推論 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)179。165。1時(shí)的無窮小. 因?yàn)? 所以數(shù)列{}為當(dāng)n174。 如果a是x174。0, 則為無窮大. 簡要證明: 如果, 且f(x)185。1. 6 極限運(yùn)算法則 定理1 有限個(gè)無窮小的和也是無窮小. 例如, 當(dāng)x174。 B 。0時(shí), . 定理5 如果j(x)179。x0), 所以對(duì)上述h0, $d10, 當(dāng)0|xx0|d1時(shí), 有|g(x)u0|h. 取d=min{d0, d1}, 則當(dāng)0|xx0|d時(shí), 0|g(x)u0|h, 從而|f[g(x)]A|=|f(u)A|e . 注: 把定理中換成或, 而把換成可類似結(jié)果. 把定理中g(shù)(x)174。xn163。, 要求函數(shù)當(dāng)|x|M時(shí)有定義, 準(zhǔn)則I 及準(zhǔn)則I162。 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 1179。1. 8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 一、函數(shù)的連續(xù)性 變量的增量: 設(shè)變量u從它的一個(gè)初值u1變到終值u2, 終值與初值的差u2u1就叫做變量u的增量, 記作Du , 即Du =u2u1. 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)是有定義的. 當(dāng)自變量x 在這鄰域內(nèi)從x0變到x0+Dx時(shí), 函數(shù)y相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0+Dx), 因此函數(shù)y的對(duì)應(yīng)增量為Dy= f(x0+Dx) f(x0). 函數(shù)連續(xù)的定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義, 如果當(dāng)自變量的增量Dx =xx0 趨于零時(shí), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量Dy= f(x0+Dx) f(x0 )也趨于零, 即, 或,那么就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0 處連續(xù). 注: ① ②設(shè)x=x0+Dx, 則當(dāng)Dx174。, +165。Ix}上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù). 證明（略）. 例2. 由于y=sin x在區(qū)間上單調(diào)增加且連續(xù), 所以它的反函數(shù)y=arcsin x 在區(qū)間[1, 1]上也是單調(diào)增加且連續(xù)的. 同樣,y=arccos x 在區(qū)間[1, 1]上也是單調(diào)減少且連續(xù)。時(shí)是連續(xù)的, 根據(jù)定理4, 函數(shù)在無限區(qū)間(165。I都有f(x)163。0時(shí)t 174。Df og. 若函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0=g(x0)連續(xù), 則復(fù)合函數(shù)y=f[j(x)]在點(diǎn)x0也連續(xù). 證明: 因?yàn)閖(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 所以j(x)=j(x0)=u0.又y=f(u)在點(diǎn)u=u0連續(xù), 所以 f[j(x)]=f(u0)=f[j(x0)].這就證明了復(fù)合函數(shù)f[j(x)]在點(diǎn)x0連續(xù). 例4. 討論函數(shù)的連續(xù)性. 解: 函數(shù)是由y=sin u及復(fù)合而成的. sin u當(dāng)165。g(x)在點(diǎn)x0也有定義, 再由連續(xù)性和極限運(yùn)算法則, 有. 根據(jù)連續(xù)性的定義, f(x)177。)內(nèi)是連續(xù)的. 證明: 設(shè)x為區(qū)間(165。165。 163。 (2) lim g(x)=A, lim h(x)=A。A(u174。u0. 要證e 0, $d0, 當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有|f[g(x)]A|e . 因?yàn)閒(u)174。 lim g (x) = A 177。165。(x174。165。x0時(shí)的極限. 簡要證明: 令a=f(x)A, 則|f(x)A|=|a|. 如果e 0 , $ d 0, 使當(dāng)0|xx0|d , 有f(x)A|e , 就有|a|e 。165。N+), 那么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列{f(x n)}必收斂, 且 . 證明 設(shè)f(x)174。0. 定理3162。165。x0時(shí)的極限, 記為或f(x)174。165。 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說數(shù)列{xn}是無界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列{xn}收斂, 那么數(shù)列{xn}一定有界. 證明: 設(shè)數(shù)列{xn}收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對(duì)于e =1, 存在正整數(shù)N, 使對(duì)于nN 時(shí)的一切xn , 不等式|xna|e =1都成立. 于是當(dāng)nN時(shí), |xn|=|(xn a)+a| 163。165。ch xsh y。g)(x)=f(x)177。D, 使得f(x)=y, 于是有 f 1(y)=x. 這就是說, 反函數(shù)f 1的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則所確定的. 一般地, y=f(x), x206。1. (2)函數(shù)在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. 或者說它在(0, 1)內(nèi)有下界, 無上界. 這是因?yàn)? 對(duì)于任一M1, 總有x1: , 使 , 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有界的. (2)函數(shù)的單調(diào)性 設(shè)函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)镈, 區(qū)間I 204。x163。 附加“y163。D, 其中x稱為自變量, y稱為因變量, D稱為定義域, 記作D f, 即D f=D. 應(yīng)注意的問題: 記號(hào)f和f(x)的含義是有區(qū)別的, 前者表示自變量x和因變量y之間的對(duì)應(yīng)法則, 而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 但為了敘述方便, 習(xí)慣上常用記號(hào)“f(x), x206。Y 1, f : Y 2174。R, f(x)=x2. 顯然, f是一個(gè)映射, f的定義域D f=R, 值域R f ={y|y179。)={x | | x | +165。B, 即 A180。(A200。C=(A199。B}. 如果我們研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此時(shí), 我們稱集合I為全集或基本集. 稱I\A為A的余集或補(bǔ)集, 記作AC. 集合運(yùn)算的法則: 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合, 則 (1)交換律A200。B(讀作A包含于B)或B201。 了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。M. 集合的表示: 列舉法: 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 A={a1, a2, , an}, M={x | x具有性質(zhì)P }. 例如M={(x, y)| x, y為實(shí)數(shù), x2+y2=1}. 幾個(gè)數(shù)集: N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為自然數(shù)集. N={0, 1, 2, , n, }. N+={1, 2, , n, }. R表示所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為實(shí)數(shù)集. Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為整數(shù)集. Z={ , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, }. Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合, 稱為有理數(shù)集. 子集: 若x206。A且x206。C)。BC. (A200。BC, 所以(A200。x }, (165。 映射f的值域R f是Y的一個(gè)子集, 即R f 204。X, 適合f(x)=y, 于是, 我們可定義一個(gè)從R f 到X的新映射g, 即 g : R f 174。R, 有 . 三、函數(shù) 1. 函數(shù)概念 定義 設(shè)數(shù)集D204。 當(dāng)x取(r, r)內(nèi)任一個(gè)值時(shí), 對(duì)應(yīng)的y有兩個(gè)值. 所以這方程確定了一個(gè)多值函數(shù). 對(duì)于多值函數(shù), 往往只要附加一些條件, 就可以將它化為單值函數(shù), 這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支. 例如, 在由方程x2+y2=r2給出的對(duì)應(yīng)法則中, 附加“y179。(0, +165。X, 使| f(x) | M. 例如 (1)f(x)=sin x在(165。f(D)是單射, 則它存在逆映射f 1: f(D)174。198。 反三角函數(shù): y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . 初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 例如 , y=sin2x, 等都是初等函數(shù). 雙曲函數(shù): 雙曲正弦: 。1. 2 數(shù)列的極限 一個(gè)實(shí)際問題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正82n1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, , An, 設(shè)想n 無限增大（記為n174。N+, 當(dāng)nN時(shí), 有|xn0|=,所以. 例3. 設(shè)|q |1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, , qn1, 的極限是0. 分析: 對(duì)于任意給定的e 0, 要使 |x n0|=| qn10|=|q| n1e ,只要nlog|q|e +1就可以了, 故可取N=[log|q|e +1]。N+, 當(dāng)nN時(shí), 有|xna|e .取K=N, 則當(dāng)kK時(shí), nk179。). 分析: 在x174。e 0, $d 0, x: x0xx0+d , 有|f(x)A|e . 219。A(x174。0. 定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當(dāng)x174。x0(或x174。x0時(shí)的無窮小, 且f(x)=A+a . 這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無窮小a之和. 反之, 設(shè)f(x)=A+a , 其中A 是常數(shù), a是x174。165。(x174。x0時(shí)的無窮小. 定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 簡要證明: 設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域{x|0|xx0|d1}內(nèi)有界, 即$M0, 使當(dāng)0|xx0|d1時(shí), 有|u|163。 B)與無窮小(a 177。A(u174。), 而把f(u)174。 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件:OCADB1x (1) g(x)163。0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: = . . 準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 1163。165。)內(nèi)任意一點(diǎn)x0處有定義, 且. 2. 函數(shù)在區(qū)間[0, +165。 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性 定理1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 則函數(shù) f(x)177。x0換成x174。), 在區(qū)間(0, +165。, +165。1)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都有定義,且在區(qū)間(165。)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)。)內(nèi)是連續(xù)的. 二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷定義: 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 在此前提下, 如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一: (1)在x0沒有定義。219。 179。0都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓, BC^OA, DA^OA. 圓心角208。xn163。165。. 提問: 如下寫法是否正確？ . 討論: 有理函數(shù)的極限提示: 當(dāng)時(shí), . 當(dāng)且時(shí), . 當(dāng)Q(x0)=P(x0)=0時(shí), 先將分子分母的公因式(xx0)約去. 例5. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取極限: . 例6. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取極限: . 例7. 求. 解: 因?yàn)? 所以 . 討論: 有理函數(shù)的極限 提示: . 例8. 求. 解: 當(dāng)x174。0). 證明(1): 因?yàn)閘im f (x)=A, lim g (x)=B , 根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系, 有f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 為無窮小. 于是f (x) 177。 當(dāng)0|xx0|d2 時(shí), 有|b|e . 取d =min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有|a+b|163。x0時(shí)的無窮大. 如果, 那么對(duì)于, $d 0,當(dāng)0|x|d 時(shí), 有, 即, 所以為x174。165。x0(或x174。x0(n206。A(x174。A(x174。yy=x111y=x+1xO 若當(dāng)x174。, x小于零且絕對(duì)值|x|無限增大: x174。0). 證明 就xn179。a (n174。 反雙曲余弦: y=arch x。R是常數(shù))。D f. 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域?yàn)閇1, 1], 在上有定義, 且g(D)204。D). 如果對(duì)于任一x206。K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界. 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對(duì)任一x206。). 例. 函數(shù). 稱為符號(hào)函數(shù)