【正文】 f(x0 )), 則稱f(x0 )是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值（最小值）. 例如, 函數(shù)f(x)=1+sin x在區(qū)間[0, 2p]上有最大值2和最小值0. 又如, 函數(shù)f(x)=sgn x 在區(qū)間(165。)內(nèi)冪函數(shù)是連續(xù)的. 事實(shí)上, 設(shè)x0, 則y=xm=, 因此, 冪函數(shù)xm可看作是由y=au, u=mlogax 復(fù)合而成的, 由此, 根據(jù)定理6, 它在(0, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 三、初等函數(shù)的連續(xù)性 在基本初等函數(shù)中, 我們已經(jīng)證明了三角函數(shù)及反三角函數(shù)的它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 我們指出, 指數(shù)函數(shù)ax (a0, a 185。165。, +165。g(x), f(x)g(x),(當(dāng)時)在點(diǎn)x0也連續(xù). f(x)177。, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 3. 函數(shù)y=sin x 在區(qū)間(165。x0, 因此 219。, 于是. , (a(x)174。x 3179。x 2163。證明第一個重要極限: . 證明 首先注意到, 函數(shù)對于一切x185。f(x)163。 又$N 20, 當(dāng)nN 2時, 有|z na|e . 現(xiàn)取N=max{N 1, N 2}, 則當(dāng) nN 時, 有|y na|e , |z na|e 同時成立, 即aeyna+e , aez na+e , 同時成立. 又因yn163。A(u174。x0)換成g(x)174。u0), 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)185。b . 例1. 求. 解: . 討論: 若, 則 提示: =a0x0n+a1x0n1+ +an=P(x0).若, 則. 例2. 求. 解: . 提問: 如下寫法是否正確？. . 例3. 求. 解: . 例4. 求. 解: , 根據(jù)無窮大與無窮小的關(guān)系得=165。 b)之和. 因此lim [f (x) 177。 (3)(B185。M. 又設(shè)a 是當(dāng)x174。x0時的兩個無窮小, 則e 0, $d10及d20, 使當(dāng)0|xx0|d1 時, 有|a|e 。x0). 如果f(x)174。0, 從而 , 所以為x174。)時的無窮大. 記為 (或). 應(yīng)注意的問題: 當(dāng)x174。x0時的極限. 類似地可證明x174。x0時的無窮小, 于是|f(x)A|=|a|. 因a是x174。時的無窮小. 討論: 很小很小的數(shù)是否是無窮?。?是否為無窮?。? 提示: 無窮小是這樣的函數(shù), 在x174。165。N+, 當(dāng)nN時, 有|xnx0|d . 由假設(shè), xn 185。x0時f(x)的極限存在, {xn}為f(x)的定義域內(nèi)任一收斂于x0的數(shù)列, 且滿足xn 185。0), 而且f(x)174。x0), 而且A0(或A0), 那么存在常數(shù)d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有f(x)0(或f(x)0). 證明: 就A0的情形證明. 因?yàn)? 所以對于, $d 0, 當(dāng)0|xx0|d 時, 有222。且.極限的定義的幾何意義y=f (x)AAeXO XxyA+e 例6. 證明. 分析: . e 0, 要使|f(x)A|e , 只要. 證明: 因?yàn)閑 0, $, 當(dāng)|x|X時, 有, 所以. 直線y=0 是函數(shù)的水平漸近線. 一般地, 如果, 則直線y=c稱為函數(shù)y=f(x)的圖形的水平漸近線. 二、函數(shù)極限的性質(zhì) 定理1(函數(shù)極限的唯一性) 如果極限存在, 那么這極限唯一. 定理2(函數(shù)極限的局部有界性) 如果f(x)174。且. 例5 函數(shù)當(dāng)x174。x0時的左極限, 記為或f()=A 。x0的過程中, f(x)無限接近于A就是|f(x)A|能任意小, 或者說, 在x與x0接近到一定程度(比如|xx0|d, d為某一正數(shù))時, |f(x)A|可以小于任意給定的(小的)正數(shù)e , 即|f(x)A|e . 反之, 對于任意給定的正數(shù)e , 如果x與x0接近到一定程度(比如|xx0|d, d為某一正數(shù))就有|f(x)A|e , 則能保證當(dāng)x 174。165。kK=N. 于是|a|e . 這就證明了.討論: 1. 對于某一正數(shù)e 0, 如果存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)nN時, 有|xna|e 0. 是否有xn 174。0(或a163。證明: 因?yàn)閷τ谌我饨o定的e 0, 存在N=[ log|q|e +1], 當(dāng)nN時, 有 | qn10|=|q| n1e ,所以. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限的唯一性) 數(shù)列{xn}不能收斂于兩個不同的極限. 證明: 假設(shè)同時有及, 且ab. 按極限的定義, 對于0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當(dāng)nN時, 同時有|xna| 及|xnb|, 因此同時有 及,這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對于數(shù)列{xn}，如果存在著正數(shù)M，使得對一切xn都滿足不等式 |xn|163。 而{2n}, { (1)n+1}, 是發(fā)散的. 對無限接近的刻劃: xn無限接近于a 等價(jià)于|xna |無限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列{xn}與常a 有下列關(guān)系:對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對于n N 時的一切xn, 不等式 |xna |e都成立, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列{xn}的極限, 或者稱數(shù)列{xn}收斂于a , 記為 或xn174。165。0), y=th x的反函數(shù)依次為 反雙曲正弦: y=arsh x。 雙曲余弦: 。D\{x|g(x)=0}. 例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?l, l), 證明必存在(l, l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x), 使得 f(x)=g(x)+h(x). 分析 如果f(x)=g(x)+h(x), 則f(x)=g(x)h(x), 于是 , . 證 作, , 則 f(x)=g(x)+h(x), 且 , . 5. 初等函數(shù) 基本初等函數(shù): 冪函數(shù): y=x m (m206。, 則我們可以定義這兩個函數(shù)的下列運(yùn)算: 和(差)f 177。D稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), 它的定義域?yàn)镈, 變量u稱為中間變量. 函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為, 即 ()=f[g(x)]. 與復(fù)合映射一樣, g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域D f內(nèi), 即g(D)204。D, 稱此映射f 1為函數(shù)f的反函數(shù). 按此定義, 對每個y206。D, 則x206。, +165。X, 有f(x)163。)= [0, +165。), 值域?yàn)镽 f =[0, +165。0”的條件, 即以“x2+y2=r2且y179。2}, 或D=(165。R, 則稱映射f : D 174。X . 應(yīng)注意的問題: 映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件是: g的值域R g必須包含在f的定義域內(nèi), R g204。X, 對每個y206。[1, 1], 對每個x206。Y, 不一定R f=Y . 例1設(shè)f : R174。 集合Y, 即值域的范圍: R f 204。, b] = {x | x b } , (165。R }即為xOy面上全體點(diǎn)的集合, R180。B)C=AC 199。A且x207。B)C=AC 199。C)199。 (3)分配律 (A200。B)200。B}. 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差), 記作A\B, 即 A\B={x|x206。. 規(guī)定空集是任何集合的子集. 2. 集合的運(yùn)算 設(shè)A、B是兩個集合, 由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并), 記作A200。A, 則必有x206。 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價(jià)無窮小求極限。高等數(shù)學(xué)教案 第一章 函數(shù)與極限第一章 函數(shù)與極限教學(xué)目的： 理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。 理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。B, 則稱A是B的子集, 記為A204。B, 即 A200。A且x207。C=A200。B)199。(B200。BC的證明: x206。B219。BC. 直積(笛卡兒乘積): 設(shè)A、B是任意兩個集合, 在集合A中任意取一個元素x, 在集合B中任意取一個元素y, 組成一個有序?qū)?x, y), 把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略? 它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積, 記為A180。R常記作R2. 3. 區(qū)間和鄰域 有限區(qū)間: 設(shè)ab, 稱數(shù)集{x|axb}為開區(qū)間, 記為(a, b), 即 (a, b)={x|axb}. 類似地有 [a, b] = {x | a 163。, +165。Y。R, 對每個x206。, f(x)=sin x . f是一個映射, 定義域D f =, 值域R f =[1, 1]. 滿射、單射和雙射: 設(shè)f是從集合X到集合Y的映射, 若R f =Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射。R f , 規(guī)定g(y)=x, 這x滿足f(x)=y. 這個映射g稱為f的逆映射, 記作f 1, 其定義域=R f , 值域=X . 按上述定義, 只有單射才存在逆映射. 上述三例中哪個映射存在逆映射？ 設(shè)有兩個映射 g : X174。D f . 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合映射. 由此可以知道, 映射g和f的復(fù)合是有順序的, f o g有意義并不表示g o f也有意義. 即使f o g與g o f都有意義, 復(fù)映射f o g與g o f也未必相同. 例4 設(shè)有映射g : R174。R為定義在D上的函數(shù), 通常簡記為 y=f(x), x206。, 2]200。0”作為對應(yīng)法則, 就可得到一個單值分支。). 例. 函數(shù). 稱為符號函數(shù). 其定義域?yàn)镈=(165。). 當(dāng)0163。K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界, 而稱K1為函數(shù)f(x)在X上的一個上界. 圖形特點(diǎn)是y=f(x)的圖形在直線y=K1的下方. 如果存在數(shù)K2, 使對任一x206。)上是有界的: |sin x|163。D). 如果對于任一x206。f(D), 有唯一的x206。D f. 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如, y=f(u)=arcsin u, 的定義域?yàn)閇1, 1], 在上有定義, 且g(D)204。g : (f 177。R是常數(shù))。 雙曲正切: . 雙曲函數(shù)的性質(zhì): sh(x+y)=sh xch y177。 反雙曲余弦: y=arch x。, 讀作n 趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加, 在這個過程中, 內(nèi)接正多邊形無限接近于圓, 同時An 也無限接近于某一確定的數(shù)值, 這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, , An, 當(dāng)n 174。a (n174。M,則稱數(shù)列{xn}是有界的。0). 證明 就xn179。a (n 174。, x小于零且絕對值|x|無限增大: x174。x0時, f(x)無限接近于A. 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)x滿足不等式0|xx0|d 時, 對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 |f(x)A|e , 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x 174。yy=x111y=x+1xO 若當(dāng)x174。0時的極限不存在. 這是因?yàn)? , , . 2．自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 設(shè)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義. 如果存在常數(shù)A, 對于任意給定的正數(shù)e , 總存在著正數(shù)X, 使得當(dāng)x滿足不等式|x|X時, 對應(yīng)的函數(shù)數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)A|e,則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x174。A(x174。222。A(x174。x0(n206。x0(n206。)時的無窮小. 特別地, 以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n174。x0(或x174。x0時的無窮小, e 0 , $ d 0, 使當(dāng)0|xx0|d , 有|a|e 或|f(x)A|e 這就證明了A 是f(x) 當(dāng) x174。165。x0(或x174。x0時的無窮大. 如果, 那么對于, $d 0,當(dāng)0|x|d 時, 有, 即, 所以為x174。165。 當(dāng)0|xx0|d2 時, 有|b|e . 取d =min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d時, 有|a+b|163。x0時的無窮小, 即e 0. 存在d2 0, 使當(dāng)0