【正文】 )內(nèi), sgn x的最大值和最小值都是1. 但函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a, b)內(nèi)既無最大值又無最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值. 。, +165。f(x0 ) (f(x)179。I, 使得對于任一x206。0, 于是 =. 167。), 可以證明冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 結(jié)論: 基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的. 最后, 根據(jù)初等函數(shù)的定義, 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及本節(jié)有關(guān)定理可得下列重要結(jié)論:一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)間, 就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. 初等函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用: 如果f(x)是初等函數(shù), 且x0是f(x)的定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn),則f(x)=f(x0). 例5. 求. 解: 初等函數(shù)f(x)=在點(diǎn)是有定義的, 所以 . 例6. 求. 解: 初等函數(shù)f(x)=ln sin x在點(diǎn)是有定義的, 所以 . 例7. 求. 解: . 例8. 求. 解: . 例9. 求. 解: 令a x 1=t, 則x=log a (1+t), x 174。), 在區(qū)間(0, +165。1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0, +165。)內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的, 它的值域?yàn)?0, +165。1)對于一切實(shí)數(shù)x都有定義,且在區(qū)間(165。, 0)和(0, +165。x0和0x+165。u+165。, 可得類似的定理. 例3. 求. 解: . 提示: 是由與復(fù)合而成的. , 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù). =g(x0) 定理4 設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成, U(x0)204。x0換成x174。u0(x174。, +165。)內(nèi)單調(diào)增加且連續(xù)。 y=arctan x 在區(qū)間(165。)內(nèi)連續(xù),故由定理3知tan x 和cot x 在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的. 三角函數(shù)sin x, cos x, sec x, csc x, tan x, cot x在其有定義的區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. 二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix 上單調(diào)增加(或單調(diào)減少)且連續(xù), 那么它的反函數(shù)x=f 1(y)也在對應(yīng)的區(qū)間Iy ={y|y=f(x),x206。g(x)在點(diǎn)x0連續(xù). 例1. sin x 和cos x 都在區(qū)間(165。g(x)連續(xù)性的證明: 因?yàn)閒(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 所以它們在點(diǎn)x0有定義, 從而f(x)177。 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性 一、連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性 定理1 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在點(diǎn)x0連續(xù), 則函數(shù) f(x)177。則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0為不連續(xù), 而點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn). 例1. 正切函數(shù)y=tan x在處沒有定義, 所以點(diǎn)是函數(shù)tan x的間斷點(diǎn). 因?yàn)? 故稱為函數(shù)tan x的無窮間斷點(diǎn). 例2. 函數(shù)在點(diǎn)x=0沒有定義, 所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 當(dāng)x174。 (3)雖然在x0有定義且f(x)存在, 但f(x)185。)內(nèi)是連續(xù)的. 二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷定義: 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義. 在此前提下, 如果函數(shù)f(x)有下列三種情形之一: (1)在x0沒有定義。)內(nèi)任意一點(diǎn)x都是連續(xù)的． 4. 函數(shù)y=cos x 在區(qū)間(165。0時(shí), Dy是無窮小與有界函數(shù)的乘積, 所以. 這就證明了函數(shù)y=sin x在區(qū)間(165。, +165。, +165。)內(nèi)任意一點(diǎn)x0處有定義, 且. 2. 函數(shù)在區(qū)間[0, +165。)內(nèi)是連續(xù)的. 這是因?yàn)? f(x)在(165。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù). 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性: 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù), 叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). 如果區(qū)間包括端點(diǎn), 那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù), 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù). 連續(xù)函數(shù)舉例: 1. 如果f(x)是多項(xiàng)式函數(shù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間(165。219。0時(shí), x174。. 于是 . 或 . 167。時(shí), t 174。0). 例3. 求. 解: 令t=x, 則x 174。165。x n+1, n206。x n+1179。 179。x 2179。 ,就稱數(shù)列{x n}是單調(diào)增加的。x n163。x 3163。0). 例1. 求. 解: . 例2. 求. 解: = . . 準(zhǔn)則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 如果數(shù)列{x n}滿足條件x 1163。, . 應(yīng)注意的問題: 在極限中, 只要a(x)是無窮小, 就有.這是因?yàn)? 令u=a(x), 則u 174。, . 簡要證明: 參看附圖, 設(shè)圓心角208。0都有定義. 參看附圖: 圖中的圓為單位圓, BC^OA, DA^OA. 圓心角208。 稱為夾逼準(zhǔn)則. 下面根據(jù)準(zhǔn)則I162。165。 那么lim f(x)存在, 且lim f(x)=A. 注 如果上述極限過程是x174。h(x)。 如果函數(shù)f(x)、g(x)及h(x)滿足下列條件:OCADB1x (1) g(x)163。x n163。x n163。xn163。zn(n=1, 2, 3, ), (2), , 那么數(shù)列{xn }的極限存在, 且. 證明: 因?yàn)? , 以根據(jù)數(shù)列極限的定義, e 0, $N 10, 當(dāng)nN 1時(shí), 有|y na|e 。1. 7極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 準(zhǔn)則I 如果數(shù)列{xn }、{yn}及{zn}滿足下列條件: (1)yn163。165。u0)換成f(u)174。), 而把f(u)174。(x174。x0)或g(x)174。165。u0(x174。u0(x174。A(u174。u0, 則. 簡要證明 設(shè)在{x|0|xx0|d0}內(nèi)g(x)185。A(u174。u0(x174。時(shí), 分子及分母的極限都不存在, 故關(guān)于商的極限的運(yùn)算法則不能應(yīng)用. 因?yàn)? 是無窮小與有界函數(shù)的乘積, 所以 . 定理8(復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則) 設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成, f[g(x)]在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義, 若, , 且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)185。. 提問: 如下寫法是否正確？ . 討論: 有理函數(shù)的極限提示: 當(dāng)時(shí), . 當(dāng)且時(shí), . 當(dāng)Q(x0)=P(x0)=0時(shí), 先將分子分母的公因式(xx0)約去. 例5. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取極限: . 例6. 求. 解: 先用x3 去除分子及分母, 然后取極限: . 例7. 求. 解: 因?yàn)? 所以 . 討論: 有理函數(shù)的極限 提示: . 例8. 求. 解: 當(dāng)x174。f(x), 而lim j(x)=a , lim y(x)=b , 那么a179。 (3)當(dāng)(n=1, 2, )且B185。 B . 推論1 如果lim f (x)存在, 而c為常數(shù), 則lim [c f (x)]=c lim f (x). 推論2 如果lim f (x)存在, 而n是正整數(shù), 則lim [f (x)]n =[lim f (x)]n. 定理4 設(shè)有數(shù)列{xn }和{yn }. 如果, , 那么 (1)。 g (x)] = lim f (x) 177。 B)與無窮小(a 177。 b), 即f (x) 177。 (B + b) = (A 177。0). 證明(1): 因?yàn)閘im f (x)=A, lim g (x)=B , 根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系, 有f (x)=A+a, g (x)=B+b, 其中a及b 為無窮小. 于是f (x) 177。 (2) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g (x) =AB 。lim g (x) =A 177。時(shí), 是無窮小, arctan x是有界函數(shù), 所以arctan x也是無窮小. 推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 推論2 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小. 定理3 如果lim f (x)=A, lim g (x)=B, 那么 (1) lim [f (x)177。x0時(shí)的無窮小, 即e 0. 存在d2 0, 使當(dāng)0|xx0|d 2時(shí), 有|a|e . 取d =min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d 時(shí), 有 |ua| Me .這說明ua 也是無窮小. 例如, 當(dāng)x174。x0時(shí)的無窮小. 定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 簡要證明: 設(shè)函數(shù)u在x0的某一去心鄰域{x|0|xx0|d1}內(nèi)有界, 即$M0, 使當(dāng)0|xx0|d1時(shí), 有|u|163。x0時(shí)的無窮小, 對于0存在著d20, 當(dāng)0|xx0|d2時(shí), 不等式|b|成立. 取d =min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d 時(shí), |a|及|b|同時(shí)成立, 從而|g|=|a+b|163。x0時(shí)的兩個(gè)無窮小, 而g =a +b . 任意給定的e 0. 因?yàn)閍 是當(dāng)x174。 當(dāng)0|xx0|d2 時(shí), 有|b|e . 取d =min{d1, d2}, 則當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有|a+b|163。0時(shí), x與sin x都是無窮小, x+sin x也是無窮小. 簡要證明: 設(shè)a及b是當(dāng)x174。x0). 167。x0), 則M0, $d 0,當(dāng)0|x x0|d 時(shí), 有|f(x)|M, 即, 所以f(x)174。165。(x174。0, 則e 0, $d 0, 當(dāng)0|x x0|d 時(shí), 有|f(x)|e , 即, 所以f(x)174。0(x174。x0時(shí)的無窮大. 如果, 那么對于, $d 0,當(dāng)0|x|d 時(shí), 有, 即, 所以為x174。0, 那么對于, $d 0, 當(dāng)0|x|d 時(shí), 有, 由于當(dāng)0|x|d 時(shí), f(x)185。 反之, 如果f(x)為無窮小, 且f(x)185。)時(shí)為無窮大的函數(shù)f(x), 按函數(shù)極限定義來說, 極限是不存在的. 但為了便于敘述函數(shù)的這一性態(tài), 我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”, 并記作 (或). 討論: 無窮大的精確定義如何敘述？很大很大的數(shù)是否是無窮大? 提示: 219。x0(或x174。165。)時(shí), 對應(yīng)的函數(shù)值的絕對值|f(x)|無限增大, 就稱函數(shù) f(x)為當(dāng)x174。x0(或x174。165。x0時(shí)的無窮小, 則A 是f(x) 當(dāng) x174。x0時(shí)的無窮小。 反之如果e 0 , $ d 0, 使當(dāng)0|xx0|d , 有|a|e , 就有f(x)A|e . 這就證明了如果A 是f(x) 當(dāng) x174。x0時(shí)的無窮小, e 0 , $ d 0, 使當(dāng)0|xx0|d , 有|a|e 或|f(x)A|e 這就證明了A 是f(x) 當(dāng) x174。x0時(shí)的無窮小, 且f(x)=A+a . 這就證明了f(x)等于它的極限A與一個(gè)無窮小a之和. 反之, 設(shè)f(x)=A+a , 其中A 是常數(shù), a是x174。165。)的過程中, 極限為零. 很小很小的數(shù)只要它不是零, 作為常數(shù)函數(shù)在自變量的任何變化過程中, 其極限就是這個(gè)常數(shù)本身, 不會(huì)為零. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系: 定理1 在自變量的同一變化過程x174。x0(或x174。165。時(shí)的無窮小. 因?yàn)? 所以函數(shù)為x1當(dāng)x174。時(shí)的無窮小. 例如, 因?yàn)? 所以函數(shù)為當(dāng)x174。)時(shí)的無窮小. 特別地, 以零為極限的數(shù)列{xn}稱為n174。x0(或x174。165。1. 4 無窮小與無窮大 一、無窮小 如果函數(shù)f(x)當(dāng)x174。x0(n206。), 故對d 0, $N206。x0(n174。A(x174。x0(n206。0. 定理4(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) 如果當(dāng)x174。0. 假設(shè)上述論斷不成立, 即設(shè)A0, 那么由定理1就有x0的某一去心鄰域, 在該鄰域內(nèi) f(x)0, 這與f(x)179。0(或A163。A(x174。0(或f(x)163。x0)(A185。 如果f(x)174。222。A(x174。x0), 所以對于e =1, $d0, 當(dāng)0|xx0|d時(shí), 有|f(x)A|e =1, 于是 |f(x)|=|f(x)A+A|163。M. 證明 因?yàn)閒(x)174。A(x174。e 0, $X0, 當(dāng)|x|X時(shí), 有|f(x)A|e . 類似地可定義和.